2.3. Зависимые и независимые события

Определение. Два события называют независимыми, если вероятность появления одного из них не зависит от того, произойдет другое событие или нет.

Например, опыт состоит в бросании двух монет. Пусть А и В – события, состоящие в том, что герб появится соответственно на первой и второй монете. В данном случае вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет. Следовательно, событие А независимо от события В.

Определение. Несколько событий называют попарно независимыми, если каждые два из них независимы.

Например, опыт состоит в бросании трех монет. Пусть А, В, С – события, состоящие в том, что герб появится соответственно на первой, второй и третьей монете. В данном случае каждые два из рассматриваемых событий (т.е. А и В, А и С, В и С) – независимы. Следовательно, события А, В и С – попарно независимые. ◄

Определение. Два события называют зависимыми, если вероятность появления одного из них меняется в зависимости от того, произойдет другое событие или нет.

Например, в урне 3 белых и 2 черных шара. Наудачу берут один шар, не возвращая его в урну. Если появился белый шар (событие А), то вероятность появления белого шара во втором испытании (событие В) Р(В) = . Если же в первом испытании появился черный шар (т.е. событиеА не произошло), то вероятность Р(В) = . Т.е. вероятность событияВ зависит от того, произошло событие А или нет. Следовательно, события А и В – зависимые.

Отметим, что зависимость и независимость событий всегда взаимны, т.е. если событие В не зависит от события А, то и событие А не зависит от события В.

2.4. Теорема умножения вероятностей независимых событий

Сформулируем теорему умножения вероятностей независимых событий.

Теорема. Вероятность совместного появления двух независимых событий А и В равна произведению вероятностей этих событий:

Р(АВ) = Р(А)·Р(В).

(2.5)

Для того чтобы обобщить теорему умножения на несколько событий, введем понятие независимости событий в совокупности.

Определение. Несколько событий называют независимыми в совокупности, если каждое из них и любая комбинация остальных событий (содержащих либо все остальные события, либо часть из них) есть события независимые.

Например, если события А₁, А₂ и А₃ независимые в совокупности, то независимыми являются события: А₁ и А₂, А₁ и А₃, А₂ и А₃, А₁А₂ и А₃, А₁А₃ и А₂, А₂А₃ и А₁.

Подчеркнем, что если несколько событий независимы попарно, то из этого еще не следует их независимость в совокупности. В этом смысле требование независимости событий в совокупности сильнее требования их попарной независимости.

Теперь мы можем сформулировать следствие из теоремы умножения вероятностей, обобщающее теорему умножения на несколько событий.

Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий.

Р(А1А2…Аn) = Р(А1)·Р(А2) …·Р(Аn).

(2.6)

Пример 2.4. Имеется три урны, содержащих по 10 шаров. В первой урне 5 шаров красного цвета, во второй – 4, в третьей – 6. Из каждой урны наудачу вынимают по одному шару. Найти вероятность того, что все три шара окажутся красного цвета.

Решение. Вероятность того, что из первой урны вынут шар красного цвета (событие А) Р(А) = = 0,5. Вероятность того, что из второй урны вынут шар красного цвета (событиеВ) Р(В) = = 0,4. Вероятность того, что из третьей урны вынут шар красного цвета (событиеС) Р(С) = = 0,6.

Так как события А, В и С независимые в совокупности, то искомая вероятность (по теореме умножения) равна

Р(АВС) = Р(А)·Р(В)·Р(С) = 0,5·0,4·0,6 = 0,12. ◄