- •Министерство транспорта российской федерации
- •Введение
- •1. Основные понятия теории вероятностей
- •1.1. События. Классификация событий
- •1.2. Классическое и статистическое определение вероятности
- •1.3. Элементы комбинаторики
- •2. Алгебра событий
- •2.1. Действия над событиями
- •2.2. Теорема сложения вероятностей несовместных событий
- •2.3. Зависимые и независимые события
- •2.4. Теорема умножения вероятностей независимых событий
- •2.5. Вероятность появления хотя бы одного события
- •2.6. Условная вероятность
- •2.7. Теорема умножения вероятностей зависимых событий
- •2.8. Теорема сложения вероятностей совместных событий
- •2.9. Формула полной вероятности
- •2.10. Вероятность гипотез. Формула Байеса
- •3. Повторные независимые испытания
- •3.1. Формула Бернулли
- •3.2 Локальная теорема Муавра-Лапласа
- •3.3. Интегральная теорема Лапласа
- •3.4. Формула Пуассона
- •4. Случайные величины
- •4.1. Понятие случайной величины
- •4.2. Закон распределения случайной величины
- •4.3. Функция распределения случайной величины
- •4.4. Плотность вероятности
- •5. Числовые характеристики случайных величин
- •5.1. Математическое ожидание случайной величины
- •5.2. Дисперсия случайной величины
- •5.3. Среднее квадратическое отклонение случайной величины
- •5.4. Мода и медиана. Квантили
- •Решение. Находим функцию распределения
- •5.5. Моменты случайных величин. Асимметрия и эксцесс
- •5.6. Числовые характеристики независимых испытаний
- •5.7. Одинаково распределенные взаимно независимые случайные величины
- •6. Основные законы распределения
- •6.1. Биноминальный закон распределения
- •6.2. Закон распределения Пуассона
- •6.3. Равномерный закон распределения
- •6.4. Показательный (экспоненциальный) закон распределения
- •6.5 Функция надежности
- •6.6. Нормальный закон распределения
- •7. Предельные теоремы теории вероятностей
- •7.1. Закон больших чисел
- •7.1.1. Неравенство Чебышёва
- •7.1.2. Теорема Чебышёва
- •7.1.3. Теорема Бернулли
- •7.1.4. Теорема Пуассона
- •7.1.5. Теорема Маркова
- •7.2.Центральная предельная теорема
- •7.2.1. Теорема Ляпунова
- •7.2.2. Теорема Берри-Эссена
- •8. Многомерные случайные величины
- •8.1. Понятие многомерной случайной величины
- •8.2. Закон распределения вероятностей двумерной дискретной случайной величины
- •8.3. Функция распределения многомерной случайной величины
- •8.4. Плотность вероятности двумерной случайной величины
- •8.5. Условные законы распределения двумерной случайной величины
- •8.6. Зависимые и независимые случайные величины
- •8.7. Числовые характеристики двумерной случайной величины.
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •Лаврусь Ольга Евгеньевна Конспект лекций по теории вероятностей
- •443022, Г. Самара, Заводское шоссе, 18
4.4. Плотность вероятности
Непрерывная случайная величина может быть задана не только с помощью функции распределения. Введем понятие плотности вероятности непрерывной случайной величины.
Рассмотрим вероятность попадания непрерывной случайной величины на интервал [х, х + Δх]. Вероятность такого события
P(х ≤ X ≤ х + Δх) = F(х+ Δх) – F(х),
т.е. равна приращению функции распределения F(х) на этом участке. Тогда вероятность, приходящаяся на единицу длины, т.е. средняя плотность вероятности на участке от х до х+ Δх, равна
.
Переходя к пределу Δх → 0, получим плотность вероятности в точке х:
,
представляющую производную функции распределения F(х). Напомним, что для непрерывной случайной величины F(х) – дифференцируемая функция.
Определение. Плотностью вероятности (плотностью распределения) f(x) непрерывной случайной величины Х называется производная ее функции распределения
f(x) = F′(x). |
(4.8) |
Про случайную величину Х говорят, что она имеет распределение с плотностью f(x) на определенном участке оси абсцисс.
Плотность вероятности f(x), как и функция распределения F(x) является одной из форм закона распределения. Но в отличие от функции распределения она существует только для непрерывных случайных величин.
Плотность вероятности иногда называют дифференциальной функцией или дифференциальным законом распределения. График плотности вероятности называется кривой распределения.
Пример 4.4. По данным примера 4.3 найти плотность вероятности случайной величины Х.
Решение. Будем находить плотность вероятности случайной величины как производную от ее функции распределения f(x) = F'(x).
◄
Отметим свойства плотности вероятности непрерывной случайной величины.
1. Плотность вероятности – неотрицательная функция, т.е.
f(x) ≥ 0, |
(4.9) |
как производная монотонно неубывающей функции F(x).
2. Вероятность попадания непрерывной случайной величины Х в интервал [α, β,] равна определенному интегралу от ее плотности вероятности в пределах от α до β, т.е.
|
(4.10) |
Геометрически вероятность попадания в интервал [α, β,] равна площади фигуры, ограниченной сверху кривой распределения и опирающейся на отрезок [α, β,] (рис.4.4).
Рис. 4.4 Рис. 4.5
3. Функция распределения непрерывной случайной величины может быть выражен через плотность вероятности по формуле:
. |
(4.11) |
Геометрически функция распределения равна площади фигуры, ограниченной сверху кривой распределения и лежащей левее точки х (рис. 4.5).
4. Несобственный интеграл в бесконечных пределах от плотности вероятности непрерывной случайной величины равен единице:
. |
(4.12) |
Геометрически свойства 1 и 4 плотности вероятности означают, что ее график – кривая распределения – лежит не ниже оси абсцисс, а полная площадь фигуры, ограниченной кривой распределения и осью абсцисс, равна единице.
Пример 4.5. Функция f(x) задана в виде:
Найти: а) значение А; б) выражение функции распределения F(х); в) вероятность того, что случайная величина Х примет значение на отрезке [0; 1].
Решение. а) Для того, чтобы f(x) была плотностью вероятности некоторой случайной величины Х, она должна быть неотрицательна, следовательно, неотрицательным должно быть и значение А. С учетом свойства 4 находим:
, откуда А = .
б) Функцию распределения находим, используя свойство 3:
Если x ≤ 0, то f(x) = 0 и, следовательно, F(x) = 0.
Если 0 < x ≤ 2, то f(x) = х/2 и, следовательно,
.
Если х > 2, то f(x) = 0 и, следовательно
.
в) Вероятность того, что случайная величина Х примет значение на отрезке [0; 1] находим, используя свойство 2:
= 0,25. ◄