Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975

Обратные связи. Такое соединение звеньев изображено на рис. 5.5. Обратная связь может быть положительной, если сигнал х3, снимаемый с выхода второго звена, суммируется с сигналом x1 на входе, и отрицательной, если х3 вычитается.

Для определения результирующей передаточной функции такой комбинации звеньев запишем следующие очевидные соотношения:

x2 =W1 ( p)[x1 ± x3 ]

x3 =W2 ( p)x2

где знак плюс относится к положительной, а знак минус — к отрицательной обратной связи. Решая эти уравнения совместно относительно х2, можно найти результирующую передаточную функцию:

Здесь знак минус относится к положительной, а знак плюс — к отрицательной обратной связи.

Обратные связи будут рассмотрены подробно в главе, посвященной методам улучшения динамических свойств системы автоматического регулирования.

При использовании динамических звеньев обычно наиболее просто находится передаточная функция разомкнутой системы (рис. 5.1). Затем по формулам, приведенным в § 5.2, легко находятся все уравнения системы автоматического регулирования.

При анализе системы автоматического регулирования необходимо составить ее так называемую структурную схему, представляющую собой совокупность динамических звеньев со связями между звеньями. Такая структурная схема часто является весьма простой и ее составление не представляет особого труда. Однако в некоторых случаях составление структурной схемы сопряжено с большими трудностями и может быть сделано только на основании детального анализа исходных дифференциальных уравнений системы регулирования. В этом случае структурная схема не облегчает нахождения основных уравнений системы; однако и в этом случае она остается весьма ценной, так как на ней в наглядной форме представлены все узлы исследуемой системы и все существующие между ними связи. Это может оказаться полезным во всех дальнейших исследованиях.

виду, например к изображенной на рис. 5.6. Преобразование структурных схем линейных систем делается на основе некоторых правил, которые даны в табл. 5.2.

На рис. 5.9 изображены этапы упрощения сложной структурной схемы на основе приведенных выше правил. При упрощении введены дополнительные передаточные функции, определяемые выражениями

Полученная в результате преобразования схема (рис. 5.9, в) уже относится к простейшим.

Использование графов. Подобно структурным схемам графы прохождения сигналов используются для наглядного изображения математических зависимостей в системах регулирования. Графом (рис. 5.10, б) называется множество вершин и ребер.

2.Каждое ребро графа, изображаемое в виде линии со стрелкой, указывающей направление прохождения сигнала, имеет вершину-начало (входную величину) и вершину-конец (выходную величину). Если из вершины выходит несколько ребер, то все они имеют одинаковую входную величину.

3.Выходная величина ребра получается как результат преобразования, осуществляемого соответствующим ребру оператором, входной величины ребра.

4.Если к одной вершине подходит несколько ребер, то величина, соответствующая этой вершине, получается алгебраическим суммированием выходных величин этих ребер.

Между структурной схемой и графом прохождения сигналов имеется прямое соответствие: прямоугольник структурной схемы соответствует ребру, а линия передачи сигнала — вершине графа.

На рис. 5.10 для сравнения изображены одновременно структурная схема (а) и граф прохождения сигналов (б) одной и той же системы.

Правила преобразования графов подобны правилам преобразования структурных схем линейных систем. Эти правила изображены на рис. 5.11 в виде исходных (первый столбец) и эквивалентных (второй столбец) схем.

В дальнейшем изложении будут использоваться более удобные структурные схемы.

§ 5.5. Многомерные системы регулирования

К многомерным относятся системы управления и регулирования, имеющие несколько регулируемых величин уi (i = 1, 2, . . ., m). Это имеет место во многих современных сложных системах. К ним относятся, например, системы регулирования напряжения и частоты синхронных генераторов, системы управления подвижных объектов, многие системы регулирования технологических процессов и др.

Многомерный объект описывается системой уравнений, которую удобно представлять в матричной форме.

Введем одностолбцовую m-мерную матрицу регулируемых величин

(5.64)

одностолбцовую k-мерную матрицу управляющих величин

(5.65)

и одностолбцовую l-мерную матрицу возмущающих воздействий

(5.66)

Здесь штрихом обозначена операция транспонирования матрицы.

Если регулируемые величины имеют одинаковую физическую размерность и могут трактоваться как проекции некоторого вектора на оси координат, матрица-столбец может отождествляться с этим вектором. Тогда можно говорить о векторе регулируемых величин.

Если регулируемые величины имеют разную физическую размерность, то переход от матрицы-столбца к вектору в принципе может быть сделан ив этом случае, если ввести в

матрицу-столбец весовые коэффициенты, уравнивающие размерности отдельных составляющих. Однако такой переход не является единственным, а имеет бесчисленное количество вариантов.

Аналогичным образом при равенстве физических размерностей отдельных составляющих матриц-столбцов управляющих величин и возмущений может быть введен вектор управления и вектор возмущения. При разных физических размерностях отдельных составляющих матриц-столбцов переход к вектору возможен, но не будет единственным.

Линеаризованные уравнения движения многомерного объекта могут быть записаны в матричном виде:

(5.67)

Здесь введена квадратная матрица операторных коэффициентов

(5.68)

и прямоугольные матрицы операторных коэффициентов

(5.69)

(5.70)

Если в выражениях (5.64) — (5.70) перейти к изображениям Лапласа при нулевых начальных условиях, то матричное уравнение (5.67) может быть записано для изображений в следующем виде:

(5.71)

Здесь Y(р), U(р) и F(р) — матрицы-столбцы изображений регулируемых величин, управляющих величин и возмущений.

В уравнение (5.71) входят также квадратная матрица Q( p) = qij ( p) m×n и прямоугольные матрицы R( p) = rij ( p) m×k и S( p) = sij ( p) m×l

Если матрица Q(р) неособая, т. е. определитель Q( p) ≠ 0 , то, умножив левую и правую части (5.71) слева на обратную матрицу Q-1 (р), получим

(5.72)

Здесь введены матрицы передаточных функций объекта для управляющих величин

Формулы (5.72) — (5.74) позволяют получить связь между регулируемыми величинами и управляющими и возмущающими воздействиями. Так, например, если m= 3, k = 2 и l = 0, то из (5.72) и (5.73) можно получить для изображений

(5.75)

Если в матрице передаточных функций объекта (5.73) или (5.74) для каждого элемента матрицы (частной передаточной функции) найти обратное преобразование

Лапласа (оригинал), то будет получена так называемая матрица Коши (матрица весовых функций). Запишем ее, например, для управляющих воздействий:

(5.76)

Если в момент времени t= 0 на все входы поступают управляющие воздействия ui (t), где i= 1, 2, . . ., k, то изменение j-и регулируемой величины может быть записано посредством интеграла Дюамеля — Карсона (4.9) на основании принципа суперпозиции:

На рис. 5.13 изображена условная структурная схема замкнутой многомерной системы регулирования. На схеме все указанные символы соответствуют матрицам: g(t)

— задающих воздействий, у(t) — регулируемых величин, х (t) — ошибок для каждой регулируемой величины, u(t) — управляющих воздействий, f(t) — возмущений, Wо (р) — передаточных функций для управлений, Wf (р) — передаточных функций для возмущений. Кроме того, введена прямоугольная матрица передаточных функций

регулирующего устройства Wрег ( p) = kij ( p) k×m которая определяет используемые законы регулирования. Она дает связь между изображениями управляющих величин и ошибок:

(5.77)

Уравнения многомерной системы (рис. 5.13) могут быть получены действиями, аналогичными одномерному случаю (§ 5.2).

Матрица передаточных функций разомкнутой по всем каналам системы

(5.78)

Характеристическая матрица системы представляет собой квадратную матрицу размером т х т:

(5.79)

Здесь I — единичная матрица размером та х т, т. е. квадратная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны единице, а остальные — нулю.

Характеристическое уравнение системы получается приравниванием нулю определителя характеристической матрицы:

(5.80)

Заметим, что в случае, когда многомерная система представляет совокупность т независимых одномерных систем, характеристическая матрица

будет диагональной и определитель системы тогда равен произведению частных определителей каждой из систем, т. е. D( p) = D1 ( p) ×...× Dm ( p) , В этом случае общее характеристическое уравнение распадается на т независимых характеристических уравнений Di ( p) = 0 , i=1,2,... m.

Матрицы передаточных функций замкнутой системы, замкнутой системы по ошибке и замкнутой системы по возмущениям при условии, что матрица Q(р) неособая, что означает независимость исходных дифференциальных уравнений, могут быть определены из выражений

(р) — алгебраическое дополнение определителя D( p) .

Полученные выражения для матриц передаточных функций замкнутой системы позволяют использовать формулы, аналогичные формулам § 5.2, но записанные уже для матриц-столбцов ошибок и регулируемых величин. Так, например, для матрицы изображений ошибок имеем

(5.84)

На рис. 5.14 изображены для иллюстрации некоторые структурные схемы двумерных систем регулирования. Схема на рис. 5.14, а соответствует так называемому сепаратному регулированию объекта с двумя входами и двумя выходами. Матрица передаточных функций регулирующего устройства в этом случае получается диагональной. Матрицу изображений управляющих величин для этого случая можно представить в виде

(5.85)

Схемы на рис. 5.14, б и в соответствуют комбинированному регулированию. В этом случае

(5.86)

Исходные дифференциальные уравнения многомерной системы регулирования могут быть также представлены в форме Коши в матричной записи:

(5.87)

Величины xi (i = 1, 2, . . ., n) представляют собой некоторые абстрактные величины, задание которых полностью определяет текущее состояние системыЭти

величины называются фазовыми координатами системы. Состояние системы может быть также отождествлено с положением изображающей точки в n-мерном пространстве, которое носит название пространства состояния.

При переходе к изображениям и совместном решении система уравнений может быть приведена, например, к виду (5.84).

Характеристическое уравнение, соответствующее системе (5.87), имеет вид

(5.88)

где I — единичная матрица n x n.

Векторная запись исходных уравнений. Введем в рассмотрение «-мерное векторное пространство состояния, которое определяется базисом (набором векторов)

так, что с матрицей-столбцом фазовых координат может быть отождествлен вектор состояния

(5.89)

Длины векторов базиса играют роль весовых коэффициентов в переходе от матрицы-столбца фазовых координат к вектору состояния. Заметим, что в общем случае, когда рассматриваются абсолютные, а не относительные значения фазовых координат, их физические размерности не совпадают и длины векторов базиса не могут считаться единичными.

Аналогичным образом может быть введено векторное пространство управления, возмущения и выходных величин.

При введении векторов исходные уравнения системы могут быть записаны в векторной форме:

(5.90)

Фазовые координаты, а также составляющие управления, возмущения и выходных координат могут быть получены как проекции соответствующих векторов на оси, определяющие выбранные векторные пространства.

При использовании относительных (безразмерных) величин в качестве базиса может приниматься совокупность ортогональных векторов единичной длины, т. е. обычное n- мерное евклидово пространство.