2.5. Вероятность появления хотя бы одного события
Теорема.
Вероятность
появления хотя бы одного из событий А1,
А2,…,Аn,
независимых
в совокупности, равна разности между
единицей и произведением вероятностей
противоположных событий
:
|
|
(2.7) |
Пример 2.5. Три стрелка делают по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,7, второго – 0,8 и третьего – 0,9. Найти вероятность того, что хотя бы один стрелок попадет в мишень.
Решение. Рассмотрим следующие события: А – хотя бы один стрелок попадет в мишень А1 – первый стрелок попадет в мишень, А2 – второй стрелок, А3 – третий стрелок. Вероятность попадания в мишень каждым из стрелков не зависит от результатов стрельбы других стрелков, поэтому события А1, А2 и А3 независимы в совокупности.
Вероятности событий, противоположных событиям А1, А2 и А3 (т.е. вероятности промахов), соответственно равны:
= 1 – 0,7 = 0,3;
= 1 – 0,8 = 0,2;
= 1 – 0,9 = 0,1.
Искомая вероятность
= 1 – 0,3·0,2·0,1
= 0,994. ◄
Частный случай. Если события А1, А2,…,Аn имеют одинаковую вероятность, равную р, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий
|
Р(А) = 1 – qn. |
(2.8) |
где q = 1 – p.
2.6. Условная вероятность
Пусть события А и В зависимые. Из определения зависимых событий следует, что вероятность одного из событий зависит от появления или непоявления другого события. Поэтому, если нас интересует вероятность события В, то важно знать, наступило событие А или нет.
Определение. Условной вероятностью РА(В) или Р(В|А) называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило.
Например, в урне находится пять шаров. Два из них белого цвета, остальные три – черного. Наудачу один за другим берут два шара, не возвращая их обратно в урну. Рассмотрим событие А – «первый вынутый шар оказался белого цвета» и событие В – «второй вынутый шар оказался белого цвета». Найдем условную вероятность события В, при условии, что событие А уже наступило. Если в первый раз был вынут шар белого цвета, то в урне осталось четыре шара, из которых один белого цвета. Следовательно, Р(В | А) = 1/4.
Если же вынутый шар возвращается назад в урну, то условия второго испытания остаются неизменными после проведения первого испытания. Тогда Р(В) = Р(В|А) = 2/5, т.е. в этом случае вероятность события В и его условная вероятность совпадают.
2.7. Теорема умножения вероятностей зависимых событий
Пусть события А и В зависимые, причем вероятности Р(А) и Р(В|А) известны. Как найти вероятность совмещения этих событий, т.е. вероятность того, что появится и событие А и событие В? Ответ на этот вопрос дает теорема умножения.
Теорема. Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:
|
Р(АВ) = Р(А)·Р(В|А). |
(2.9) |
Следствие. Вероятность совместного появления нескольких зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились:
|
Р(А1А2…Аn) = Р(А1)·Р(А2| А1) …·Р(Аn| А1 А2… Аn-1). |
(2.10) |
Пример 2.6. В урне находится пять шаров. Один из них красного цвета, два – зеленого и два – синего. Наудачу один за другим извлекают три шара, не возвращая их обратно в урну. Найти вероятность того, что последовательно будут извлечены красный, зеленый и синий шар.
Решение. Рассмотрим события: A – первым извлечен шар красного цвета, B – вторым извлечен шар зеленого цвета, C – третьим извлечен шар синего цвета. Вероятность события А: Р(А) = 1/5. Условная вероятность события В при условии, что событие А уже наступило: Р(В|А) = 2/4. Условная вероятность события С при условии, что события А и В уже наступили: Р(С|АВ) = 2/3. Вероятность совместного появления трех зависимых событий А, В и С:
Р(АВС)
= Р(А)·Р(В/А)·Р(С/АВ)
=
=
.
◄