Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975

ГЛАВА 9

ПОВЫШЕНИЕ ТОЧНОСТИ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

§9.1. Общие методы

Кчислу общих методов повышения точности систем автоматического регулирования относятся:

1) увеличение коэффициента усиления разомкнутой цепи;

2) повышение степени астатизма;

3) применение регулирования по производным от ошибки.

Увеличение общего коэффициента усиления разомкнутой цепи является наиболее универсальным и эффективным методом. Увеличить общий коэффициент усиления можно обычно за счет введения в систему регулирования усилителей. Однако в некоторых случаях удается достичь этого увеличения за счет повышения коэффициентов передачи отдельных звеньев, например чувствительных элементов, редукторов и т. д.

Увеличение общего коэффициента усиления благоприятно сказывается в смысле уменьшения ошибок практически во всех типовых режимах. Это вытекает, в частности, из того, что общий коэффициент усиления разомкнутой цепи входит в качестве делителя во все коэффициенты ошибок (см. пример, рассмотренный в § 8.3).

Однако увеличение общего коэффициента усиления ограничивается устойчивостью системы регулирования. При повышении коэффициента усиления, как правило, система приближается к колебательной границе устойчивости. При некотором предельном его значении в системе возникают незатухающие колебания. В этом сказывается противоречие между требованиями к точности и требованиями к устойчивости системы регулирования.

В связи с этим повышение общего коэффициента усиления до значения, при котором обеспечивается выполнение требований к точности, обычно может производиться только при одновременном повышении запаса устойчивости системы, что осуществляется при помощи так называемых корректирующих средств, рассматриваемых в следующей главе.

Повышение порядка астатизма. Повышение порядка астатизма используется для устранения установившихся ошибок в различных типовых режимах: в неподвижном положении, при движении с постоянной скоростью, при движении с постоянным ускорением и т. д. Формально это сводится к тому, чтобы сделать равными нулю первые коэффициенты ошибки системы,

например, с0 = 0 при астатизме первого порядка, или с0 = с1 = 0 при астатизме второго порядка, или с0 = с1 = с2 = 0 при астатизме третьего порядка и т. д. Физически повышение порядка астатизма осуществляется за счет введения в канал регулирования интегрирующих звеньев. В качестве таких звеньев могут, например, использоваться звенья, изображенные на рис. 4.21. Структурная схема системы регулирования с введенным интегрирующим звеном изображена на рис. 9.1. Передаточная функция интегрирующего звена

где — коэффициент передачи интегрирующего звена. W (р) представляет собой передаточную функцию разомкнутой системы регулирования до введения интегрирующего звена.

Результирующая передаточная функция разомкнутой системы будет иметь дополнительный множитель р в знаменателе:

Повышение порядка астатизма неблагоприятно сказывается на устойчивости системы. Поэтому одновременно с повышением порядка астатизма в системе автоматического регулирования приходится использовать корректирующие звенья, повышающие запас устойчивости (см. главу 10).

В качестве иллюстрирующего примера рассмотрим систему, изображенную на рис. 6.4. Для нее была получена передаточная функция разомкнутой системы в виде

(9.1)

которая соответствует астатизму первого порядка.

В соответствии с примером, рассмотренным в § 8.3, первые коэффициенты ошибки можно записать следующим образом (если положить Tу = Т1, Тм = Т2 и К = Кv):

(9.2)

Введем в систему интегрирующее звено, например интегрирующей привод. Соответствующая этому случаю электромеханическая схема изображена на рис. 9.2.

В этой схеме приняты следующие условные обозначения; СКВТ — синусно-косинусные вращающиеся трансформаторы, ЛВТ — линейный вращающийся трансформатор, Д — двигатели, Р —редукторы, Т Г - тахогенератор. Передаточная функция исходной системы без интегрирующего звена (9.1) была выведена в § 6.2. Передаточная функция разомкнутой системы, изображенной на рис. 9.2, будет отличаться от (9.1) наличием дополнительного множителя &ж/р, который дает интегрирующее звено. В результате получим передаточную функцию разомкнутой системы в виде

(9.3)

где - добротность системы по ускорению.

Эта передаточная функция соответствует уже астатизму второго порядка. Передаточная функция системы по ошибке

(9.4)

Раскладывая эту функцию в ряд делением числителя на знаменатель, получаем вместо (9.2) следующие равенства для коэффициентов ошибок:

(9.5)

Сравнивая (9.5) с (9.2), можно заметить, что в результате введения интегрирующего звена вследствие повышения порядка астатизма получено условие c1 = 0, и, следовательно, будет равна нулю скоростная составляющая ошибки.

Однако, если проверить теперь систему на устойчивость, можно убедиться, что система вообще не может работать, так как получить устойчивую работу нельзя ни при каком значении общего коэффициента усиления Кε. Это называется структурной неустойчивостью.

Действительно, передаточной функции (9.3) соответствует характеристическое уравнение

в котором отсутствует член, содержащий оператор в первой степени. Пропуск одного из членов в характеристическом уравнении всегда соответствует неустойчивости в соответствии с § 6.1.

Появление неустойчивости в рассматриваемой системе при повышении порядка астатизма|можно проиллюстрировать на логарифмических характеристиках. Логарифмические

.характеристики для передаточной функции (9.1) построены на рис. 9.3 по выражениям:

(9.7)

Логарифмические характеристики для передаточной функции (9.3) построены на рис. 9.3 по выражениям:

(9.8)

(9.9)

Сравнение рис. 9.3, а и 9.3, б, а также формул (9.7) и (9.9) показывает, что введение интегрирующего элемента дает дополнительный фазовый сдвиг (—90°), в результате чего в рассматриваемой схеме нельзя добиться устойчивой работы ни при каком значении общего коэффициента усиления. Однако это не означает, что схема является вообще неработоспособной. Введение в нее корректирующих средств (см. главу 10) позволяет не только достичь устойчивости, но и обеспечить определенный запас устойчивости, т. е. выполнить требования к качеству процесса регулирования.

Применение изодромных устройств. Существует путь повышения порядка астатизма системы регулирования без заметного или недопустимого ухудшения ее запаса устойчивости. Этот путь заключается в применении изодромных устройств, например таких, как изображенные на рис. 4.22. Структурная схема системы регулирования при введении изодромного устройства изображена на рис. 9.4. Передаточная функция изодромного устройства может быть представлена в виде

(9.10)

Пример введения изодромного устройства показан на рис. 9.5. На рис. 9.5, а изображен чувствительный элемент регулятора давления с противодействующей пружиной. Если не учитывать массу движущихся частей, то перемещение чувствительного элемента будет пропорциональным отклонению давления от заданного значения:

(9.11)

где k1 — коэффициент пропорциональности, определяемый жесткостью пружины.

На рис. 9.5, б изображен тот же элемент, но с противодействующим демпфером. Так как сила, развиваемая демпфером, пропорциональна скорости перемещения его поршня, то в этом

случае будет иметь место соотношение . Вместо (9.11) получим

(9.12)

где k2 — коэффициент, определяемый скоростным сопротивлением демпфера. Равенство (9.12) соответствует введению интеграла в закон регулирования.

Наконец, в случае, изображенном на рис. 9.5, е, перемещение чувствительного элемента будет складываться из деформации пружины и перемещения поршня демпфера:

(9.13)

где — постоянная времени изодромного устройства.

В качестве второго примера рассмотрим приведенную выше схему следящей системы (рис. 9.2). Переход от введения дополнительного интеграла к введению изодромного устройства может быть сделан добавлением связи

показанной пунктиром. Передаточная функция разомкнутой системы может быть получена умножением (9.1) на передаточную функцию изодромного устройства.

В результате для рассматриваемой схемы получим:

(9-14)

где —добротность системы по ускорению. Коэффициенты ошибки определяются равенствами:

(9.15)

Рассматривая характеристическое уравнение системы

можно убедиться, что в системе возможно получение устойчивости при выполнении условия

(9.16)

или, в ином виде,

(9.17)

Нетрудно видеть, что при Ти→∞ (это будет при отсутствии интегрирующего привода в изодромном механизме) условие устойчивости переходит в неравенство

(9.18),

которое справедливо для исходной схемы, изображенной на рис. 6.4.

При достаточно больших значениях постоянной времени изодромного механизма Ти, что

соответствует малому передаточному коэффициенту интегрирующего привода условия устойчивости (9.16) и (9.17) будут мало отличаться от условия устойчивости (9.18)

исходной схемы. Таким образом, введе-ние изодромного механизма с относительно большой постоянной времени Ти дает повышение порядка астатизма на единицу при возможности практически сохранить условия устойчивости в системе, куда этот механизм вводится.

Это обстоятельство можно проиллюстрировать также на логарифмических частотных характеристиках (рис. 9.6). В соответствии с выражением для передаточной функции разомкнутой системы (9.14) можно записать;

(9.19)

(9.20)

Сравнивая эти выражения с формулами (9.6) и (9.7) справедливыми для исходной схемы, можно заметить, что при относительно большом значении постоянной времени Tи логарифмические характеристики системы с изодромным устройством будут иметь отличие

только в низкочастотной области при . Для частот дополнительный множитель в (9.19) обращается в единицу, а дополнительный фазовый сдвиг в (9.20) равен нулю.

Таким образом, при логарифмические частотные характеристики системы с изодромным устройством практически не отличаются от логарифмических характеристик исходной схемы. В частности, в районе нуля децибел для л.а.х. можно получить одинаковый вид амплитудной и фазовой характеристик для обеих схем, что будет соответствовать одинаковому запасу устойчивости.

На рис. 9.6 сплошными линиями показаны л. а. х. и л.ф.х. для исходной схемы, а пунктирными — изменения, даваемые введением изодромного устройства с относительно большой постоянной времени.

Следует заметить, что введение изодромного устройства с большой постоянной времени образует систему, динамические качества которой могут оказаться сравнительно низкими. Это объясняется тем, что введение такого устройства улучшает вид амплитудной характеристики только в низкочастотной области (рис. 9.6). В результате коэффициенты ошибки, следующие за тем коэффициентом, который обращается в нуль, могут не только не уменьшиться, но даже возрасти.

В рассмотренном выше примере при введении изодромного устройства обратился в нуль коэффициент с1 (9.15). Однако в следующие коэффициенты в качестве делителя входит

добротность по ускорению . При большом значении постоянной времени Ти добротность системы по ускорению Кε получается малой и коэффициенты ошибок с2, с3, ... сильно возрастают. Для дальнейшего повышения порядка астатизма системы регулирования могут применяться не один, а два, три и т. д. изодромных устройства. В этом случае можно получить повышение порядка астатизма на один, два, три и т. д. в зависимости от необходимости. На рис. 9.7 в качестве примера приведена структурная схема системы с тремя изодромными устройствами, т. е. схема с тройным изодромированием.

Если исходная система имеет, например, астатизм первого порядка, то система рис. 9.7 с изодромными устройствами будет обладать астатизмом четвертого порядка. В этом случае для коэффициентов ошибой будет иметь место равенство с0 = с1 = с2 = с3 = 0. Как и ранее, при соответствующем выборе постоянных времени изодромных

устройств можно сохранить практически те же условия устойчивости, что и в исходной системе.

Регулирование по производным от ошибки. В большинстве случаев регулирование по производным от ошибки имеет целью повысить запас устойчивости системы, что дифференцирующий элемент позволяет увеличить общий коэффициент усиления системы и тем самым улучшить точность регулирования. Это будет рассмотрено более подробно в главе 10.

Однако регулирование по производным от ошибки может самостоятельно повышать точность системы регулирования даже в том случае, когда сохраняется неизменным общий коэффициент усиления в системе. Физика этого явления заключается в том, что при введении регулирования по производным система начинает чувствовать не только наличие ошибки, но и тенденцию к изменению ее величины. В результате система регулирования более быстро реагирует на появление задающих и возмущающих воздействий, что снижает ошибку регулирования.

Структурная схема введения производной по ошибке изображена на рис. 9.8. Передаточная функция части прямого канала вместе с включенным дифференцирующим элементом может быть представлена приближенно (в предположении, что дифференцирующий элемент является идеальным) в виде

(9.21), где Tд — постоянная времени дифференцирующей цепи.

В качестве дифференцирующих элементов могут, например, применяться устройства, изображенные на рис. 4.23 и 4.24.

Рассмотрим в качестве примера ту же следящую систему (рис. 6.4). При введении производной от ошибки при помощи тахогеиераторов, установленных на командной и исполнительной осях, электромеханическая схема

будет иметь вид, изображенный на рис. 9.9. Здесь приняты следующие обозначения: СKBT - синусно-косинусные вращающиеся трансформаторы, Т Г — тахогенераторы, Д — двигатель, Р

— редуктор.

Передаточная функция разомкнутой системы может быть получена умножением (9.1) на передаточную функцию (9.21). В результате получим

(9.22)

где постоянная времени Тд представляет собой отношение передаточного коэффициента тахогенератора к передаточному коэффициенту чувствительного элемента (СКВТ), т. е.

Для передаточной функции разомкнутой системы (9.22) находим передаточную функцию по ошибке:

(9.23)

Раскладывая ее в ряд, получаем соотношения для коэффициентов ошибок:

(9.24)

Сравнивая последние выражения с (9.2), можно заметить, что коэффициенты са и с3 (а также следующие коэффициенты) уменьшаются при введении регулирования по первой производной от ошибки. При соответствующем выборе величины постоянной времени Тд можно добиться условий с2 = 0 или с3 = 0. При с2 = 0 система не будет иметь установившейся ошибки, пропорциональной ускорению.

Аналогичным образом, применяя два включенных последовательно дифференцирующих элемента, можно получить равенство нулю одновременно двух коэффициентов, например с2 = 0 и с3 = 0. В этом случае можно показать, что в системе, наряду с регулированием по первой производной от ошибки, будет использоваться регулирование по второй производной. Это вытекает из того, что передаточная функция двух дифференцирующих элементов, включенных друг за другом в соответствии с рис. 9.8, будет равна произведению двух передаточных функций типа (9.21):

(9.25)

где представляет собой отношение коэффициентов передачи по первой производной и по ошибке, а — отношение коэффициентов передачи по второй производной и по ошибке.

Как видно из рассмотренного, в отличие от случая введения изодромного устройства (см. рис. 9.4), когда обращается в нуль первый, ранее отличный от нуля коэффициент ошибки, введение дифференцирующего элемента (рис. 9.8) не влияет на этот коэффициент ошибки, но зато уменьшает последующие коэффициенты. В связи с этим наиболее эффективное снижение ошибки системы регулирования может быть достигнуто при одновременном использовании изодромных устройств и дифференцирующих элементов.

Так как дифференцирование эквивалентно дополнительному усилению верхних частот, то использование более чем двух дифференцирующих элементов оказывается затруднительным вследствие возрастания влияния высокочастотных помех. Число же изодромных устройств ограничивается только получающимся усложнением системы регулирования. Однако и оно обычно не превышает трех.

§ 9.2. Теория инвариантности и комбинированное управление

Одним из способов, позволяющих получить высокую точность в системах автоматического регулирования, является использование методов так называемой теории инвариантности [74, 129]. Система автоматического регулирования является инвариантной по отношению к возмущающему воздействию, если после завершения переходного процесса, определяемого начальными условиями, регулируемая величина и ошибка системы не зависят от этого воздействия. Система автоматического регулирования является инвариантной по отношению к задающему воздействию, если после завершения переходного процесса, определяемого начальными условиями, ошибка системы не зависит от этого воздействия.

Оба этих понятия имеют общую математическую трактовку. Рассмотрим эту трактовку для случая, когда на систему действует одно входное воздействие — задающее g (t) или возмущающее f (t). Пусть для ошибки системы регулирования имеет место дифференциальное уравнение

(9.26)

где ψ(t) — задающее или возмущающее воздействие, а .

Решение этого уравнения имеет две составляющие — переходную хп(t) и вынужденную хв(t). Переходная составляющая определяется общим решением уравнения (9.26) без правой части, а вынужденная — частным решением уравнения (9.26) с правой частью.

Изображение ошибки х (t) при нулевых начальных условиях можно представить в следующем виде:

(9.27)

где

Здесь введено также изображение функции времени ψ(t), представляющее собой дробнорациональную функцию комплексной величины p = c+jω:

(9.28)

В соответствии с теоремой разложения (см. § 7.4) оригинал (9.27) в случае отсутствия кратных корней может быть представлен в виде

(9.29)

где рk — полюсы передаточной функции, т. е. корни уравнения D (р) = 0, а pi — полюсы входного воздействия, т.е. корни уравнения B (р) = 0. Вынужденная составляющая xв(t) будет тождественно равна нулю в следующих случаях.

1. Если . Этот случай является тривиальным, так как соответствует отсутствию входного воздействия, и он не представляет интереса.

Рассмотрим вначале случай, когда дополнительно к регулированию по отклонению х (t) используется регулирование по задающему воздействию g (t). Структурная схема такой системы изображена на рис. 9.10, а.

В случае отсутствия регулирования по задающему воздействию; т. е. при φ (р) = 0, регулируемая величина у связана с задающим воздействием y через передаточную функцию замкнутой системы:

(9.30)

где W(р) — передаточная функция разомкнутой системы.

При введении регулирования по задающему воздействию регулируемая величина определяется выражением

(9.31)

Эквивалентная передаточная функция замкнутой системы с учетом регулирования по задающему воздействию

(9.32)

Из последнего выражения видно, в частности, что введение регулирования по задающему воздействию не меняет характеристического уравнения системы, работающей по отклонению, так как знаменатель передаточной функции замкнутой системы одинаков в (9.30) и (9.32). Это обстоятельство является замечательным свойством систем комбинированного регулирования.

Введение дополнительного регулирования по задающему воздействию не меняет левой части дифференциального уравнения. Это означает, что не будут нарушаться не только условия устойчивости, но сохранятся оценки качества переходного процесса, базирующиеся на использовании корней характеристического уравнения.

Из выражения (9.32) по известным соотношениям (5.19) и (5.26) могут быть найдены эквивалентная (т. е. с учетом регулирования по задающему воздействию передаточная функция по ошибке

(9.33)

и передаточная функция разомкнутой системы

(9.34)

Переход к эквивалентной передаточной функции разомкнутой системы Wэ (р) позволяет заменить структурную схему системы комбинированного управления эквивалентной ей обычной схемой системы регулирования, работающей по отклонению (рис. 9.10, б).

Из формулы (9.33) для передаточной функции по ошибке можно найти условие полной инвариантности системы регулирования. Положив Фхэ (р) = 0, получаем

(9.35)

Разложив последнее выражение в ряд по возрастающим степеням оператора, получим необходимый вид функции, определяющей вводимый сигнал от управляющего воздействия:

где а0 — безразмерное число.

Этот ряд может быть конечным и бесконечным. Первое слагаемое (9.36) в астатических системах и в большинстве статических систем (см. следующий параграф) оказывается равным нулю. Это не распространяется на случай использования комбинированного управления по

возмущающему воздействию, где практически всегда получается .

Таким образом, при введении регулирования по задающему воздействию для получения полной инвариантности необходимо вводить пер вую и высшие производные от задающего воздействия.

Обычно точно можно ввести только в некоторых случаях первую производную, а все последующие производные могут быть получены приближенно при помощи использования