Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975

практически такой случай является нежелательным и его надо избегать, стремясь использовать только устойчивые местные обратные связи. Это объясняется наличием некоторых нежелательных свойств, в частности появлением условной устойчивости, которая при имеющихся обычно в системе нелинейностях может в некоторых режимах привести к потере устойчивости и появлению автоколебаний. Поэтому, как правило, при расчете системы выбирают такие местные обратные связи, которые были бы устойчивыми при разомкнутой главной обратной связи.

Знаменатель передаточной функции разомкнутой системы (6.28) может иметь чисто мнимые корни. Пусть, например, имеется один нулевой корень p1 = 0, пара мнимых корней , а все остальные корни знаменателя Q (р) лежат в левой полуплоскости (рис. 6.21).

Передаточную функцию разомкнутой системы в этом случае можно представить в виде

Для устранения неопределенности при изменении частоты от можно использовать изложенный выше прием и отнести три корня, .лежащих на мнимой оси, к левой полуплоскости, обойдя их справа по полуокружностям бесконечно малого радиуса.

В этом случае на частотах модуль будет стремиться к бесконечности, а аргумент W(р) при прохождении этих частот должен претерпевать приращение —180°, т. е. разрывы а. ф. х. должны дополняться полуокружностью бесконечного радиуса в направлении по часовой стрелке.

Это изображено на рис. 6.22. На рис. 6.22, а показана а. ф. х. разомкнутой системы, устойчивой в замкнутом состоянии. А. ф. х. построена только для положительных частот.

При частоте а. ф. х. уходит в бесконечность, асимптотически приближаясь к

прямой, составляющей с осью вещественных угол, равный .

Далее а. ф. х. дополнена полуокружностью бесконечного радиуса, и при w > β она

возвращается на бесконечности вдоль той же асимптоты. Дальнейший ход а. ф. х. является обычным.

Из рисунка 6.22, а видно, что а. ф. х. разомкнутой системы не охватывает точку (-1, j0). В данном случае это должно соответствовать устойчивости замкнутой системы.

На рисунке 6.22 б изображен другой случай, когда расположение а. ф. х. таково, что в замкнутом состоянии система оказывается неустойчивой, так как а. ф.х. охватывает точку (-1, j0).

Достоинством критерия Найквиста является возможность использования для определения устойчивости снятых экспериментально частотных характеристик. Это оказывается особенно ценно в том случае, когда ввиду сложности исследуемой системы трудно получить исходные дифференциальные уравнения всей системы или ее отдельных блоков.

Большое практическое преимущество критерия Найквиста заключается в том, что он может применяться при использовании логарифмических характеристик, которые во многих случаях могут строиться почти без вычислительной работы. Этот вопрос будет рассмотрен в следующем параграфе.

В качестве иллюстрирующего примера рассмотрим следящую систему, изображенную на рисунке 6.4. для этой системы была получена передаточная функция разомкнутой системы

Нетрудно видеть, что все корни знаменателя, кроме одного нулевого корня, лежат в левой полуплоскости. Поэтому в устойчивой системе а. ф. х. не должна охватывать точку

(-1, j0).

Частотная передаточная функция

Модуль ее

A(w) = k

w 1 + w2Tу2 1 + w2TМ2

и фаза

ψ (w) = −90D − arctg(wTу ) − arctg(wTМ ) = −90D − arctg w−(Tу 2+TМ ) . 1 w TМTу

Задаваясь различными значениями частоты от 0 до , можно вычислить модуль и фазу. По модулю и фазе легко строится вектор W() либо вычисляются предварительно вещественная и мнимая части частотной передаточной функции

Ввиду достаточно простого выражения для частотной передаточной функции в данном примере можно легко найти U () и V (), разлагая непосредственно комплекс W() на вещественную и мнимую части:

Результаты расчетов сводятся в табл. 6.2.

Примерный вид амплитудно-фазовой характеристики в случае устойчивой замкнутой системы изображен на рис. 6.23. Поскольку исходная передаточная функция имеет простой вид, задача получения устойчивости в рассматриваемой системе может быть решена в общем виде. Из рис. 6.23 следует, что для получения устойчивости точка пересечения амплитудно-фазовой характеристики с осью" вещественных (точка а) должна лежать правее точки (—1, j0). Это условие можно записать следующим образом:

.

Найдем частоту в точке а. Это можно сделать, взяв одно из условий или , откуда получаем

Подстановка этой частоты в записанное выше неравенство дает

или, после преобразования,

Таким образом, получено условие, совпадающее с найденным ранее условием, вытекающим из критериев Гурвица и Михайлова.

Сделаем теперь два замечания, касающихся использования для определения устойчивости замкнутой системы передаточной функции разомкнутой системы.

Замечание 1. В случае многоконтурной системы регулирования размыкание ее для получения передаточной функции разомкнутой системы можно делать, вообще говоря, в произвольном месте. Рассмотрим, например, систему, структурная схема которой изображена на рис. 6.24.

Разомкнем систему на входе первого звена. Тогда, рассматривая точку а как вход, а точку b как выход, получаем передаточную функцию разомкнутой системы

Разомкнем теперь ту же систему не на входе первого звена, а в цепи обратной связи второго звена (точка с соответствует входу, а точка d — выходу).

Передаточная "функция разомкнутой системы в этом случае

Передаточные функции W(р) и W’(р) получились различными. Однако им соответствует одно и то же характеристическое уравнение замкнутой системы

, которое имеет вид

.

Поэтому для определения устойчивости можно пользоваться передаточной функцией разомкнутой системы, полученной размыканием исходной системы в произвольной точке, в которой выполняется условие детектирования.

Однако^передаточные функции W(р) и W’(р) имеют различие. Только передаточная функция W(р) связывает между собой изображения регулируемой величины и ошибки и только она связана с передаточной функцией замкнутой системы Ф (р) известным соотношением (5.26):

Передаточную функцию при размыкании на входе первого звена в дальнейшем будем считать главной передаточной функцией разомкнутой системы и именно ее иметь в виду при рассмотрении методов определения качества регулирования и синтеза систем регулирования.

Замечание 2. При определении устойчивости в используемой передаточной функции разомкнутой системы можно перемещать члены знаменателя в числитель и наоборот, за исключением старшего члена знаменателя. Так, например, если имеется передаточная функция

то для расчета устойчивости она может быть заменена функцией

В справедливости этого нетрудно убедиться на основании того, что характеристическое уравнение замкнутой системы 1 + W(р) = 1+W' (р) = 0 сохраняет при этом свой вид:

§ 6.6. Определение устойчивости по логарифмическим частотным характеристикам

Для определения устойчивости по критерию Найквиста можно строить не амплитудно-фазовую характеристику, а логарифмическую амплитудную частотную

характеристику (л.а.х.) и логарифмическую фазовую частотную характеристику (л.ф.х.) разомкнутой системы.

Построение л.а.х. производится по выражению

,

где А () — модуль частотной передаточной функции разомкнутой системы (6.29).

Построение л.ф.х. производится по значению частотной передаточной функции (6.29). Для построения л.а.х. и л.ф.х. удобно использовать стандартную сетку, изображенную на рис. 4.10.

Наиболее простое построение получается, если передаточную функцию разомкнутой системы можно свести к виду

(6.34)

Фаза (аргумент) частотной передаточной функции

(6.35)

На основании (6.34) и (6.35) можно легко, без дополнительных вычислений построить асимптотическую л.а.х., для чего на стандартной сетк& (рис. 6.25) наносятся вертикальные прямые при сопрягающих частотах

. Для определенности построения возьмем передаточную функцию разомкнутой системы с астатизмом первого порядка в виде

которой соответствует выражение для модуля в логарифмических единицах

(6.36)

Примем, что выполняется условие T1 > T2 > Т3. Тогда для сопрягающих частот (рис. 6.25) будет выполнено условие ω1 < ω 2 < ω 3.

Построение асимптотической л.а.х. начинается с области низких частот. Если частота меньше первой сопрягающей частоты: ω < ω 1, то выражение (6.36) приобретает вид

которому соответствует прямая с отрицательным наклоном 20 дб/сек, проходящая

через точку А с координатами и через точку Е с координатами . Эту прямую (первую асимптоту) необходимо провести в низкочастотной области до первой сопрягающей частоты (точка В). Если эта сопрягающая частота соответствует постоянной времени, находящейся в знаменателе (6.34), то необходимо «изломать» л.а.х. на 20 дб/дек вниз, т. е. провести следующую асимптоту с наклоном, большим на 20 дб/дек. Если эта сопрягающая частота соответствует постоянной времени, находящейся в числителе (6.34), то соответственно необходимо «изломать» л.а.х. на 20 дб/дек вверх.

В соответствии с выражением (6.36) для рассматриваемого примера в точке В необходимо «изломать» л.а.х. на 20 дб/дек вниз, в точке С — на 20 дб/дек вверх и в точке В — на 40 дб/дек вниз. Таким образом, последняя высокочастотная асимптота в рассматриваемом примере будет иметь отрицательный наклон 60 дб/дек.

Аналогичное построение л.а.х. может быть сделано при любом порядке астатизма. Разница будет заключаться в наклоне первой низкочастотной асимптоты, который должен быть равен r·20 дб/дек. Эта асимптота может быть построена по одной точке с

координатами или по точке пересечения асимптоты с осью

частот (осью нуля децибел), которая имеет координаты . Выражение для фазового сдвига (6.35) в рассматриваемом примере приобретает вид

(6.37)

Каждый из углов представляет, по сути дела, одну и ту же зависимость фазового сдвига апериодического звена первого порядка от частоты. Поэтому достаточно

построить, например, только зависимость (см. рис. 6.25). Все остальные слагаемые получаются простым сдвигом этой фазовой характеристики так, чтобы при соответствующей сопрягающей частоте иметь фазовый сдвиг 45°. При этом необходимо учитывать знак каждого слагаемого (6.37).

Логарифмическая характеристика разомкнутой системы может не сводиться к выражению (6.34). Если числитель или знаменатель передаточной функции разомкнутой системы содержит комплексные корни, то в выражениях (6.34) и (6.35) появятся члены,

имеющие соответственно вид и . В этом случае для построения л.а.х. удобно выделить члены, соответствующие комплексным корням. Так, например, если в простой последовательной цепи звеньев содержится колебательное звено, то вместо выражения (6.34) можно записать

Первое слагаемое последнего выражения строится описанным выше путем. Для построения второго слагаемого можно использовать кривые, приведенные на рис. 4.18.

Аналогичным образом строится л.ф.х. Для построения фазовой характеристики колебательного звена можно использовать графики, приведенные на рис. 4.18.

Так, например, для системы с астатизмом третьего порядка в случае устойчивой в разомкнутом состоянии системы (см. рис. 6.20) л.ф.х. должна проходить так, как это изображено на рис. 6.27. Фазовая характеристика при низких частотах начинается со значения фазового сдвига = — 270°. Затем фазовый сдвиг уменьшается по абсолютному значению так, чтобы > — 180°. Фазовая характеристика должна затем «обогнуть» точку пересечения л.а.х. с осью нуля децибел (точку I), после чего фазовые сдвиги могут быть любыми по величине.

Аналогичным образом можно сформулировать требования к л.ф.х. и в других случаях.

Иногда для определения устойчивости пользуются не л.а.х. и л.ф.х., а логарифмической амплитудно-фазовой характеристикой разомкнутой системы, построенной в координатах «модуль в децибелах — фаза» или «модуль в децибелах — запас по фазе» (см. рис. 4.12). Для устойчивой системы эта характеристика должна обогнуть справа точку с координатами L(ω) = 0 и = — 180° (или = 0). На рис. 4.12 изображена характеристика, соответствующая устойчивой системе.

§ 6.7. Устойчивость двумерных систем с антисимметричными связями

В практике встречаются двумерные системы регулирования с антисимметричными связями. Структурная схема такой системы изображена на рис. 6.28. Она содержит два

идентичных канала с одинаковыми передаточными функциями и антисимметричные связи. К такому виду сводятся некоторые гироскопические устройства, двухканальные системы слежения и др.

Матрица-столбец выходных (регулируемых) величин связана с матрицей-столбцом ошибок выражением

(6.38)

Характеристическое уравнение замкнутой системы:

(6.39)

Здесь I — единичная матрица 2x2.

Уравнение (6.39) можно представить в другом виде:

(6.40)

где корни уравнения (6.39)

(6-41)

Исследование (6.40) сводится к рассмотрению двух уравнений: W0- = 0 и W0- =0. Формально здесь может быть использован, например, критерий Найквиста, но вместо точки комплексной плоскости (—1, j0), которая соответствует обычной записи

характеристического уравнения W0 + 1 = 0, необходимо рассматривать две точки,

соответствующие комплексным числам .

На рис. 6.29 изображена комплексная плоскость, на которой построены а.ф.х. частотной передаточной функции и комплексные числа, соот ветствующие

. Замкнутая система будет устойчивой, если а. ф. х. устойчивого или нейтральноустойчивого в разомкнутом состоянии одного изолированного канала не будет охватывать

точек комплексной плоскости, соответствующих .

Колебательная граница устойчивости будет иметь место, если выполняется одно из

равенств: .

Из (6.41) нетрудно видеть, что при а = 0 обе точки стягиваются в одну точку

, что соответствует обычной формулировке критерия Найквиста.

Другой метод расчета устойчивости заключается в том, что вводятся в рассмотрение комплексные величины

(6.42)

Матричная зависимость (6.38) дает два равенства:

(6.43)

Умножая второе равенство на / и складывая, получаем для комплексных величин

(6.44)

Здесь введена эквивалентная передаточная функция разомкнутой двумерной системы

(6.45)

Для дальнейшего расчета может использоваться критерий Найквиста в своей обычной формулировке. Однако при построении а. ф. х. частотной передаточной

функции она оказывается повернутой по сравнению с исходной а. ф. х. величины

почасовой стрелке на угол . Это соответствует введению дополнительного фазового сдвига, что приближает а. ф. х. к точке (—1, j0) и снижает

запас устойчивости (рис. 6.30, а). Кроме того, оказывается в раз

больше , что также способствует снижению запаса устойчивости.

При а<0 поворот а. ф. х. будет против часовой стрелки и к точке (—1, j0) будет приближаться верхняя ветвь а. ф. х., соответствующая отрицательным частотам (рис. 6.30, б). Это также соответствует снижению запаса устойчивости.

Заметим, что и в случае перехода к комплексным величинам у* и х* можно

произвести расчет по а. ф. х. исходной одноканальной системы . В этом случае колебательная граница устойчивости будет при выполнении условия

(6.46)

Условие (6.46) сводится к равенству

(6.47)

что согласуется с первым методом расчета устойчивости.

Рассмотренные методы позволяют упростить определение устойчивости двумерной системы по сравнению с использованием результирующего характеристического

уравнения (6.39), так как требуют рассмотрения передаточной функции одного изолированного канала.