Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975

.pdf
Скачиваний:
6735
Добавлен:
21.03.2016
Размер:
27.19 Mб
Скачать

достаточно простом выражении для дисперсии это может быть определено непосредственным дифференцированием и приравниванием нулю частных производных.

В более сложных случаях приходится искать минимум дисперсии путем числового задания интересующих параметров и построения соответствующих графиков.

Другая постановка задачи при расчете по критерию минимума среднеквадратичной ошибки заключается в том, что ставится вопрос о нахождении оптимальной структуры и значений параметров автоматической системы, при которых обеспечивается получение теоретического минимума среднеквадратичной ошибки при заданных вероятностных характеристиках полезного сигнала и помехи. Эта задача будет решена, если найти, например, передаточную функцию

замкнутой системы , при которой обеспечивается получение теоретического минимума среднеквадратичной ошибки.

Задача относится к категории вариационных задач. Приведем здесь некоторые результаты ее решения [120] для случая, когда полезный сигнал g (t) и помеха f (I) представляют собой центрированные стационарные случайные процессы, приложенные на входе системы. Перед системой ставится задача преобразовывать входной сигнал g (t) так, чтобы на ее выходе воспроизводилась величина h (t), связанная с g (t) некоторой формулой преобразования

тде Н (р) — преобразующий оператор.

Так, например, при получится задача интегрирования входного сигнала, при Н(р)=р — задача дифференцирования, при H(р) = 1 — задача простого воспроизведения со

сглаживанием помехи (обычная следящая система при наличии помех), при — статистическое упреждение (предсказание) и т. п.

На основании изложенного ошибку системы можно представить в виде

(11.130)

Выходная величина системы регулирования

(11.131)

где — весовая функция замкнутой системы. Подставляя (11.130) и (11.131) в формулу (11.129), получаем

(11.132)

Задача заключается в том, чтобы найти частотную передаточную функцию замкнутой системы, связанную с весовой функцией преобразованием Фурье

(11.133)

таким образом, чтобы минимизировать значение .

Раскроем в выражении (11.132) скобки и изменим порядок интегрирования:

Так как в реальных системах , то нижние пределы интегрирования в (11.138) надо положить равными нулю. В результате получим

(11.139)

Из последнего выражения видно, что оптимальная весовая функция, соответствующая минимуму среднего квадрата ошибки, определяется только видом корреляционных функций полезного сигнала и помехи.

Можно показать [120], что необходимое и достаточное условие минимизации выражения (11.139), которое должно быть наложено на весовую функцию, заключается в том, чтобы она была решением интегрального уравнения Винера — Хопфа

(11.140)

Оптимальная передаточная функция (11.133), соответствующая оптимальной весовой функции, являющейся решением уравнения (11.140), может быть представлена в виде

(11.141)

где

(11.142)

Вчастном случае, когда преобразующий оператор Н(р) = 1, т. е в так называемом случае оптимального сглаживания, имеем

Вэтом случае решение (11.141) может быть представлено в более простом виде:

(11.143)

Числитель этого выражения определяется следующим образом. Рассмотрим следующее выражение:

(11.144)

Здесь , расположенные в верхней полуплоскости, полюсы , расположенные в нижней полуплоскости, причем полюсы предполагаются простыми, а — нули . Тогда

(11.145)

При реализации в системе оптимальной передаточной функции получится теоретический минимум среднего квадрата ошибки. Этот минимум определяется выражением или, в другом виде,

(11.146)

или, в другом виде,

(11.147).

Рассмотрим иллюстративный пример. Предположим, что полезному сигналу и помехе на входе системы регулирования соответствуют спектральные плотности:

причем корреляция между ними отсутствует и . Найдем спектральную плотность, соответствующую (11.136):

Отсюда знаменатель искомой передаточной функции (11.143)

Отбросив первый член в скобках, соответствующий полюсу в нижней полуплоскости, находим числитель искомой передаточной функции (11.143):

Нахождение оптимальной передаточной функции еще не означает, что реальная автоматическая система может быть выполнена оптимальной, так как реализация ее может быть сопряжена с большими трудностями. Оптимальную передаточную функцию, за исключением простейших случаев, следует считать идеальной функцией, к которой по возможности надо стремиться при выполнении реальной автоматической системы. Теория оптимальных систем излагается в работах [26, 108, 120, 121].

ГЛАВА 12. МЕТОДЫ СИНТЕЗА СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

§ 12.1. Общие соображения

Под синтезом системы автоматического регулирования понимается направленный расчет, имеющий конечной целью отыскание рациональной структуры системы и установление оптимальных величин параметров ее отдельных звеньев. По отношению к основе синтеза в настоящее время имеются разные точки зрения.

Синтез можно трактовать как пример вариационной задачи и рассматривать такое построение системы автоматического регулирования, при котором для данных условий работы (управляющие и возмущающие воздействия, помехи, ограничения по времени работы и т. п.) обеспечивается теоретический минимум ошибки.

Синтез также можно трактовать как инженерную задачу, сводящуюся к такому построению системы автоматического регулирования, при котором обеспечивается выполнение технических требований к ней. Подразумевается, что из.многих возможных решений Инженер, проектирующий систему, будет выбирать те, которые являются оптимальными с точки зрения существующих конкретных условий и требований к габаритам, весу, простоте, надежности и т. п.

Иногда в понятие инженерного синтеза вкладывается еще более узкий смысл и рассматривается синтез, имеющий целью определение вида и параметров корректирующих средств, которые необходимо добавить к некоторой неизменяемой части системы регулирования (объект с регулятором), чтобы обеспечить требуемые динамические качества.

При инженерном синтезе системы автоматического регулирования необходимо обеспечить, во-первых, требуемую точность и, во-вторых, приемлемый характер переходных процессов.

Решение первой задачи в большинстве случаев сводится к определению требуемого общего коэффициента усиления системы и, в случае необходимости,— вида корректирующих средств, повышающих точность системы (регулирование по управляющему и возмущающему воздействиям, изодром-ные механизмы и т. п.). Эта задача может решаться при помощи определения ошибок в типовых режимах на основе тех критериев точности, которые были изложены в главе 8. Решение этой задачи, как правило, не сопряжено с трудностями принципиального или вычислительного характера, так как критерии точности достаточно просты для их практического использования. В сложных случаях можно прибегать к помощи моделирования. Решение оказывается сравнительно простым вследствие необходимости установления значений относительно небольшого числа параметров. В простейшем случае необходимо найти только общий коэффициент усиления системы.

Решение второй задачи — обеспечение приемлемых переходных процессов — оказывается почти всегда более трудным вследствие большого числа варьируемых параметров и многозначности решения задачи демпфирования системы. Поэтому существующие инженерные методы часто ограничиваются решением только второй задачи, так как их авторы считают, что обеспечение требуемой точности может быть достаточно просто сделано на основании использования существующих критериев точности и совершенствования их практически не требуется.

В настоящее время для целей синтеза систем автоматического регулирования широко используются электронные и электромеханические вычислительные машины, позволяющие производить полное или частичное моделирование проектируемой системы. При таком моделировании становится возможным наиболее полно исследовать влияние различных факторов нелинейности, зависимость параметров от времени и т. п.

Однако моделирование на вычислительных машинах не может заменить расчетных методов проектирования, которые во многих случаях позволяют исследовать вопрос в общем виде и среди многих решений найти оптимальное. Поэтому, несмотря на развитие и распространение машинных методов синтеза, теория должна располагать собственными методами, которые дополняли бы моделирование и являлись бы теоретической базой при отыскании оптимального решения.

§ 12.2. Корневой метод

Наиболее простой корневой метод разработан Т. Н. Соколовым [117]. Сущность его сводится к следующему. [В соответствии с изложенным в § 12.1 рассматривается только задача

.получения приемлемых динамических качеств при заданном значении общего коэффициента усиления, т. е. последнего члена характеристического уравнения.]

Пусть имеется характеристическое уравнение системы

(12.1)

С точки зрения скорейшего затухания переходного процесса важно, чтобы вещественные части всех корней характеристического уравнения были наибольшими. Сумма вещественных частей всех корней численно равна первому коэффициенту характеристического уравнения (12.1). Поэтому при заданной величине этого коэффициента наивыгоднейшие результаты получаются при равенстве вещественных частей всех корней/ Однако расчеты и исследования построенных систем показывают, что стремление удовлетворить поставленному требованию приводит к совершенно нереальным конструктивным характеристикам отдельных звеньев. Эти расчеты и исследования показывают, что из общего числа корней характеристического уравнения всегда можно выделить два или три корня с меньшей по абсолютному значению вещественной частью, которые и определяют ход основного процесса. Остальные же корни характеризуют быстро затухающие составляющие, оказывающие влияние только на начальной стадии переходного процесса.

Примем, что основной характер переходного процесса определяется двумя корнями. Тогда уравнение (12.1) удобно представить в виде

(12.2)

Второй сомножитель (12.2) и будет определять основной характер процесса.

Для уменьшения погрешностей проектируемой системы важно, чтобы коэффициент В2 в основном множителе имел возможно большую величину. Однако чрезмерное увеличение В2 приводит к колебательному характеру переходного процесса.

Оптимальное соотношение между коэффициентами B1 и В2 определяется из условия получения затухания за один период , которому соответствует выражение (см. §8.6)

(12.3)

где — вещественная и мнимая части комплексного корня, характеризующего основной процесс. Учитывая соотношения:

(12.4)

Множитель определяющий соотношение между коэффициентами основного множителя характеристического уравнения, является критерием переходного режима, зависящим от выбранной степени затухания. Формула (12.4) показывает желаемое соотношение между коэффициентами характеристического уравнения, к которому надо стремиться при проектировании системы. Это должно осуществляться введением различных корректирующих средств.

Из (12.3) можно также получить требуемое соотношение между мнимой и вещественной частями корня (колебательность):

(12.5)

В ряде случаев для описания основного переходного процесса оказывается более целесообразным воспользоваться уравнением третьей степени

(12.6)

Это уравнение можно представить в виде

(12.7)

Между коэффициентами уравнений (12.6) и (12.7) имеют место соотношения:

Положим, что во втором множителе (12.7) по-прежнему

(12.8)

Поэтому корни характеристического уравнения (12.6) и (12.7) равны: (12.9)

(12.10)

Так как вещественная часть корней должна быть возможно большей, то целесообразно задать

(12.11)

и, следовательно,

Подставив полученные значения в формулы разложения, находим зависимость между коэффициентами основного уравнения. Если В1 задано, то

Эти соотношения должны реализоваться при проектировании системы регулирования. Корни основного уравнения

Выбор уравнения для описания основной составляющей переходного процесса зависит от структурной схемы проектируемой системы.

Рассмотрим теперь связь между основной и дополнительной составляющими переходного процесса для заданного затухания ξ (8.40). Для этой цели полезно представить характеристическое уравнение (12.1) в таком виде:

(12.19)

где — произвольно выбранный среднегеометрический корень, А1, . . . , . ., Аn-1 — безразмерные коэффициенты.

Записанное в такой форме уравнение третьей степени принимает вид

Разлагая его на множители, находим

Соотношения для коэффициентов:

(12.21)

Введем коэффициент а и положим

откуда

Таким образом, безразмерные коэффициенты А1 и A2 являются функциями критерия переходного процесса &ш зависящего от. желаемой степени затухания и коэффициента разложения а, определяющего соотношение постоянных времени затухания отдельных составляющих.

Следовательно, обе составляющие переходного процесса затухают с одинаковой скоростью. Аналогичным образом можно получить выражения для коэффициентов

характеристического уравнения четвертой, пятой и более высоких степеней [117].

Синтез системы регулирования начинается с того, что для выбранной структурной схемы и введенных корректирующих средств находится характеристическое уравнение. Затем варьируются параметры основного канала регулирования и корректирующих средств таким образом, чтобы получить требуемые значения коэффициентов характеристического уравнения

(12.1) или (12.20).

Этот метод оказывается достаточно эффективным в случае сравнительно невысокой степени характеристического уравнения (n=2-4). В более сложных случаях обеспечить требуемые значения коэффициентов характеристического уравнения оказывается затруднительно, так как некоторые параметры системы и корректирующих средств могут влиять сразу на несколько коэффициентов характеристического уравнения.

Недостатком этого метода является также то, что необходимо задаваться видом корректирующих средств. Поэтому получаемое решение будет во многом зависеть от опытности проектанта.

§ 12.3. Метод корневых годографов

Качество системы регулирования с точки зрения быстродействия и запаса устойчивости может характеризоваться расположением корней числителя и знаменателя передаточной функции замкнутой системы, т. е. расположением нулей и полюсов передаточной функции (§ 8.6).

Зная эти корни, можно изобразить их расположение на комплексной плоскости корней. При расчете регулируемой системы целесообразно проследить, как меняется общая картина расположения корней при изменении отдельных параметров, например общего коэффициента усиления, постоянных времени корректирующих цепей и т. п., с целью установления оптимальных значений этих параметров.

При плавном изменении значения какого-либо параметра корни будут перемещаться на плоскости корней, прочерчивая некоторую кривую, которую будем называть корневым

годографом или траекторией корней. Построив траектории всех корней, можно выбрать такое значение варьируемого параметра, которое соответствует наилучшему расположению корней.

Первый способ построения траекторий корней заключается в следующем. Пусть имеется дифференциальное уравнение замкнутой системы, записанное для регулируемой величины при наличии задающего воздействия (5.3):

Это уравнение записано здесь для случая равенства нулю возмущающих воздействий. Оно может быть записано также для любого возмущающего-воздействия. Это не изменит его формы и не отразится на дальнейших рассуждениях.

Передаточная функция замкнутой системы

(12.29)

Полюсы передаточной функции, т. е. корни знаменателя, обозначим через , а

ее нули (корни числителя) —через .

Коэффициенты числителя и знаменателя (12.29) определенным образом выражены через параметры регулируемого объекта, регулятора и корректирующих устройств. Если нужно

выбрать величину какого-либо параметра (постоянная времени, коэффициент усиления и т. п.), входящего как угодно в коэффициенты (12.29), то необходимо принять некоторые постоянные

значения для всех остальных параметров, а для искомого параметра задавать различные

числовые значения внутри реально возможных пределов изменения этого параметра в данной системе регулирования. Для каждого из этих вариантов необходимо затем вычислить корни числителя и знаменателя (12.29). Результаты вычислений можно свести в таблицу, на основании которой легко строятся все траектории корней.

Если нужно выбрать два или несколько параметров регулируемой системы, то такого рода вычисления нужно проделать несколько раз, меняя каждый раз один из параметров при заданных значениях всех остальных.

Вычисление корней при этом можно производить любым численным методом, возможно более простым, так как ввиду приближенности корневой оценки здесь не требуется большой точности вычислений. В настоящее время имеются электрические устройства, позволяющие строить на экране траектории корней непосредственно по заданным коэффициентам уравнения.

Из простых численных методов определения корней можно рекомендовать, например, метод последовательных делений [98].

Другой способ построения траекторий корней, разработанный Ивэнсом и Э. Г. Удерманом [128], в отличие от первого, пригодного для выбора любого параметра системы, специально приспособлен для выбора общего коэффициента усиления передаточной функции разомкнутой системы (5.10), которую запишем следующим образом:

(12.30)

Здесь К = Кr — общий коэффициент усиления разомкнутой системы, имеющий размерность сек-r, где r — степень астатизма; G1 (р) — операторная часть передаточной функции разомкнутой системы.

Характеристическое уравнение системы может быть записано в виде

(12.31)

Обозначим полюсы и нули передаточной функции разомкнутой системы соответственно через . Тогда

Каждый сомножитель в выражении (12.32) можно изобразить в виде вектора на комплексной плоскости (рис. 12.1), где р — текущая точка. Обозначим длину (модуль) каждого

вектора в знаменателе (12.32) через , а в числителе — через Соответственно угол между вектором и положительным направлением оси вещественных

(аргумент) для знаменателя обозначим , а для числителя — . По правилу перемножения комплексных чисел согласно формуле (12.32) найдем, что G (р) будет представлять собой вектор с длиной г ж аргументом ф, причем

(12.33)

где

Траектории корней (рис. 12.1) строятся таким образом, чтобы они удовлетворяли условию (12.38). После этого по формуле (12.34) для каждой

конкретной комбинации корней можно вычислить А и величину r, а затем по формуле (12.37) — общий коэффициент усиления К.

Для упрощения построения траекторий корней используются следующие свойства. 1.При К = 0 корни характеристического уравнения замкнутой системы совпадают с

полюсами передаточной функции разомкнутой системы W (р) или G (р), так как согласно (12.31) при К = 0 имеем .

2. При корни стремятся к нулям передаточной функции разомкнутой системы, так

как при из (12.31) получаем . Но количество нулей равно m, в то время как количество корней n >m. Поэтому остальные n — m корней уходят в бесконечность, так как

еще при . Для последних n-m корней можно определить направления асимптот на основании (12.31) и (12.32). При больших имеем соответственно

откуда аргумент комплексного числа и, значит, аргумент числа , т. е. наклон искомых асимптот, будет

(12.41)

3.На вещественной оси траектории корней представляют собой отрезки прямой, соединяющие нули и полюсы функции G (р), расположенные на этой оси. Началом траекторий на вещественной оси служит нуль, расположенный правее всех остальных.

4.Если траектория отклоняется от вещественной оси, то положение точки р = а, в которой траектория отходит от этой оси, можно оценить из того условия, что при малом отклонении , от вещественной оси приращение угла (12.35), обусловленное влиянием полюсов и нулей функции G (р), расположенных на оси влево от искомой точки, должно уничтожаться приращением этого же угла, обусловленным влиянием полюсов и нулей О (р), расположенных вправо от этой точки.

Так, например, пусть имеется функция

(12.42)

При К = 0 траектории исходят из точек (—0,001), (—2) и (—6), лежащих на вещественной

оси. Отрезки траекторий лежат между точками (—0,001) ж (—2) и между (—6) и . Применяя правило 4, можем записать

Решение этого квадратного уравнения дает .

5. Положение точки, в которой траектория пересекает мнимую ось при переходе в правую полуплоскость комплексной переменной р, часто можно оценить, пренебрегая влиянием малого по абсолютной величине полюса функции G (р).

Рассмотрим в качестве примера опять функцию (12.42). При значительных по модулю величинах комплексной переменной р эту функцию можно с хорошей точностью аппроксимировать функцией

Тогда (рис. 12.2) и, следовательно, условие (12.38) сводится к равенству

и Рассматривая график на рис. 12.2, можно заметить, что

откуда следует, что . Это равенство и представляет собой условие для определения точки пересечения В.

6. Направление касательной к траектории при выходе ее из какого-либо полюса или при подходе к какому-либо нулю нетрудно определить путем вычисления угла между этой касательной в данном полюсе или нуле и вещественной осью. При таком вычислении используется зависимость (12.38) для аргументов всех нулей и полюсов, расположенных по условию в левой полуплоскости комплексной переменной р.

На рис. 12.3 изображены траектории корней передаточной функции G (р), имеющей два нуля и два полюса на вещественной оси и одну пару комплексных сопряженных полюсов. При

достаточно малом удалении точки р от полюса q4 углы , соответствующие

остальным нулям и полюсам, останутся неизменными. Таким образом, в силу (12.38) угол найдется из уравнения I