Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975

§ 5.6. Управляемость и наблюдаемость

Рассмотрим n-мерное пространство состояния X, в котором каждому состоянию системы соответствует некоторое положение изображающей точки, определяемое значениями фазовых координат xi (i = 1, . . ., n).

Пусть в пространстве состояния X заданы два множества и . Рассматриваемая система будет управляемой, если существует такое управление

, определенное на конечном интервале времени , которое переводит изображающую точку в пространстве X из подобласти Г1 в подобласть Г2.

Можно сузить определение управляемости и понимать под ней возможность перевода изображающей точки из любой области пространства состояния X в начало координат. Система будет полностью управляемой, если каждое состояние управляемо в этом смысле.

От пространства состояния X перейдем к другому пространству посредством неособого преобразования , причем , где R — матрица коэффициентов n x n.

Тогда вместо (5.87) будем иметь

(5.91)

Здесь использованы преобразованные матрицы коэффициентов: ,

, .

Введение новых фазовых координат посредством неособого преобразования

приводит к эквивалентным системам различной структуры.

При некотором преобразовании может оказаться, что часть управляющих величин не входит в некоторые дифференциальные уравнения (5.91) или часть фазовых координат не участвует в формировании выхода у. В первом случае система будет не полностью управляемой, а во втором — не полностью наблюдаемой.

В случае не полностью управляемой системы ее исходные уравнения (5.87) могут быть представлены в виде

(5.92)

Ох.

Это иллюстрирует рис. 5.15. Набор фазовых координат х1 соответствует управляемой части фазовых координат, а набор ж2 — неуправляемой части.

Р. Калманом [50] был доказан критерий управляемости, который гласит, что размерность V управляемой части системы, то есть порядок первой группы уравнений (5.91), совпадает с рангом матрицы

(5.93)

При v = n система полностью управляема, при 0 < v < n не полностью управляема и при v = 0 полностью неуправляема.

На рис. 5.16, а изображен простейший пример. Если рассматривать выходную величину у (t) при ненулевых начальных условиях, то можно записать

(5.94)

где определяются начальными условиями до приложения входного сигнала u1 (t), а ув (t) — вынужденная составляющая. Система устойчива при а>0, b>0 и с>0.

Если начальные условия до приложения u1 (t) были нулевыми, то поведение системы может быть рассчитано по передаточной функции

(5.95)

В этом случае по интегралу Дюамеля — Карсона

(5.96)

Как следует из выражений (5.95) и (5.96), система во втором случае-описывается дифференциальным уравнением не третьего, а второго порядка. Система будет устойчивой даже при а. < 0.

Рассмотренная система будет не полностью управляемой. В ней оказывается, что n = 3, а v = 2.

При введении второй составляющей управления u2 (t) система оказывается полностью управляемой, и ей будет соответствовать матрица-строка передаточных функций по управлению

В случае не полностью наблюдаемой системы ее уравнения могут быть, представлены в виде

(5.97),

Эти уравнения отличаются от (5.87) тем, что фазовые координаты группы x2 не входят ни в выражения для у и u, ни в первое уравнение, куда входят только фазовые координаты группы x1. Группа фазовых координат x2 относится к ненаблюдаемым. Это иллюстрирует рис. 5.17.

где — номинальное сопротивление якоря двигателя, Мкз - момент короткого замыкания двигателя (вращающий момент заторможенного двигателя).

В формуле (5.155) перейдем к углу поворота двигателя а, который связан с угловой скоростью зависимостью .

(5.116)

Из последнего выражения, сравнивая его с формулой (5.9), можно получить передаточную функцию двигателя, связывающую его угол поворота а с э. д. с. генератора:

(5.117)

и передаточную функцию по возмущению, связывающую угол поворота а с моментом M, приложенным к его оси:

(5.118)

Редуктор. Считая редуктор линейным безынерционным звеном, запишем его передаточную функцию в виде

(5.119)

где i > 1 — передаточное отношение редуктора.

Тахогенератор. Передаточная функция тахогенератора, в соответствии с § 4.7, еоответствует идеальному дифференцирующему звену:

(5.120)

где ks — коэффициент пропорциональности между э.д.с. генератора и ско- \ ростью его вращения.

Все звенья рассматриваемой системы, кроме тахогенератора, включены последовательно. Это отображено на структурной схеме рис, 5.19. Тахо-генератор включен в цепь местной обратной связи.

Размыкая главную цепь системы, как показано на рис. 5.16 (так, чтобы не нарушать включения местной обратной связи), получаем передаточную функцию разомкнутой системы

(5.121)

После подстановки выражений для передаточных функций звеньев получаем

(5.121)

Здесь введен общий коэффициент усиления цепи регулирования без учета действия местной обратной связи

Здесь введено понятие так называемой добротности по моменту (или крутизны по моменту), которая равна отношению приведенного к оси двигателя момента нагрузки к возникающей при этом статической (моментной) ошибке:

(5.134)

Из формулы (5.133) видно, что в неподвижном положении ошибка определяется только моментом нагрузки (возмущающим воздействием). Это означает, что рассматриваемая система обладает астатизмом относительно управляющего воздействия

и статизмом относительно возмущающего воздействия М.

Заметим, что в формулу (5.133) входит момент нагрузки, приведенный к валу двигателя. Поэтому в эту формулу не вошло передаточное отношение редуктора. Если перейти к моменту нагрузки оси управляемого объекта, то в знаменателе последнего выражения (5.133) появится в качестве множителя i. В соответствии с этим можно сформулировать другое понятие добротности по моменту, как отношение момента нагрузки на оси управляемого объекта к установившейся ошибке.

При движении с постоянной скоростью = const и М = М0 = const из (5.132) получается установившаяся ошибка

(5.135)

Здесь можно ввести понятие добротности по скорости, которая является коэффициентом пропорциональности между скоростью движения следящей системы и возникающей при этом установившейся ошибкой (при отсутствии возмущения). В данном случае она равна общему коэффициенту усиления по разомкнутой цепи:

ГЛАВА 6. КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ.

§ 6.1. Понятие об устойчивости систем регулирования

Понятие устойчивости системы регулирования связано со способностью возвращаться в состояние равновесия после исчезновения внешних сил, которые вывели ее из этого состояния. Наглядно устойчивость равновесия иллюстрируется рис. 6.1, а, на котором изображен шар, лежащий в некотором углублении. При всяком отклонении его от положения равновесия он будет стремиться возвратиться к нему точно (при отсутствии сил трения) или к некоторой конечной области, окружающей предшествующее положение равновесия (при наличии сил трения). Такое положение шара будет устойчивым.

На рис. 6.1, б изображен другой случай, когда положение шара оказывается неустойчивым. Рис. 6.1, в соответствует случаю безразличного положения равновесия.

Можно ввести понятия о невозмущенном состоянии равновесия, соответствующем точке А0 на рис. 6.1, а, и возмущенном состоянии равновесия (точка А2). После прекращения действия внешних сил шар возвратится в точку А0 или А1. Условие устойчивости здесь можно сформулировать так: система называется устойчивой, если из возмущенного состояния равновесия она перейдет в некоторую конечную область, окружающую невозмущенное состояние равновесия.

Понятие устойчивости можно распространить и на случай движения некоторой системы. Пусть ее состояние определяется независимыми координатами x1 (t), х2 (t), ..., хn(t). Заданное движение системы определяется некоторым законом изменения координат:

х10 (t), х20 (t), . . ., хn0 (t).

Аналогично случаю равновесия положения заданное движение можно назвать невозмущенным движением. Приложение внешних сил к рассматриваемой системе вызовет отклонение действительного движения от заданного: x1(t) ≠ x10(t), х2(t) ≠ х20(t) и т. д. Это движение будет возмущенным.

Заданное невозмущенное движение будет устойчивым, если в результате приложения внешних сил, которые затем снимаются, возмущенное движение по истечении некоторого времени войдет в заданную область:

.

Рассмотрим вопрос устойчивости более подробно. Пусть система регулирования описывается нелинейными дифференциальными уравнениями в форме Коши

(6.1)

Если при t = t0 заданы начальные значения хi0 (i = 1, 2, . . ., n), ( то решение может быть представлено в виде ), где i = 1, 2, . . ., n.

Пусть установившиеся процессы в системе характеризуются координатами

. Введем также отклонения координат (i = 1, . . ., n), характеризующие отклонения процесса от установившегося.

Систему уравнений (6.1) перепишем для отклонений:

где fi — некоторые нелинейные функции. Эти уравнения называются уравнениями

возмущенного движения. Их тривиальные решения соответствуют невозмущенному движению, так как при этом .

Начальные значения отклонений носят название возмущений. Решение системы (6.2) для некоторых начальных отклонений представляет собой возмущенное движение.

А. М. Ляпунов [82] дал следующее определение устойчивости.

Невозмущенное движение (при ) называется устойчивым по отношению к переменным жг, если при всяком заданном положительном числе А2, как бы мало оно ни было, можно выбрать другое положительное число (А2) так, что для всех возмущений , удовлетворяющих условию

(6.3)

возмущенное движение (6.2) будет для времени удовлетворять неравенству

(6.4)

Здесь , — некоторые весовые коэффициенты, необходимые для уравнивания физических размерностей величин .

Геометрическая интерпретация этого условия заключается в следующем. В пространстве координат ; достроим две сферы с радиусами и А. Система будет устойчивой, если при возмущениях, не выведших изображающую точку М () из пределов сферы , возмущенное движение будет таково, что, начиная

с некоторого времени , изображающая точка М () будет в пределах сферы А.

Если с течением времени изображающая точка стремится к началу координат, т. е.

то система асимптотически устойчива.

Несколько другое изложение этой теоремы будет дано ниже в § 16.1. Перейдем теперь к вопросу устойчивости линейных, а точнее, линеаризованных

систем регулирования.

Рассмотрим дифференциальное уравнение движения линеаризованной системы автоматического регулирования, записанное для регулируемой величины у (t) при наличии управляющего воздействия g (t) и при равенстве нулю возмущающих воздействий:

(6.5)

Коэффициенты а0, . . ., аn и b0, . . ., bm представляют собой постоянные величины, а

оператор .

Дифференциальное уравнение движения системы регулирования можно записать и для возмущающего воздействия. В этом случае левая часть (6.5) останется без изменения, а правая часть будет иметь иной вид. В общем виде дифференциальное уравнение, определяющее изменение регулируемой величины, может быть записано так, что в правой его части будет находиться некоторая функция времени f (t).