
- •Основы теории электромагнитного поля
- •Оглавление
- •Введение
- •1. Общие сведения о теории электромагнитного поля
- •1.1. Понятие поля. Скалярные и векторные поля
- •1.2.Основные векторные величины, характеризующие электромагнитное поле
- •1.3. Виды плотности тока
- •1.4.Основные уравнения Максвелла и их физический смысл
- •1.4.1.Закон полного тока
- •1.4.2. Закон электромагнитной индукции
- •1.4.3. Принцип непрерывности магнитной индукции
- •1.4.4. Теорема Гаусса (постулат Максвелла)
- •1.4.5. Система уравнений Максвелла
- •1.5.Энергия электромагнитного поля. Теорема Умова-Пойтинга
- •1.6.Частные виды электромагнитных полей
- •Вопросы для самопроверки
- •2.Электростатическое поле
- •2.1. Закон Кулона
- •2.2.Уравнения электростатического поля в интегральной и дифференциальной форме
- •2.3. Электрический потенциал
- •2.4.Картина поля.
- •2.5.Потенциал заданного распределения заряда
- •2.5.1.Потенциал и напряженность электрического поля диполя
- •2.6.Уравнение Пуассона и Лапласа
- •2.7. Поляризация вещества. Вектор поляризации
- •2.8.Проводники в электростатическом поле. Электростатическое экранирование
- •2.9. Граничные условия в электростатическом поле
- •2.9.1.Граничные условия для составляющих векторов поля.
- •2.9.2.Граничные условия для потенциала
- •2.10.Теорема единственности решения
- •2.11.Электрическая емкость
- •2.12. Энергия электростатического поля
- •2.13. Силы, действующие в электростатическом поле
- •2.14.Расчет электростатических полей
- •2.14.1. Поле уединенной равномерно заряженной оси
- •2.14.2. Метод наложения. Поле двух параллельных разноименно заряженных осей
- •2.14.3.Электростатическое поле и емкость разноименно заряженных параллельных цилиндров (двухпроводной линии)
- •2.14.4.Поле и емкость между несосными, охватывающими друг друга круглыми цилиндрами
- •2.14.5.Поле и емкость системы "цилиндр – плоскость"
- •2.14.6.Поле цилиндрического конденсатора (коаксиального кабеля)
- •2.14.7.Метод зеркальных изображений. Поле заряженной оси, расположенной вблизи границы раздела двух диэлектриков (задача Сирла)
- •2.14.8.Поле заряженной оси, расположенной вблизи проводящей плоскости
- •2.14.9. Потенциальные коэффициенты, коэффициенты электростатической индукции (емкостные коэффициенты) и частичные емкости системы проводников.
- •2.14.10.Поле и емкость двухпроводной линии с учетом влияния земли
- •2.14.11. Электрическое поле и емкость трехфазной линии электропередачи
- •2.14.12. Метод интегрирования уравнений Пуассона-Лапласа. Поле и емкость цилиндрического конденсатора с двухслойной изоляцией
- •2. Находим напряженность электрического поля как .
- •2.14.13. Метод разделения переменных. Проводящий шар в однородном электростатическом поле
- •3. Электрическое поле постоянного тока
- •3.1. Электрическое поле в диэлектрике, окружающем проводники с постоянными токами
- •3.2.Электрическое поле постоянного тока в проводящей среде
- •3.2.1. Уравнения и основные соотношения электрического поля постоянного тока
- •3.2.2.Граничные условия на поверхности раздела двух проводящих сред
- •3.2.3. Методы расчета электрических полей постоянного тока
- •3.4.Задачи Задача 1
- •Задача 2. Расчет тока утечки между двумя жилами коаксиального кабеля
- •Задача 3. Заземлитель в виде шара
- •Задача 4.
- •Вопросы для самопроверки
- •4. Магнитное поле постоянных токов
- •4.1. Уравнения магнитного поля в интегральной и дифференциальной формах
- •4. 2. Векторный потенциал магнитного поля
- •4.3. Выражение магнитного потока и энергии через векторный потенциал
- •4.4.Граничные условия в магнитном поле
- •4.3.1. Граничные условия для векторного потенциала магнитного поля
- •4.3. Скалярный потенциал магнитного поля
- •4.3. Магнитное поле цилиндрического проводника с током
- •4.4.Магнитное поле коаксиального кабеля
- •4.5. Поток вектора Пойтинга в коаксиальном кабеле
- •4.6. Магнитное поле и индуктивность двухпроводной линии
- •4.7. Взаимная индуктивность двух параллельных линий
- •4.8.Соответствия электростатического (электрического) поля и магнитного поля постоянного тока в областях, не занятых током
- •4.9. Графический метод построения картины поля
- •4.10.Поле токов вблизи плоских поверхностей ферромагнитныхтел. Методзеркальных изображений
- •4.11.Магнитное экранирование
- •Вопросы для самопроверки
- •5. Переменное электромагнитное поле
- •5.1. Уравнения Максвелла в комплексной форме
- •5.2 Плоская гармоническая волна в диэлектрике
- •5.3. Плоская гармоническая волна в проводящей среде
- •5.4. Магнитный поверхностный эффект в плоском листе
- •5.5.Электрический поверхностный эффект
- •5.6.Эффект близости
- •5.7. Поверхностный эффект в круглом проводе
- •5.8. Экранирование в переменном магнитном поле
- •5.9.Высокочастотный нагрев металлических деталей и несовершенных диэлектриков
- •5.10. Излучение электромагнитной энергии
- •Вопросы для самопроверки
- •Приложение Выражения градиента, дивергенции, ротора и лапласиана в различных системах координат
- •Литература
2.2.Уравнения электростатического поля в интегральной и дифференциальной форме
Для электростатического поля имеем:
или
.
или
,
.
Ротор
вектора
характеризует его вихри в пространстве.
Равенство
означает, чтоэлектростатическое
поле является безвихревым, т.е.
потенциальным.
В
декартовой системе координат операция
записыватся
так:
.
интегральная
форма записи теоремы Гаусса в обобщенной
форме гласит, что поток
вектора электрического смещения
сквозь замкнутую поверхностьS
равен алгебраической сумме свободных
зарядов, расположенные внутри поверхности
S.
Для
однородной среды
,
тогда
.
По теореме Остроградского перейдем к дифференциальной форме уравнения теоремы Гаусса:
―дифференциальная
форма теоремы Гаусса.
Дивергенция
вектора
характеризует его истоки в пространстве,
следовательно, линии вектора
начинаются на положительных зарядах и
заканчиваются на отрицательных.
Истоком
вектора
в отличие от истока вектора
являются не только свободныеρ,
но и связанные заряды
.
В декартовой системе координат операция div запишется так:
.
Для
однородной среды
,
тогда
.
2.3. Электрический потенциал
Равенство
означает, что электростатическое
поле является безвихревым, т.е.
потенциальным.
Учитывая,
что
,
приходим
к следующему выводу, что для
электростатического поля можно найти
некоторую скалярную функцию
такую, что
.
(2.1)
Скалярная
функция
называетсяпотенциальной
функцией, или просто потенциалом.
Потенциал можно выразить через напряженность электростатического поля с точностью до постоянной:
.
(2.2)
Запишем формулу, определяющую напряжение между двумя произвольными точками поля а и p:
.
(2.3)
Напряжение между двумя произвольными точками равно работе (энергии), затраченной полем на перемещение единичного положительного заряда из одной точки в другую.
В потенциальном поле напряжение равно разности потенциалов.
Полагая
потенциал некоторой фиксированной
точки p поля равным
нулю (),
получим:
.
Потенциал некоторой точки есть работа (энергия), затрачиваемая полем на перемещение единичного положительного заряда из данной точки в фиксированную точку, где потенциал принят равным нулю
.
(2.4)
В электротехнике за базовую точку с заданным нулевым потенциалом принимают “землю”, а при отсутствии заземления любую точку.
Потенциал является энергетической характеристикой поля.
Напряженность электрического поля определяется как градиент потенциала
где
оператор пространственного
дифференцирования.
2.4.Картина поля.
Электрическое поле можно наглядно характеризовать совокупностью силовых и эквипотенциальных линий.
Силовая
линия – это мысленно проведенная в поле
линия, начинающаяся на отрицательно
заряженном теле. Проводится она таким
образом, что касательная к ней в любой
точке ее дает направление напряженности
поля
в этой точке. Вдоль силовой линии
передвигался бы весьма малый положительный
заряд, если бы он имел возможность
свободно перемещаться в поле и если бы
он не обладал инерцией.
В электрическом поле могут быть проведены эквипотенциальные (равнопотенциальные) поверхности. Под эквипотенциальной поверхностью понимают совокупность точек поля, имеющих один и тот же потенциал. Если мысленно рассечь электростатическое поле какой-либо секущей плоскостью, то в полученном сечении будут видны следы пересечения плоскости с эквипотенциальными поверхностями. Их называют эквипотенциальными линиями (или эквипотенциалями).
Эквипотенциальные и силовые линии в любой точке поля пересекаются под прямым углом. На рисунке для примера изображены два заряженных тела и проведено несколько силовых и эквипотенциальных линий.