Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975

Аналогичным образом можно найти изображение интеграла от функции времени:

(7.31)

где представляет собой значение интеграла, находящегося в левой части (7.31),

при t = 0:

Для нулевых начальных условий выражение (7.31) упрощется:

т. е. интегрированию по времени оригинала соответствует деление на изображение на комплексную величину р.

Рассмотрим теперь использование изображений для решения дифференциального уравнения

(7.32)

на примере преобразования Лапласа.

Перейдем в левой и правой частях (7.32) к изображениям Лапласа.

При этом оператор дифференцирования в полиномах D (р) и N (р) заменяется на комплексную величину , а вместо оригиналов х (t) и f(t)

появляются их изображения X (р) и F (р). В результате получаем

где D0 (р) обозначает сумму всех членов, содержащих начальные условия. Отсюда находится изображение искомой величины:

(7.33)

Последнее выражение требует некоторых пояснений в связи с различными возможными трактовками понятия начальных условий. Интегральное преобразование Лапласа (7.17) следует, вообще говоря, записать в более строгом виде (при замене s на р):

(7.34)

Это дает возможность введения двух несколько отличающихся понятий преобразования Лапласа (и соответственно преобразования Карсона — Хевисайда).

1. Преобразование Лапласа по начальным условиям справа. Если в выражении (7.34) нижний предел интегрирования стремится к нулю, оставаясь положительным (а >0), то в изображении производной (7.26) следует брать начальные условия при t = + 0, т. е. для момента времени, который будет сразу после приложения к системе внешних воздействий. В этом случае

Для использования последней формулы необходимо знание начальных условий справа, что оказывается не всегда удобным и требует расчета по формулам § 7.3. Заметим, что даже в тех случаях, когда до приложения воздействия система находилась в покое, начальные условия справа могут быть ненулевыми и полином D0 (р), как правило, отличен от нуля.

Кроме того, если рассматриваемая функция времени f(t) имеет при t = 0 особенности типа -функции, то это обстоятельство не будет учтено в найденном изображении. Так, например, изображение самой -функции и ее производных оказывается при этом равным нулю:

2. Преобразование Лапласа по начальным условиям слева. Если в формуле (7.34) нижний предел интегрирования стремится к нулю, оставаясь отрицательным (а < 0), то в выражении для изображения производной (7.26) следует брать начальные условия при t=- 0, т. е. для момента времени, который будет непосредственно предшествовать моменту приложения воздействия. Такие начальные условия называются также предначалъными. В этом случае

Расчет получается более простым, так как предначальные условия должны быть известны всегда и никаких дополнительных операций здесь не требуется. В частном случае, когда до приложения воздействия система находилась в покое, предначальные условия нулевые и выражение (7.33) приобретает вид

(7.35)

Только это выражение и позволяет строго сформулировать понятие передаточной функции ТУ(р) как отношение изображений входной и выходной величин при нулевых предначальных условиях.

Кроме того, преобразование Лапласа в случае, когда нижний предел интегрирования стремится к нулю, оставаясь отрицательным (а < 0), позволяет учитывать наличие в рассматриваемой функции при 2 = 0 особенностей типа -функции. Так, например, изображение единичной -функции оказывается равным единице;

а изображение ее производной n-го порядка

Влияние особенностей f (t) и ее первых m производных, где m — порядок полинома N(р) , на изображение N(р)f(t) в этом случае и проявляется в виде автоматического учета начальных условий, которые будут иметь место справа (при t = + 0) в самом изображении N (р) Р (р) без введения дополнительного члена D0 (р) при нулевых предначальных условиях или без его изменения при ненулевых предначальных условиях. В связи с этим -функция иногда называется также функцией начальных условий.

В дальнейшем изложении под преобразованием Лапласа будет пониматься именно этот случай (а < 0).

Зная изображение искомой величины X (р) в виде (7.33) или (7.35), можно найти оригинал х (t). Это и будет решением исходного дифференциального уравнения (7.32).

Для отыскания оригинала х (t) по его изображению X (р) можно пользоваться таблицами изображений и существующими теоремами, в частности теоремой разложения, которая устанавливает следующее. Если изображение Лапласа имеет вид отношения двух многочленов

(7.36)

то при отсутствии нулевых корней знаменателя

(7.37)

где рk — некратные корни знаменателя (7.36).

Если знаменатель изображения Лапласа (7.36) имеет нулевой корень (p0 = 0), то изображение надо представить в виде

(7.38)

Тогда оригинал может быть найден по формуле

(7.39)

Аналогичным образом теорема разложения может быть записана и для преобразований Карсона — Хевисайда. Так, например, если изображение искомой величины может быть представлено в виде отношения двух полиномов

(7.40)

то при отсутствии нулевых и кратных корней знаменателя оригинал будет определяться выражением

(7.41)

Это выражение полностью совпадает с формулой (7.39), так как изображения Лапласа (7.38) и Карсона — Хевисайда (7.40) отличаются на множитель р.

Использование изображений часто называют также операторным методом, хотя в действительности операторному методу, разработанному Хеви-сайдом, оказывается полностью аналогичным использование только преобразований Карсона — Хевисайда

(7.21) и (7.22).

Метод использования |изображений обладает тем преимуществом, что в нем полностью сохраняется лишь одна операция — вычисление корней характеристического уравнения (знаменателя изображения). Что касается определения произвольных постоянных интегрирования, то эта операция отпадает, потому что начальные условия автоматически учитываются в процессе решения с самого начала (при нахождении изображения искомой величины). Поэтому этот метод оказывается удобным и его часто применяют в задачах теории регулирования.

Практически важной для отыскания оригинала решения является еще теорема свертывания. Она гласит следующее. Если изображение представляет собой произведение

(7.42)

то оригинал выражается формулой

(7.43)

где т представляет собой вспомогательное время интегрирования. В частности, пусть для некоторой системы с передаточной функцией

W(р) известна реакция на единичную импульсную функцию , представляющую собой функцию веса и связанную W(р) преобразованием -Лапласа

Если на вход этой системы поступает некоторая функция времени f(t), изображение которой F(р), то изображение выходной величины будет

Тогда функция времени на выходе может быть найдена по интегралу •свертывания (7.43), который совпадает с интегралом Дюамеля (4.9):

(7.44)

л^

оо

Если входная функция определена только для положительного времени

(прикладывается на вход в момент времени t = 0), то функция отлична от нуля только при . В этом случае верхний предел интеграла в формуле (7.44) может быть заменен на бесконечность и она приобретает вид

(7.44')

§ 7.5. Использование вещественных частотных характеристик

Опишем метод приближенного построения кривой переходного процесса в автоматической системе (при воздействиях в виде скачка и импульса) по заданной вещественной частотной характеристике замкнутой системы, разработанный В. В.

Солодовниковым в 1948 году [121]. Этот способ полезен тогда, когда расчет системы ведется с самого начала, частотными методами. Он совершенно необходим, если известны уравнения не всех звеньев системы, а часть из них задается экспериментально снятыми частотными характеристиками.

На основании интеграла Фурье (7.16) оригинал искомой величины может быть представлен в виде

(7.45)

где —изображение Фурье искомой функции времени х (t), а (7.46)

—частотное изображение искомой величины, полученное из изображения Карсона

—Хевисайда (р) подстановкой р = jω.

Однако использовать интегральную зависимость (7.45) можно только в том случае, когда все полюсы функции X (jω) лежат в левой полуплоскости.

Тогда интегрирование может вестись по мнимой оси. Это значит, что для преобразования Лапласа (7.18) абсцисса абсолютной сходимости с = 0 и р = jω.

В действительности изображение Фурье X (jω) даже для устойчивой системы, когда все полюсы передаточной функции системы лежат в левой полуплоскости, может иметь полюсы на мнимой оси за счет входного воздействия. Так, например, пусть передаточная функция системы имеет вид

.

причем а > 0 и b > 0 Полюсы этой передаточной функции лежат в левой полуплоскости.

Если на вход поступает сигнал типа единичной ступенчатой функции

x1 (t) = 1(t), изображение которого по Лапласу равно , то изображение выходной величины будет

Это изображение имеет однократный полюс в начале координат (р1 = 0). Если на

вход системы поступает сигнал типа , изображение которого , то изображение выходной величины будет иметь в начале координат двукратный полюс

(р1 = р2 = 0).

В связи с этим для использования интегральной зависимости (7.45) необходимо отделить от изображения Фурье искомой функции времени члены, содержащие полюсы на мнимой оси.

Рассмотрим частный случай, когда изображение Карсона — Хевисайда

не имеет полюсов на мнимой оси. К этому случаю сводится например, задача нахождения переходной функции в устойчивой системе, если даны ее передаточная функция Ф (р), не имеющая полюсов на мнимой оси, и входное воздействие типа

единичной ступенчатой функции . Тогда изображение по Лапласу выходной величины будет

и соответственно .

Тогда оказывается, что частотное изображение совпадает с частотной передаточной функцией замкнутой системы Ф (jω), а вещественная и мнимая части в формуле (7.46) совпадают с вещественной Р (ω) и мнимой S(ω) частотными характеристиками замкнутой системы. К аналогичному результату можно прийти, если рассматривать реакцию системы на скачок внешнего возмущения. Тогда вещественная и мнимая части в формуле (7.46) будут совпадать с вещественной и мнимой частями

частотной передаточной функции по возмущению . К тому же частному случаю могут сводиться и другие задачи исследования

переходных процессов в системах регулирования, например нахождение' ошибки системы при приложении скачкообразного внешнего возмущения, нахождение функции веса системы и др.

В этом случае существует ограниченное установившееся значение искомой функции времени х (t), которое можно получить, подставляя в значение р = 0.

Учитывая, что , получаем . Тогда подынтегральная функция (7.45) может иметь однократный полюс в начале координат. Его можно

устранить, рассматривая не саму величину х (t), а разность , которой соответствует разность изображений . В результате приходим к следующей интегральной зависимости:

(7.47)

Используем формулу Эйлера

Подставляя последнее выражение в (7.47), используя формулу (7.46) и отбрасывая мнимую часть, которая должна быть равной нулю, так как функция х (t) является, конечно, вещественной, получаем

(7.48)

Подынтегральное выражение представляет -собой четную функцию частоты. Поэтому интегрирование по всем частотам можно заменить интегрированием только по положительным частотам, а затем удвоить результат.

Так как

то в результате имеем

(7.49)

Если принять нулевые начальные условия, то до приложения внешнего воздействия (при t<0) . Заменив в (7.49) время t на —t, получим

(7.50)

Совместное решение (7.49) и (7.50) дает два выражения для нахождения искомой функции времени:

(7.51)

(7.52)

причем .

Таким образом, можно отыскать оригинал х (t) по известной вещественной или известной мнимой частям частотного изображения . Обычно для этих целей используется вещественная часть изображения .

Если входное воздействие представляет собой единичный скачок, то, как указывалось выше, частотное изображение совпадает с частотной передаточной функцией замкнутой системы . Тогда в формулы (7.51) и (7.52) будут входить вещественная и мнимая части частотной передаточной функции замкнутой системы

. Следовательно, в этом случае для построения переходного процесса, который будет представлять собой переходную функцию системы h(t),

необходимо в формуле (7.52) положить — вещественная характеристика системы. В результате получим

(7.53)

Аналогичным образом, при нахождении реакции системы на единичный •скачок возмущающего воздействия необходимо использовать вещественную

часть частотной передаточной функции по возмущению.

В дальнейшем изложении будем иметь в виду случай, определяемый формулой (7.53), хотя методика построения переходного процесса остается единой и для общего случая (7.52).

Интегрирование выражения (7.53) представляет большие трудности. Поэтому обычно исполь зуется приближенное решение задачи. Для этой цели вводится понятие типовой единичной трапецеидальной вещественной характеристики, (рис. 7.3).

Единичная трапеция имеет высоту, равную единице и частоту среза , также равную единице, точнее, 1 сек-1.

Единичная трапеция характеризуется частотой излома, которая может быть задана в виде коэффициента наклона трапеции

Для единичных трапеций с различными коэффициентами наклона по выражению (7.53) может быть вычислен оригинал, т.е. функция времени. Эта функция получила название h.-функции. В настоящее время составлены подробные таблицы h-функции для различных коэффициентов наклона, лежащих в пределах 0 < χ < 1 (см. приложение 1).

По такой таблице для каждого коэффициента наклона единичной трапеции может

быть построена функция времени — безразмерное время, соответствующее единичной трапецеидальной характеристике.

Метод построения кривой переходного процесса заключается в том, что построенную вещественную характеристику исследуемой системы (рис. 7.4) разбивают на ряд трапеций, заменяя приближенно кривые линии прямолинейными отрезками так, чтобы при сложении ординат всех трапеций получилась исходная характеристика. Затем для каждой трапеции определяется коэффициент наклона. При известном коэффициенте наклона по таблицам могут быть построены h-функции для каждой трапеции.

Кривая переходного процесса может быть получена суммированием построенных h- функций с учетом правил масштабов. Правила масштабов заключаются в следующем.

1. Перед сложением ординаты каждой h-функции необходимо умножить на высоту соответствующей трапеции (см. рис. 7.4), так как h-функция построена для трапеции, имеющей единичную высоту. При этом необходимо учитывать знак высоты, считая высоту положительной для трапеций, расположенных выше абсцисс.

3. Перед сложением необходимо изменить масштаб времени каждой h-функции, так как h-функции построены для единичной трапеции, имеющей частоту среза = 1 сек-1. Изменение масштаба времени делается в соответствии с теоремой подобия (табл. 7.2).

Действительное время равно времени приведенному в таблице h-функций, деленному на частоту среза соответствующей трапецеидальной характеристики:

При нахождении реакции системы на единичную импульсную входную функцию, т.е. функции веса , можно пользоваться общей формулой (7.52). При этом должно быть вещественной частью частотного изображения искомой функции

, где 1 представляет собой

изображение единичной импульсной функции . Однако можно преобразовать формулу (7.53) так, что и при нахождении функции веса можно будет исходить из вещественной частотной характеристики замкнутой системы Р (ω). Для этой цели продифференцируем выражение (7.53) по времени:

(7.54)

Если разбить исходную вещественную характеристику на трапецеидальные характеристики (рис. 7.4), то аналогично построению переходной функции выражение (7.54) можно представить в виде

где n — число трапеций, на которые разбита вещественная характеристика Р(ω). Можно показать, что это выражение приводится к виду

(7.55)

где введены обозначения

Следовательно, в данном случае искомая функция времени приближенно определяется простым подсчетом ее ординат по формуле (7.55) для разных t и последующим построением по точкам. Для облегчения подсчетов можно воспользоваться готовыми таблицами значений зш а/а, которые имеются в справочниках.

В заключение заметим, что при построении кривой переходного процесса по трапецеидальным частотным характеристикам наибольшие ошибки получаются в начальной части кривой, так как отбрасываемый «хвост» вещественной частотной характеристики замкнутой системы влияет главным образом именно на начальную часть кривой переходного процесса.

Кроме изложенного здесь частотного метода В. В. Солодовникова существует еще предложенный А. А. Вороновым [28] аналогичный способ построения кривых переходного процесса по треугольным частотным характеристикам.

§ 7.6. Использование вычислительных машин

За последнее время для исследования систем автоматического регулирования и управления и, в частности, для построения переходных процессов стали широко применяться вычислительные машины непрерывного и дискретного действия. Наибольшее применение находят вычислительные машины непрерывного действия, относящиеся к классу моделирующих установок электронного или электромеханического типа.

Удобство моделирующих вычислительных машин заключается в том, что физическому процессу, протекающему в исследуемой системе регулирования, соответствует протекание в вычислительной машине (модели) некоторого другого «аналогового» процесса, описываемого теми же дифференциальными уравнениями, что и исходный процесс. Это позволяет изучать процессы в системах регулирования наиболее наглядно, так как каждой обобщенной координате в исследуемой системе соответствует некоторая переменная в вычислительной машине, например электрическое напряжение, ток (в электронной модели) или угол поворота (в электромеханической модели).

Моделирующие вычислительные машины позволяют моделировать как всю систему в целом, так и отдельные ее части. Так, например, часто вычислительная машина используется для моделирования объекта регулирования, например самолета, корабля, паровой турбины, двигателя внутреннего сгорания и т. п., а сам регулятор может быть реальным. При «сопряжении» реального регулятора с объектом, в качестве которого выступает модель, получается замкнутая система регулирования, которая может быть исследована еще до того, как будет построен сам объект.

Вычислительные машины целесообразно использовать для исследования обыкновенных линейных систем в тех случаях, когда последние описываются дифференциальными уравнениями сравнительно высокого порядка и их аналитическое исследование становится малоэффективным. Однако наибольшее значение имеют вычислительные машины при исследовании линейных систем с переменными параметрами и нелинейных систем, поскольку для этих случаев пока еще мало разработано приемлемых для практики методов, а иногда аналитические методы вообще отсутствуют.

Точность моделирующих вычислительных машин обычно не превосходит нескольких процентов. В большинстве случаев этого оказывается достаточно для целей практики. Получение точности в десятые доли процента и выше связано со значительным

увеличением стоимости машин. В этом отношении целесообразнее использовать вычислительные машины дискретного типа, которые сравнительно просто могут обеспечить высокую точность вычислений.

В связи с этим для обычных задач разработки систем автоматического регулирования, как правило, используются более простые и удобные моделирующие вычислительные машины. Дискретные вычислительные машины привлекаются для целей исследования лишь в случаях, требующих повышенной точности вычислений.

Следует заметить, что моделирование не призвано полностью заменить аналитические или графические методы исследования систем регулирования. Комплекс технических задач, связанных с проектированием, конструированием, регулировкой и настройкой систем, весьма сложен, и он всегда должен опираться на сознательные расчетно-теоретические методы. Моделирование же процессов на вычислительных машинах во многом сводится к просматриванию некоторого количества возможных вариантов, разобраться в которых, а также наметить их предварительно можно при помощи существующих теоретических методов анализа и синтеза. Наилучшим решением в настоящее время является взаимная увязка расчетно-теоретических методов и методов моделирования, так как они взаимно дополняют друг друга и позволяют наиболее полно и быстро решить задачу разработки сложной системы регулирования.

Электронные модели. Электронные моделирующие вычислительные машины имеют наибольшее применение вследствие их сравнительной простоты в изготовлении и эксплуатации. Процессы в исследуемой системе изучаются при помощи наблюдения процессов в некоторой электронной схеме, которая описывается теми же дифференциальными уравнениями, что и исходная система.

Пусть исследуемая реальная система описывается совокупностью уравнений, разрешенных относительно первых производных

(7.56)

x1, . . ., хn — переменные, описывающие поведение исследуемой системы. В электронной модели должна быть реализована совокупность дифференциальных уравнений аналогичного вида:

(7.57)

где X1, . . ., Хn — машинные переменные (обычно напряжения),

соответствующие исследуемым переменным, — масштабные коэффициенты, связывающие исследуемые переменные с соответствующими машинными

переменными, — масштаб времени, связывающий истинное время протекания процессов t с временем протекания процессов в модели τ.

Заметим, что изменение скорости протекания процессов возможно только при полном моделировании всей системы. При моделировании только части системы и сопряжении ее с реальной аппаратурой необходимо выполнение равенства τ = t, т. е. mt=1.

При выборе масштаба времени должно учитываться то обстоятельство, что электронные модели могут точно работать при ограниченном времени протекания моделируемого процесса. Это время не должно обычно превышать нескольких сотен секунд, что связано с особенностями работы электронных интеграторов.

Масштабные коэффициенты mi, должны выбираться таким образом, чтобы в переходных процессах максимальное значение машинной переменной

не превосходило предельного допустимого значения, которое обычно равно 100 в.

Существует две разновидности электронных моделирующих машин: модели структурного типа и модели матричного типа. Первые позволяют моделировать