7.1.2. Теорема Чебышёва

Теорема.Если дисперсия n независимых случайных величин Х₁, Х₂, …, Х_n ограничена одной и той же постоянной С, то при неограниченном увеличении числа n средняя арифметическая случайных величин сходится по вероятности к средней арифметической их математических ожиданий а₁, а₂, …, а_n,т.е.

(7.3)

или

.

(7.4)

Поясним смысл формулировки «сходимость по вероятности». Понятие предела переменной величиныХ() означает, что, начиная с некоторого момента ее изменения для любого (даже сколь угодно малого) числаε> 0, будет верно неравенство │Х–а│<ε. В круглых скобках выражения (7.3) содержится аналогичное выражение

,

где – случайная величина, а– постоянное число.

Однако из (7.3) не следует, что это неравенство будет выполняться всегда, начиная с некоторого момента изменения. Так как– случайная величина, то возможно, что вотдельныхслучаях неравенство выполняться не будет. Однако с увеличением числаnвероятность неравенствастремится к единице, т.е. это неравенство будет выполняться в подавляющем числе случаев. Другими словами, при достаточно большихnвыполнение рассматриваемого неравенства является событиемпрактически достоверным, а неравенство противоположного смысла –практически невозможным.

Подчеркнем смыслтеоремы Чебышёва. При большом числе случайных величин практически достоверно, что их средняя– величинаслучайная, как угодно мало отличается отнеслучайнойвеличины, т.е. практически перестает быть случайной.

Следствие.Если независимые случайные величины Х₁, Х₂, …, Х_n имеют одинаковые математические ожидания, а их дисперсии ограничены одной и той же постоянной, то формулы теоремы Чебышёва принимают вид:

(7.5)

или

.

(7.6)

Теорема Чебышёва и ее следствие имеют большое практическое значение. Например, страховой компании необходимо установить размер страхового взноса, который должен уплачивать страхователь. При этом страховая компания обязуется выплатить при наступлении страхового случая определенную страховую сумму. Рассматривая частоту страховых случаев как величину случайную и обладая статистикой таких случаев, можно определить среднее число страховых случаев, которое на основании теоремы Чебышёва с большой степенью уверенности можно считать величиной почти не случайной. Тогда на основании этих данных и предполагаемой страховой суммы определяется размер страхового взноса.

Другой пример.

Пример 7.2. Сколько надо провести измерений случайной величины, чтобы с вероятностью не менее 0,95 гарантировать отклонение средней арифметической этих измерений от истинного значения величины менее, чем на 1 (по абсолютной величине), если среднее квадратическое отклонение каждого из измерений не превосходит 5?

Решение.Используя теорему Чебышёва, найдемn, при котором

.

Данное неравенство будет выполняться, если

,

откуда и= 500, т.е. потребуется не менее 500 измерений.◄

Отметим важные частные случаи теоремы Чебышёва: теоремы Бернулли и Пуассона.

7.1.3. Теорема Бернулли

Теорема.Частость события в n повторных независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью р, при неограниченном увеличении числа испытаний сходится по вероятности к вероятности этого события в отдельном испытании:

(7.7)

или

.

(7.8)

Теорема Бернулли дает теоретическое обоснование замены неизвестной вероятности события его частостью, или статистической вероятностью, полученной в nповторных независимых испытаниях.

Непосредственным обобщением теоремы Бернулли является теорема Пуассона, когда вероятности события в каждом испытании различны.