2. Алгебра событий

Ранее мы познакомились со способами непосредственного вычисления вероятностей простых событий. Однако на практике чаще приходится иметь дело со сложными событиями, которые являются комбинацией простых событий. Для нахождения вероятностей таких событий применяются теоремы сложения и умножения вероятностей. Перед тем, как сформулировать эти теоремы введем понятия суммы событий и произведения событий.

2.1. Действия над событиями

Определение. Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из данных событий.

Если А и В – совместные события, то их сумма А + В обозначает наступление события А, или события В, или обоих событий вместе.

Если А и В – несовместные события, то их сумма А + В обозначает наступление события А, или события В.

Определение. Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном наступлении всех этих событий.

Если А, В, С – совместные события, то их произведение АВС означает одновременное наступление и события А, и события В, и события С.

Пример 2.1. Экзаменационный билет содержит три вопроса. Рассматриваются следующие события: А – студент, пришедший сдавать экзамен, ответил на первый вопрос, В – на второй вопрос, С – на третий вопрос. Что представляют события: а) А + В; б) АВС, в) А + ВС?

Решение. а) Событие А + В состоит в том, что студент ответит либо на первый вопрос, либо на второй вопрос, либо на оба вопроса;

б) Событие АВС состоит в том, что студент ответит на все три вопроса билета;

в) Событие А + ВС состоит в том, что студент ответит либо на первый вопрос, либо на второй и третий вопросы, либо на все вопросы билета. ◄

2.2. Теорема сложения вероятностей несовместных событий

Теорема. Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Р(А1 + А2 + … + Аn) = Р(А1) +Р(А2) + … + Р(Аn).

(2.1)

Пример 2.2. В урне 10 шаров: 2 красных, 3 зеленых и 5 белых. Найти вероятность появления цветного шара.

Решение. Появление цветного шара означает появление либо красного (событие А), либо зеленого шара (событие В). Вероятность появления красного шара Р(А) = , вероятность появления зеленого шараР(В) = . СобытияА и В несовместны, т.к. появление шара одного цвета исключает появление шара другого цвета. Следовательно, теорема сложения применима. Искомая вероятность

Р(А + В) = Р(А) +Р(В) = +== 0,5.◄

Отметим следствия, вытекающие из теоремы сложения вероятностей несовместных событий.

Следствие 1. Сумма вероятностей событий А₁, А₂, …А_n, образующих полную группу, равна единице.

Р(А1) +Р(А2) + … + Р(Аn) = 1.

(2.2)

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

Р(А) + Р() = 1.

(2.3)

Это следствие есть частный случай следствия 1. Оно выделено ввиду его большой важности для практического применения. При решении задач часто оказывается легче вычислить вероятность противоположного события , чем прямого событияА. В этом случае следствие 2 используется в виде

Р(А) = 1 – Р().

(2.4)

Пример 2.3. Бросаются три игральных кости. Какова вероятность того, что сумма выпавших очков меньше 18?

Решение. В результате бросания трех игральных костей могут появиться 16 различных сумм очков от 3 до 18, которые образуют полную группу событий. Для решения задачи следует вычислить вероятность появления 15-ти сумм очков от 3 до 17, а затем сложить их. Это довольно трудоемкая операция. Поступим по-другому. Событие «сумма выпавших очков меньше 18» и событие «сумма выпавших очков равна 18» являются противоположными. Обозначим их А и . Очевидно, что проще найти вероятность противоположного события.

При бросании трех игральных костей общее число исходов n = 6·6·6 = 216. 18 очков могут выпасть только в одном случае, когда на всех костях выпадет по 6 очков, т.е. число благоприятных исходов m = 1. Таким образом, вероятность противоположного события Р() = .

Зная вероятность противоположного события, находим вероятность интересующего нас события:

Р(А) = 1 – Р() = 1 –=.◄

Прежде чем сформулировать теорему умножения вероятностей, введем понятие зависимых и независимых событий.