8.4. Плотность вероятности двумерной случайной величины

Для непрерывной двумерной случайной величины, так же как и для одномерной, существует понятие плотности вероятности.

Определение. Плотностью вероятности (или совместной плотностью) непрерывной двумерной случайной величины XY называется вторая смешанная частная производная ее функции распределения, т.е.

.

(8.10)

Геометрически плотность вероятности двумерной случайной величиныXY представляет собой поверхность распределения в пространстве Oxyz.

Отметим свойства плотности вероятности двумерной случайной величины.

1. Плотность вероятности двумерной случайной величины есть неотрицательная функция, т.е.

f(x, y) ≥ 0.

2. Вероятность попадания непрерывной случайной величины XY в область D равна

.

(8.11)

3. Функция распределения непрерывной случайной величины может быть выражена через ее плотность вероятности по формуле:

.

(8.12)

4. Двойной несобственный интеграл в бесконечных пределах от плотности вероятности двумерной случайной величины равен единице:

.

(8.13)

Зная плотность вероятности двумерной случайной величины (X, Y) можно найти функции распределения и плотность вероятностей ее одномерных составляющих X и Y.

Так как в соответствии с (8.7) F(x, + ∞) = F₁(x) и F(+ ∞, y) = F₂(y), то взяв в формуле (8.12) соответственно x = + ∞ и y = + ∞, получим функции распределения одномерных случайных величин X и Y:

, .

(8.14)

Дифференцируя функции распределения F₁(x) и F₂(y) соответственно по аргументам x и y, получим плотности вероятности одномерных случайных величин X и Y:

, ,

(8.15)

т.е. несобственный интеграл в бесконечных пределах от совместной плотности двумерной случайной величины по аргументу x дает плотность вероятности f₂(y), а по аргументу y – плотность вероятности f₁(x).

8.5. Условные законы распределения двумерной случайной величины

Итак, мы выяснили, как по известному закону распределения системы двух случайных величин определить законы распределения одномерных величин, входящих в систему.

Естественно возникает вопрос: нельзя ли по законам распределения одномерных величин, входящих в систему, найти закон распределения системы в целом? Оказывается, в общем случае этого сделать нельзя. Для того, чтобы полностью описать систему случайных величин, недостаточно знать распределение каждой из ее составляющих. Нужно еще знать зависимость между величинами, входящими в систему. Эта зависимость характеризуется с помощью условных законов распределения.

Определение. Условным законом распределения одной из одномерных составляющих двумерной случайной величины XY называется ее закон распределения, вычисленный при условии, что другая составляющая приняла определенное значение (или попала в определенный интервал).

Для дискретных случайных величин условные вероятности находятся по формулам:

или .

(8.16)

или .

(8.17)

В случае непрерывных случайных величин необходимо определить плотность вероятности условных распределений. Заменяя в формулах для дискретных величин вероятности событий «элементами вероятностей», получим:

, .

(8.18)

т.е. условная плотность вероятности одной из одномерных составляющих двумерной случайной величины равно отношению ее совместной плотности к плотности вероятности другой составляющей.

Пример 8.2.По данным примера8.1найти условный закон распределения составляющейХпри условии, сто составляющаяYприняла значениеy₁=1.

Решение.Искомый закон определяется следующей совокупностью условных вероятностей:

p(x₁|y₁),p(x₂|y₁),p(x₃|y₁).

Воспользовавшись формулой (8.16) и учитывая, чтоp(y₁) = 0,6 (пример8.1), получаем:

p(x₁ | y₁) = ;p(x₂ | y₁) = ;

p(x₃ | y₁) = .◄

Важной характеристикой условного распределения вероятностей является условное математическое ожидание.

Условным математическим ожиданиемдискретной случайной величиныYприХ=х(х– определенное возможное значениеХ) называют произведение возможных значенийYна их условные вероятности:

.

(8.19)

Для непрерывных величин

.

(8.20)

Аналогично определяется условное математическое ожидание случайной величины Х.

Пример 8.3. По данным примера8.1найти условное математическое ожидание составляющейYпри условии, что составляющаяХпримет значениех₁= 2.

Решение.Найдемр(х₁), для чего сложим вероятности, помещенные в первом столбце табл. 8.2

р(х₁) = 0,05 + 0,15 = 0,2.

Найдем условное распределение вероятностей величины Yпри приХ=х₁=3:

p(y₁ | x₁) = ;p(y₂ | x₁) = .

Найдем условное математическое ожидание по формуле (8.19):

M(Y|X=x₁) = =y₁·p(y₁|x₁) +y₂·p(y₂|x₁) = = 2,5. ◄

Условное математическое ожидание случайной величины YприХ=х, т.е.M_x(Y), есть функция отх, называемаяфункцией регрессииили просторегрессиейYпо Х. АналогичноM_y(X) называетсяфункцией регрессииилирегрессией X по Y. Графики этих функций называются соответственнолиниями регрессии(иликривыми регрессии)Y по ХиХ по Y.