Решение. Находим функцию распределения

.

Квантиль х_0,3найдем из уравнения (5.21), т.е.= 0,3, откудах_0,3≈ 0,67. ◄

5.5. Моменты случайных величин. Асимметрия и эксцесс

Среди числовых характеристик случайной величины особое место занимают моменты– начальные и центральные.

Определение.Начальным моментом k-го порядка случайной величины Х называется математическое ожидание k-ой степени этой величины:

.

(5.22)

Для дискретной случайной величины формула начального момента имеет вид:

.

(5.23)

Для непрерывной случайной величины:

.

(5.24)

Определение.Центральным моментом k-го порядка случайной величины Х называется математическое ожидание k-ой степени отклонения случайной величины Х от ее математического ожидания:

.

(5.25)

Для дискретной случайной величины формула центрального момента имеет вид:

.

(5.26)

Для непрерывной случайной величины:

.

(5.27)

Нетрудно заметить, что при k= 1 первый начальный момент случайной величиныХесть ее математическое ожидание (ν₁=М(Х)), приk= 2 второй центральный момент – дисперсия (μ₂=D(Х)).

Т.е. первый начальный момент характеризует среднее значениераспределения случайной величиныХ; второй центральный момент –степень рассеянияраспределенияХотносительно математического ожидания. Для более подробного описания распределения служат моменты высших порядков.

Третий центральный моментμ₃служит для характеристикиасимметрии(т.е.скошенности) распределения. Он имеет размерность куба случайной величины. Чтобы получить безразмерную величину, ее делят наσ³, гдеσ– среднее квадратическое отклонение случайной величиныХ. Полученная величинаАназываетсякоэффициентом асимметрии случайной величины:

.

(5.28)

Если распределение симметрично относительно математического ожидания, то коэффициент асимметрии равен нулю А= 0.

На рис. 5.2 показаны две кривые распределения 1 и 2. Кривая 1 имеет положительную (правостороннюю) асимметрию (А> 0), а кривая 2 – отрицательную (левостороннюю) асимметрию (А< 0).

Четвертый центральный моментμ₄служит для характеристикикрутости(островершинности или плосковершинности) распределения.

Эксцессомслучайной величины называется число

.

(5.29)

(Число 3 вычитается из отношения потому, что для нормального распределения, которое встречается наиболее часто, отношение μ₄/σ⁴= 3). Кривые, более островершинные, чем нормальная, обладают положительным эксцессом, более плосковершинные – отрицательным эксцессом.

5.6. Числовые характеристики независимых испытаний

Пусть производится nнезависимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления событияАпостоянна и равнар(т.е. повторные независимые испытания).

В этом случае математическое ожидание числа появлений события Авnиспытаниях находится по формуле

M(X) = np,

(5.30)

а дисперсия по формуле

D(X) = npq.

(5.31)

5.7. Одинаково распределенные взаимно независимые случайные величины

Рассмотрим nвзаимно независимых случайных величинХ₁,Х₂, …,Х_n, которые имеют одинаковые распределения, а следовательно, одинаковые характеристики (математическое ожидание, дисперсию и др.). Наибольший интерес представляют числовые характеристики среднего арифметического этих величин.

Обозначим среднее арифметическое nвзаимно независимых случайных величин через:

.

Сформулируем положения, устанавливающие связь между числовыми характеристиками среднего арифметического и соответствующими характеристиками каждой отдельной величины.

1. Математическое ожидание среднего арифметического одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин равно математическому ожиданию а каждой из величин:

М() =а.

(5.32)

2. Дисперсия среднего арифметического n одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин в n раз меньше дисперсии D каждой из величин:

.

(5.33)

3. Среднее квадратическое отклонениеn одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин в раз меньше среднего квадратического отклонения σ каждой из величин:

.

(5.34)