Министерство транспорта российской федерации

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

САМАРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

О.Е. Лаврусь

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ

ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Самара 2007

УДК 519.47

Л13

Рецензенты

Кандидат физ.-матем. наук, доцент СамГАПС

Ю.В. Гуменникова

Доктор техн. наук, профессор СГАУ

И.А. Тимбай

Лаврусь О.Е.

Л 13 Конспект лекций по теории вероятностей. – Самара : СамГАПС, 2007. – 88 с.

Пособие составлено в соответствии с государственным образовательным стандартом и посвящено основным разделам теории вероятностей. Кроме теоретического материала приведены примеры, а также таблицы, необходимые для решения задач.

Предназначено для студентов технических и экономических специальностей.

УДК 519.47

© СамГАПС, 2007

Введение

Теория вероятностей – математическая наука, которая изучает закономерности случайных явлений.

Под случайными явлениями понимаются явления с неопределенным исходом, происходящие при неоднократном воспроизведении определенного комплекса условий.

Очевидно, что в природе, технике и экономике нет явлений, в которых в той или иной мере не присутствовали бы элементы случайности. Существуют два подхода к изучению таких явлений. Один из них, классический, состоит в том, что выделяются только основные факторы, определяющие данное явление. При этом влиянием второстепенных факторов, приводящих к случайным отклонениям результата, пренебрегают. Таким образом, выявляется основная закономерность, свойственная данному явлению. Подобный подход часто используется в естественных науках.

Однако, при исследовании многих явлений, прежде всего социально-экономических, такой подход неприемлем. Существуют такие задачи, в которых многочисленные второстепенные, тесно переплетающиеся между собой случайные факторы играют заметную роль, а вместе с тем число их так велико и влияние столь сложно, что применение классических методов исследования себя не оправдывает. Элементы неопределенности, сложности, многопричинности, присущие случайным явлениям, требуют создания специальных методов для изучения этих явлений. Такие методы и разрабатываются в теории вероятностей.

Данное пособие написано на базе лекций по теории вероятностей, читанных автором в Самарской государственной академии путей сообщения.

Пособие снабжено большим количеством примеров, в которых применение излагаемых методов иллюстрируется на конкретном практическом материале. Окончание решения примеров отмечается знаком ◄.

1. Основные понятия теории вероятностей

1.1. События. Классификация событий

Одним из основных понятий теории вероятностей является понятие события.

Событием называется любой факт, который в результате испытания может произойти или не произойти.

Под испытанием (опытом, экспериментом) в этом определении понимается выполнение определенного комплекса условий, в которых наблюдается то или иное явление, фиксируется тот или иной результат.

Например, стрелок стреляет по мишени. В данном случае выстрел – это испытание, попадание или промах – событие. Другой пример: из урны, в которой находятся шары разного цвета, извлекается один шар. В данном случае извлечение шара из урны – это испытание. Появление шара определенного цвета – событие.

События принято обозначать прописными буквами латинского алфавита: A, B, C и т.д.

Событие называется достоверным, если в результате испытания оно обязательно должно произойти. Событие называется случайным, если в результате испытания оно может либо произойти, либо не произойти. Событие называется невозможным, если в результате испытания оно вообще не может произойти.

Например, бросается игральная кость. В данном случае выпадение целого числа является событием достоверным, выпадение числа 2 – событием случайным, выпадение числа 8 – событием невозможным.

События называются несовместными, если наступление одного из них исключает появление любого другого. В противном случае события называются совместными.

Например, получение студентом на экзамене по одной дисциплине оценок «отлично», «хорошо» и «удовлетворительно» – события несовместные, а получение тех же оценок по трем разным дисциплинам – события совместные.

События называются единственно возможными, если появление в результате испытания одного и только одного из них является достоверным событием.

Например, два студента пришли сдавать зачет. Обязательно произойдет одно из следующих событий: оба студента сдадут зачет (событие А), только один студент сдаст зачет (событие В), ни один из студентов не сдаст зачет (событие С). События А, В, С являются единственно возможными.

События называются равновозможными, если по условиям симметрии есть основания считать, что ни одно из этих событий не является объективно более возможным, чем другие.

Например, появление герба или решки при бросании монеты есть события равновозможные. Действительно, предполагается, что монета изготовлена из однородного материала, имеет правильную цилиндрическую форму, и наличие чеканки не оказывает влияния на выпадение той или иной стороны монеты.

Несколько событий образуют полную группу, если они являются единственно возможными и несовместными исходами испытания. Это означает, что в результате испытания должно произойти одно и только одно из этих событий.

Например, студент отвечает на вопросы экзаменационного билета. Билет содержит два вопроса. Возможны следующие исходы испытания: студент ответит на оба вопроса (событие А₁), ответит на один вопрос (событие А₂), не ответит ни на один вопрос (событие А₃). События А₁, А₂ и А₃ образуют полную группу.

Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу.

Например, событие, состоящее в том, что студент в данный момент находится в аудитории, и событие, состоящее в том, что он находится вне аудитории, являются противоположными.

Если одно из двух противоположных событий обозначено через А, то другое принято обозначать .