- •Министерство транспорта российской федерации
- •Введение
- •1. Основные понятия теории вероятностей
- •1.1. События. Классификация событий
- •1.2. Классическое и статистическое определение вероятности
- •1.3. Элементы комбинаторики
- •2. Алгебра событий
- •2.1. Действия над событиями
- •2.2. Теорема сложения вероятностей несовместных событий
- •2.3. Зависимые и независимые события
- •2.4. Теорема умножения вероятностей независимых событий
- •2.5. Вероятность появления хотя бы одного события
- •2.6. Условная вероятность
- •2.7. Теорема умножения вероятностей зависимых событий
- •2.8. Теорема сложения вероятностей совместных событий
- •2.9. Формула полной вероятности
- •2.10. Вероятность гипотез. Формула Байеса
- •3. Повторные независимые испытания
- •3.1. Формула Бернулли
- •3.2 Локальная теорема Муавра-Лапласа
- •3.3. Интегральная теорема Лапласа
- •3.4. Формула Пуассона
- •4. Случайные величины
- •4.1. Понятие случайной величины
- •4.2. Закон распределения случайной величины
- •4.3. Функция распределения случайной величины
- •4.4. Плотность вероятности
- •5. Числовые характеристики случайных величин
- •5.1. Математическое ожидание случайной величины
- •5.2. Дисперсия случайной величины
- •5.3. Среднее квадратическое отклонение случайной величины
- •5.4. Мода и медиана. Квантили
- •Решение. Находим функцию распределения
- •5.5. Моменты случайных величин. Асимметрия и эксцесс
- •5.6. Числовые характеристики независимых испытаний
- •5.7. Одинаково распределенные взаимно независимые случайные величины
- •6. Основные законы распределения
- •6.1. Биноминальный закон распределения
- •6.2. Закон распределения Пуассона
- •6.3. Равномерный закон распределения
- •6.4. Показательный (экспоненциальный) закон распределения
- •6.5 Функция надежности
- •6.6. Нормальный закон распределения
- •7. Предельные теоремы теории вероятностей
- •7.1. Закон больших чисел
- •7.1.1. Неравенство Чебышёва
- •7.1.2. Теорема Чебышёва
- •7.1.3. Теорема Бернулли
- •7.1.4. Теорема Пуассона
- •7.1.5. Теорема Маркова
- •7.2.Центральная предельная теорема
- •7.2.1. Теорема Ляпунова
- •7.2.2. Теорема Берри-Эссена
- •8. Многомерные случайные величины
- •8.1. Понятие многомерной случайной величины
- •8.2. Закон распределения вероятностей двумерной дискретной случайной величины
- •8.3. Функция распределения многомерной случайной величины
- •8.4. Плотность вероятности двумерной случайной величины
- •8.5. Условные законы распределения двумерной случайной величины
- •8.6. Зависимые и независимые случайные величины
- •8.7. Числовые характеристики двумерной случайной величины.
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •Лаврусь Ольга Евгеньевна Конспект лекций по теории вероятностей
- •443022, Г. Самара, Заводское шоссе, 18
2.8. Теорема сложения вероятностей совместных событий
Ранее мы сформулировали теорему сложения вероятностей для несовместных событий. Пусть события А и В совместны, т.е. появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании. Даны вероятности этих событий и вероятность их совместного появления. Как найти вероятность события А + В, состоящего в том, что появится хотя бы одно из событий А и В? Ответ на этот вопрос дает теорема сложения вероятностей совместных событий.
Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления
|
Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ). |
(2.11) |
Пример 2.7. Два спортсмена-стрелка независимо друг от друга стреляют по одной мишени. Вероятность попадания в мишень первого спортсмена равна 0,7, а второго – 0,8. Какова вероятность того, что мишень будет поражена?
Решение. Мишень будет поражена в том случае, если в нее попадет либо первый стрелок, либо второй, либо оба вместе, т.е. произойдет событие А + В (событие А – первый стрелок попадет в мишень, событие В – второй стрелок попадет в мишень). Тогда
Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ) = 0,7 + 0,8 – 0,7·0,8 = 0,94. ◄
2.9. Формула полной вероятности
Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий Н1, Н2, … , Нn, которые образуют полную группу. Пусть известны вероятности этих событий и условные вероятности Р(А |Н1), Р(А |Н2), …, Р(А |Нn) события А. Как найти вероятность события А? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.
Теорема. Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий Н1, Н2, … , Нn, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:
|
Р(А) = Р(Н1)·Р(А|Н1) + Р(Н2)·Р(А|Н2) + …+ Р(Нn)·Р(А|Нn). |
(2.12) |
Эту формулу называют «формулой полной вероятности», а события Н1, Н2, … , Нn – гипотезами.
Пример 2.8. На трех станках различной марки изготавливается определенная деталь. Производительность 1-го станка составляет 40 деталей в смену, 2-го – 35 деталей, 3-го – 25 деталей. Установлено, что 2, 3 и 5% продукции этих станков, соответственно, имеют отклонение от стандарта. В конце смены на контроль взята одна деталь. Какова вероятность того, что она окажется нестандартной?
Решение. Пусть А – событие, состоящее в том, что наудачу взятая деталь окажется нестандартной. Здесь возможны следующие три гипотезы:
деталь изготовлена на 1-м станке (гипотеза Н1);
деталь изготовлена на 2-м станке (гипотеза Н2);
деталь изготовлена на 3-м станке (гипотеза Н3).
Вероятности этих гипотез:
Р(Н1) = 40/100, Р(Н2) = 35/100, Р(Н3) = 25/100.
Условные вероятности события А при этих гипотезах:
Р(А | Н1) = 2/100, Р(А | Н2) = 3/100, Р(А | Н3) = 5/100.
Вероятность события А находим по формуле полной вероятности:
Р(А) = 40/100·2/100 + 35/100·3/100 + 25/100·5/100 = 0,031. ◄