Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Лаврусь О. Е. Конспект лекций по теории вероятностей.doc
Скачиваний:
244
Добавлен:
15.03.2016
Размер:
1.27 Mб
Скачать

7. Предельные теоремы теории вероятностей

Как уже говорилось при изучении случайных величин, невозможно заранее предсказать, какое значение примет случайная величина в результате единичного испытания – это зависит от многих причин, учесть которые невозможно.

Однако при многократном повторении испытаний характер поведения суммыслучайных величин почти утрачивает случайный характер и становится закономерным. Наличие закономерностей связано именно с массовостью явлений, порождающих в своей совокупности случайную величину, подчиненную вполне определенному закону. Суть устойчивости массовых явлений сводится к следующему: конкретные особенности каждого отдельного случайного явления почти не сказываются на среднем результате массы таких явлений; случайные отклонения от среднего, неизбежные в каждом отдельном явлении, в массе взаимно погашаются, нивелируются, выравниваются.

Именно эта устойчивость средних и представляет собой физическое содержание «закона больших чисел», понимаемого в широком смысле слова: при очень большом числе случайных явлений их результат практически перестает быть случайным и может быть предсказан с большой степенью определенности.

В узком смысле слова под «законом больших чисел» в теории вероятностей понимается ряд математических теорем, в каждой из которых для тех или иных условий устанавливается факт приближения средних характеристик большого числа опытов к некоторым определенным постоянным.

Закон больших чисел играет важную роль в практических применениях теории вероятностей. Свойство случайных величин при определенных условиях вести себя практически как не случайные позволяет уверенно оперировать этими величинами, предсказывать результаты массовых случайных явлений почти с полной определенностью.

Возможности таких предсказаний в области массовых случайных явлений еще больше расширяются наличием другой группы предельных теорем, касающихся уже не предельных значений случайных величин, а предельных законов распределения. Речь идет о группе теорем, известных под названием «центральной предельной теоремы». Различные формы центральной предельной теоремы различаются между собой теми условиями, для которых устанавливается это предельное свойство суммы случайных величин.

Различные формы закона больших чисел с различными формами центральной предельной теоремы образуют совокупность так называемых предельных теоремтеории вероятностей. Предельные теоремы дают возможность не только осуществлять научные прогнозы в области случайных явлений, но и оценивать точность этих прогнозов.

7.1. Закон больших чисел

7.1.1. Неравенство Чебышёва

Для любой случайной величины Х, имеющей математическое ожидание и дисперсию, справедливо неравенство Чебышёва:

,

(7.1)

т.е. вероятность того, что отклонение случайной величины Хот своего математического ожидания (по абсолютной величине) окажется равно или больше положительного числаε, не превышает величиныD(X) /ε2.

В этой форме неравенство устанавливает верхнюю границу вероятности рассматриваемого события.

Учитывая, что события |ХМ(Х)| ≥εи |ХМ(Х)| <εпротивоположны, неравенство Чебышёва можно записать и в другой форме:

.

(7.2)

В этой форме оно устанавливает нижнюю границу вероятности рассматриваемого события.

Пример 7.1. Оценить вероятность того, что отклонение любой случайной величины от ее математического ожидания по абсолютной величине будет не более трех средних квадратических отклонений (правило трех сигм).

Решение.Учитывая, чтоD(X) =σ2, получаем:

= 0,889,

т.е. не менее, чем 0,899. Напомним, что для нормального закона правило трех сигм выполняется с вероятностью Р= 0,9973. Можно показать, что для равномерного закона распределенияР= 1, для показательного –Р= 0,9827 и т.д. Таким образом, правило трех сигм с достаточно большой вероятностью его выполнения, применимо для большинства случайных величин, встречающихся на практике.