3.4. Формула Пуассона

Теорема.Если вероятность p наступления события А в каждом испытании стремится к нулю (p → 0) при неограниченном увеличении числа n испытаний (n→ ∞), причем произведение np стремится к постоянному числу λ (np → λ), то вероятность P_n(m) того, что событие А появится m раз в n независимых испытаниях, удовлетворяет предельному равенству

.

(3.12)

Строго говоря, условие теоремы Пуассона (p → 0 приn → ∞, так чтоnp → λ) противоречит исходной предпосылке схемы испытаний Бернулли, согласно которой вероятность наступления события в каждом испытанииp=const. Однако, если вероятностьp– постоянна и мала, число испытанийn– велико и числоλ=np – незначительно (будем полагать, чтоλ=np≤ 10), то из предельного равенства вытекает приближенная формула Пуассона

.

(3.13)

Пример 3.8.На факультете насчитывается 1825 студентов. Какова вероятность того, что 1 сентября является днем рождения одновременно четырех студентов факультета?

Решение.Вероятность того, что день рождения студента приходится на 1 сентября, равнар= 1/365. Так как вероятностьр= 1/365 – мала, а число испытанийn= 1825 – велико иλ=np= 1825·(1/365) = 5 ≤ 10, то условие применимости формулы Пуассона выполняется. По формуле (3.13) получаем:

= 0,1755. ◄

4. Случайные величины

4.1. Понятие случайной величины

Наряду со случайным событием одним из основных понятий теории вероятностей является понятие случайной величины.

Случайной называют величину, которая в результате испытания может принять одно и только одно возможное значение, заранее неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее учесть невозможно. Примеры случайной величины:

1. Число появлений герба при двукратном бросании монеты;

2. Время безотказной работы некоторого устройства.

Нетрудно заметить, что в первом случае все возможные значения случайной величины могут быть перечислены заранее. Такими значениями являются 0, 1, 2. Отметим, что эти значения отделены друг от друга промежутками, в которых нет других возможных значений этой случайной величины.

Во втором случае перечислить все возможные значения случайной величины не представляется возможным, так как эти значения не отделены друг от друга и заполняют собой некоторый промежуток. Очевидно, что число возможных значений непрерывной случайной величины – бесконечно.

В связи с этим принято различать дискретные и непрерывные случайные величины.

Случайная величина называется дискретной (прерывной), если множество ее значений является конечным, или бесконечным, но счетным.

Под непрерывной случайной величиной будем понимать величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

Случайные величины принято обозначать прописными буквами латинского алфавита – X, Y, Z, а их значения – соответствующими строчными буквами x, y, z. Например, случайная величина Х – число появлений герба при двукратном бросании монеты – может принять значения х₁ = 0, х₂ = 1, х₃ = 2.

4.2. Закон распределения случайной величины

Наиболее полным, исчерпывающим описанием случайной величины является ее закон распределения.

Определение. Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Про случайную величину говорят, что она «распределена» по данному закону распределения или «подчинена» этому закону.

Для дискретной случайной величины закон распределения может быть задан в виде таблицы, аналитически или графически.

Простейшей формой задания закона распределения дискретной случайной величины X является таблица, в которой перечислены в порядке возрастания все возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности, т.е.

xi	x1	x2	…	xn
pi	p1	p2	…	pn

Такая таблица называется рядом распределения дискретной случайной величины.

Отметим, что события X = x₁, X = x₂, …, X = x_n, состоящие в том, что в результате испытания случайная величина Х примет соответственно значения x₁, x₂, …, x_n, являются несовместными и единственно возможными, т.е. образуют полную группу. Следовательно, сумма их вероятностей равна единице, т.е.

.

(4.1)

Ряд распределения может быть изображен графически, если по оси абсцисс откладывать значения случайной величины, а оси ординат – соответствующие им вероятности. Соединение полученных точек образует ломаную линию, которую называют многоугольником или полигоном распределения вероятностей.

Пример 4.1. Два стрелка делают по одному выстрелу в мишень. Составить закон распределения случайной величины Х – общего числа попаданий в мишень, если вероятность поражения мишени в одном выстреле для первого стрелка равна 0,8, а для второго – 0,6.

Решение. Очевидно, что возможные значения Х – 0, 1, 2. Пусть А₁ – событие состоящее в том, что первый стрелок попадет в мишень, А₂ – второй стрелок попадет в мишень. Тогда

Р(Х = 0) = Р() =Р()·Р() = (1 – 0,8)(1 – 0,6) = 0,2·0,4 = 0,08;

Р(Х = 1) = Р(А₁+ А₂) = Р(А₁)·Р() +Р()·Р(А₂) = 0,8·0,4 + 0,2·0,6 = 0,44;

Р(Х = 2) = Р(А₁А₂) = Р(А₁)·Р(А₂) = 0,8·0,6 = 0,48.

Записываем ряд распределения случайной величины Х.

xi	0	1	2
pi	0,08	0,44	0,48

На рис. 4.1 полученный ряд распределения представлен графически в виде многоугольника (полигона) распределения вероятностей случайной величиныХ. ◄

Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не меняется от того, какие возможные значения приняла другая величина. Так если случайная величина Х может принимать значения x_i (i = 1, 2, …, n), а случайная величина Y – значения y_j(j = 1, 2, …, m), то независимость случайных величин X и Y означает независимость событий X = x_i и Y = y_j при любых i = 1, 2, …, n и j = 1, 2, …, m. В противном случае случайные величины называются зависимыми.