- •Министерство транспорта российской федерации
- •Введение
- •1. Основные понятия теории вероятностей
- •1.1. События. Классификация событий
- •1.2. Классическое и статистическое определение вероятности
- •1.3. Элементы комбинаторики
- •2. Алгебра событий
- •2.1. Действия над событиями
- •2.2. Теорема сложения вероятностей несовместных событий
- •2.3. Зависимые и независимые события
- •2.4. Теорема умножения вероятностей независимых событий
- •2.5. Вероятность появления хотя бы одного события
- •2.6. Условная вероятность
- •2.7. Теорема умножения вероятностей зависимых событий
- •2.8. Теорема сложения вероятностей совместных событий
- •2.9. Формула полной вероятности
- •2.10. Вероятность гипотез. Формула Байеса
- •3. Повторные независимые испытания
- •3.1. Формула Бернулли
- •3.2 Локальная теорема Муавра-Лапласа
- •3.3. Интегральная теорема Лапласа
- •3.4. Формула Пуассона
- •4. Случайные величины
- •4.1. Понятие случайной величины
- •4.2. Закон распределения случайной величины
- •4.3. Функция распределения случайной величины
- •4.4. Плотность вероятности
- •5. Числовые характеристики случайных величин
- •5.1. Математическое ожидание случайной величины
- •5.2. Дисперсия случайной величины
- •5.3. Среднее квадратическое отклонение случайной величины
- •5.4. Мода и медиана. Квантили
- •Решение. Находим функцию распределения
- •5.5. Моменты случайных величин. Асимметрия и эксцесс
- •5.6. Числовые характеристики независимых испытаний
- •5.7. Одинаково распределенные взаимно независимые случайные величины
- •6. Основные законы распределения
- •6.1. Биноминальный закон распределения
- •6.2. Закон распределения Пуассона
- •6.3. Равномерный закон распределения
- •6.4. Показательный (экспоненциальный) закон распределения
- •6.5 Функция надежности
- •6.6. Нормальный закон распределения
- •7. Предельные теоремы теории вероятностей
- •7.1. Закон больших чисел
- •7.1.1. Неравенство Чебышёва
- •7.1.2. Теорема Чебышёва
- •7.1.3. Теорема Бернулли
- •7.1.4. Теорема Пуассона
- •7.1.5. Теорема Маркова
- •7.2.Центральная предельная теорема
- •7.2.1. Теорема Ляпунова
- •7.2.2. Теорема Берри-Эссена
- •8. Многомерные случайные величины
- •8.1. Понятие многомерной случайной величины
- •8.2. Закон распределения вероятностей двумерной дискретной случайной величины
- •8.3. Функция распределения многомерной случайной величины
- •8.4. Плотность вероятности двумерной случайной величины
- •8.5. Условные законы распределения двумерной случайной величины
- •8.6. Зависимые и независимые случайные величины
- •8.7. Числовые характеристики двумерной случайной величины.
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •Лаврусь Ольга Евгеньевна Конспект лекций по теории вероятностей
- •443022, Г. Самара, Заводское шоссе, 18
2.10. Вероятность гипотез. Формула Байеса
Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий Н1, Н2, … , Нn, образующих полную группу. Поскольку заранее неизвестно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами. Вероятность события А определяется по формуле полной вероятности.
Допустим, что произведено испытание, в результате которого появилось событие А. Как изменились вероятности гипотез в связи с тем, что событие А уже наступило? Ответ на этот вопрос дает формула Байеса:
. |
(2.13) |
Формула Байеса позволяет переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А.
Пример 2.9. В условиях примера 2.8 оказалось, что взятая на контроль деталь оказалась нестандартной. Какова вероятность того, что она изготовлена на первом станке?
Решение. По условию необходимо переоценить вероятность гипотезы Н1, т.е. найти ее условную вероятность Р(Н1 |А) Ранее было получено: Р(Н1) = 40/100, Р(А/Н1) = 2/100, Р(А) = 0,031 = 310/10000. По формуле Байеса получаем:
= == 0,258. ◄
3. Повторные независимые испытания
На практике часто приходится сталкиваться с задачами, которые можно представить в виде многократных повторяющихся испытаний, проводимых при определенном комплексе условий. В этом случае интерес представляет вероятность числа mнаступлений некоторого событияАвnиспытаниях. Например, необходимо определить вероятность определенного числа попаданий в мишень при нескольких выстрелах, вероятность некоторого числа бракованных изделий в данной партии и т.д.
Если вероятность наступления события Ав каждом испытании не меняется в зависимости от исходов других, то такие испытания называютсянезависимыми относительно события А. Если независимые повторные испытания проводятся при одном и том же комплексе условий, товероятность наступления события А в каждом испытании одна и та же. Такая последовательность независимых испытаний получила названиесхемы Бернулли.
3.1. Формула Бернулли
Теорема.Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна, то вероятность Pn(m) того, что событие А наступит m раз в n независимых испытаниях, равна
, |
(3.1) |
где q= 1 –p.
Пример 3.1.Вероятность поражения мишени в отдельном выстреле равнаp= 0,8. Найти вероятности возможного числа попаданий при 5 выстрелах.
Решение.По условиюр= 0,8,q= 1 – 0,8 = 0,2. По формуле Бернулли находим:
= 0,00032; = 0,0064;
= 0,05120; = 0,2048;
= 0,4096; = 0,32768.
Полученные вероятности изобразим графически (рис. 3.1) точками с координатами (m;Pn(m)). Соединяя эти точки, получиммногоугольник, илиполигон,распределения вероятностей.◄
Рассматривая многоугольник распределения вероятностей, мы видим, что есть такое значение m(m0= 4), которое обладает наибольшей вероятностьюPn(m).
Число m0наступления событияАвnнезависимых испытаниях называетсянаивероятнейшим, если вероятность осуществления этого событияPn(m0) по крайней мере не меньше вероятностей других событийPn(m) при любомm.
Наивероятнейшее число наступления события Анаходится из двойного неравенства
np – q ≤ m0 ≤ np + p. |
(3.2) |
Отметим, что всегда существует целое число m0, удовлетворяющее этому неравенству. При этом, еслиnp+p– целое число, то наивероятнейших чисел два:m0=np+pиm0=np–q.
Пример 3.2.В примере 3.1 мы нашли наивероятнейшее число попаданийm0=4, непосредственно вычисляя и сравнивая вероятности. Найдем наивероятнейшее число попаданийm0, используя неравенство (3.2):
5·0,8 – 0,2 ≤ m0≤ 5·0,8 + 0,8 → 3,8 ≤m0≤ 4,8 →m0= 4.◄
Предположим, что мы хотим вычислить вероятность Pn(m) появления событияАпри большом числе испытанийn, например,P500(200). По формуле Бернулли
.
Ясно, что в этом случае непосредственное вычисление по формуле Бернулли технически сложно, тем более, если учесть, что сами pиq– числа дробные. Естественно возникает вопрос: нельзя ли вычислить интересующую нас вероятность, не прибегая к формуле Бернулли? Оказывается, можно. Существуют более простые приближенные формулы для вычисления при большом числе испытанийn. Такие формулы называют асимптотическими. Они определяются локальной теоремой Муавра-Лапласа, интегральной теоремой Лапласа, теоремой Пуассона.