1.3. Элементы комбинаторики

Для решения задач с использованием классического определения вероятности необходимо знать основные правила и формулы комбинаторики – раздела математики, изучающего методы решения комбинаторных задач – т.е. задач, связанных с подсчетом числа различных комбинаций.

Пусть A₁, A₂, …, A_k – элементы конечного множества. Сформулируем два важных правила, часто применяемых при решении комбинаторных задач.

Правило суммы. Если элемент А₁ может быть выбран n₁ способами, элемент А₂ – n₂ способами, …, элемент А_k – n_k способами, то выбор одного из элементов (или А₁, или А₂, …, или A_k) может быть осуществлен n₁ + n₂ + … + n_k способами.

Пример 1.3. В группе 30 студентов. Известно, что 5 из них на экзамене по математике получили оценку «отлично», 10 – оценку «хорошо», остальные – «удовлетворительно». Сколько существует способов выбрать одного студента, получившего на экзамене оценку «отлично» или «хорошо»?

Решение. Студент, получивший оценку «отлично» может быть выбран n₁ = 5 способами, оценку «хорошо» – n₂ = 10 способами. По правилу суммы существует n₁ + n₂ = 5 + 10 = 15 способов выбора одного студента, получившего на экзамене оценку «отлично» или «хорошо». ◄

Правило произведения. Если элемент А₁ может быть выбран n₁ способами, после этого элемент А₂ может быть выбран n₂ способами, …, после каждого такого выбора элемент А_k может быть выбран n_k способами, то выбор всех элементов А₁, А₂, …, A_k в указанном порядке может быть осуществлен n₁·n₂·…·n_k способами.

Пример 1.4. В группе 30 студентов. Необходимо выбрать старосту, его заместителя и профорга. Сколько существует способов это сделать?

Решение. Старостой может быть выбран любой из 30 студентов, его заместителем – любой из оставшихся 29, а профоргом – любой из оставшихся 28 студентов, т.е. n₁ =30, n₂ =29, n₃ = 28. По правилу произведения общее число способов выбора старосты, его заместителя и профорга равно n₁·n₂·n₃ = 30·29·28 = = 24360 способов. ◄

Пусть дано множество из n различных элементов. Из этого множества могут быть образованы подмножества из m элементов (0 ≤ m ≤n). Например, из 5 элементов a, b, c, d, e могут быть отобраны комбинации по 2 элемента – ab, bc, cd, ba и т.д., по 3 элемента – abc, cbd, cba и т.д.

Если комбинации из n элементов по m отличаются либо составом элементов, либо порядком их расположения (либо и тем и другим), то такие комбинации называют размещениями из n элементов по m.

Число размещений из n элементов по m находится по формуле

,

(1.5)

где n! равно произведению n первых чисел натурального ряда, т.е. n! = 1·2·…·n.

Пример 1.5. Сколько можно записать двузначных чисел, используя без повторения цифры от 1 до 5?

Решение. В данном случае двузначное число является комбинацией из пяти цифр по две цифры. Поскольку числа отличаются как составом входящих в них цифр, так и порядком их расположения, то в данном случае двузначные числа являются размещениями из пяти цифр по две. Число таких размещений

. ◄

Если комбинации из n элементов по m отличаются только составом элементов (порядок их расположения не имеет значения), то такие комбинации называют сочетаниями из n элементов по m.

Число сочетаний из n элементов по m находится по формуле

.

(1.6)

Пример 1.6. Необходимо выбрать в подарок две из пяти имеющихся различных книг. Сколькими способами можно это сделать?

Решение. Из смысла задачи следует, что порядок выбора книг не имеет значения. Здесь важен только их состав. Поэтому в данном случае комбинации книг представляют собой сочетания из 5 книг по 2. Число таких комбинаций

. ◄

Если в размещениях из n элементов поmнекоторые из элементов (или все) могут оказаться одинаковыми, то такие размещения называютразмещениями с повторениями из nэлементов поm.Число размещений с повторениями равно

,

(1.7)

Пример 1.7.Сколько можно записать трехзначных чисел, которые не содержат цифр 0 и 5?

Решение.В данном случае трехзначное число является комбинацией из восьми цифр (0 и 5 не учитываются) по три цифры. При этом некоторые из цифр (или все) могут повторяться. Поэтому в данном случае трехзначные числа является размещениями с повторениями из восьми цифр по три. Число таких размещений с повторениями

= 512. ◄

Если в сочетаниях из nэлементов поmнекоторые из элементов (или все) могут оказаться одинаковыми, то такие сочетания называютсочетаниями с повторениямиизnэлементов поm.

Число сочетаний с повторениями равно

,

(1.8)

где определяется по формуле (1.6).

Пример 1.8.В почтовом отделении продаются открытки восьми видов. Сколькими способами можно купить в нем три открытки?

Решение.Учитывая, что порядок выбора открыток не имеет значения, а важен только их состав, причем некоторые из открыток (или все) могут оказаться одинаковыми, искомое число способов находим по формуле числа сочетаний с повторениями

= 120. ◄

Если комбинации из n элементов отличаются только порядком расположения элементов, то такие комбинации называют перестановками из n элементов. Число перестановок из n элементов находится по формуле

Pn = n!

(1.9)

Пример 1.9. Порядок выступления 5 участников конкурса определяется жребием. Сколько различных вариантов жеребьевки при этом возможно?

Решение. Каждый вариант жеребьевки отличается только порядком участников конкурса, т.е. является перестановкой из 5 элементов. Их число равно P₅ = 5! = 1·2·3·4·5 = 120. ◄

Если в перестановках из общего числа nэлементов естьkразличных элементов, при этом 1-й элемент повторяетсяn₁раз, 2-й элемент –n₂раз,k-й элемент –n_kраз, причемn₁+n₂+ … +n_k=n, то такие перестановки называютперестановками с повторениямиизnэлементов. Число перестановок с повторениями равно

.

(1.10)

Пример 1.10.Сколько можно составить шестизначных чисел, состоящих из цифр 3, 5, 7, в которых цифра 3 повторяется 3 раза, цифра 5 – 2 раза, цифра 7 – 1 раз?

Решение.Каждое шестизначное число отличается от другого порядком следования цифр (причемn₁=3,n₂= 2,n₃= 1, а их сумма равна 6), т.е. является перестановкой с повторениями из 6 элементов. Их число равно

= 60. ◄