7.1.4. Теорема Пуассона

Теорема.Частость события в n повторных испытаниях, в каждом из которых оно может произойти соответственно с вероятностями р₁, р₂, …р_n при неограниченном увеличении числа испытаний сходится по вероятности к средней арифметической вероятностей события в отдельном испытании:

.

(7.9)

Закон больших чисел может быть распространен и на зависимые случайные величины. Обобщение закона больших чисел на случай зависимых случайных величин принадлежит А. А. Маркову.

7.1.5. Теорема Маркова

Теорема.Если имеются зависимые случайные величины Х₁, Х₂, …, Х_n и если при n→ ∞выполняется условие

,

(7.10)

то среднее арифметическое этих случайных величин сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий

.

(7.11)

7.2.Центральная предельная теорема

Рассмотренный закон больших чисел устанавливает факт приближения средней большого числа случайных величин к определенным постоянным. Но этим не ограничиваются закономерности, возникающие в результате суммарного действия случайных величин. Оказывается, что при некоторых условиях совокупное действие случайных приводит копределенному, а именно – кнормальному закону распределения.

Центральная предельная теоремапредставляет собой группу теорем, посвященных установлению условий, при которых возникает нормальный закон распределения. Среди этих теорем важнейшее место принадлежит теореме Ляпунова.

7.2.1. Теорема Ляпунова

Теорема.ЕслиХ₁, Х₂, …, Х_n – независимые случайные величины, у каждой из которых существует математическое ожидание М(Х_i) = а, дисперсия D(Х_i) = σ²,абсолютный центральный момент третьего порядка и выполняется условие

,

(7.12)

то закон распределения суммы Y = Х₁ + Х₂ + … + Х_n при n → ∞неограниченно приближается к нормальному с математическим ожиданием и дисперсией.

Смысл условия (7.12) состоит в том, чтобы в суммене было слагаемых, влияние которых на рассеяние суммарной величиныYподавляюще велико по сравнению с влиянием остальных. Также не должно быть большого числа случайных слагаемых, влияние которых очень мало по сравнению с суммарным влиянием остальных. Таким образом,удельный вес каждого отдельного слагаемого должен стремиться к нулю при увеличении числа слагаемых.

Следствие.ЕслиХ₁, Х₂, …, Х_n – независимые случайные величины, у которых существуют равные математические ожидания М(Х_i) = а, дисперсии D(Х_i) = σ² и абсолютные центральные моменты третьего порядка ,то закон распределения суммы Y = Х₁ + Х₂ + … + Х_n при n → ∞неограниченно приближается к нормальному с математическим ожиданием и дисперсией.

В частности, если все случайные величины распределены одинаково, то закон распределения их суммы неограниченно приближается к нормальному закону при n→ ∞.

7.2.2. Теорема Берри-Эссена

Однако при этом встает вопрос, при каких значениях nможно использовать нормальное приближение, а при каких – нет. Решение этого вопроса зависит от требуемой точности вычисления вероятности. Часто теорему Муавра-Лапласа применяют при выполнении условияnpq> 10, а центральную предельную теорему, если np> 10.

Точный ответ на вопрос о погрешности, возникающей при замене исходного распределения нормальным, дает оценка скорости сходимости в центральной предельной теореме. Такая оценка приводится в теореме Берри-Эссена.

Теорема.Если Х₁,Х₂, …,X_n–независимые, одинаково распределенные случайные величины с математическим ожиданием а, дисперсией σ² и третьим абсолютным центральным моментом μ₃, то имеет место неравенство

,

(7.13)

где – функция распределения нормированной суммы, Ф(х)– функция распределения нормального закона с параметрамиа= 0 иσ²=1.

Пример 7.3.Оценить с помощью теоремы Берри-Эссена погрешность, возникающую при использовании теоремы Муавра-Лапласа.

Решение.В тереме Муавра-Лапласа распределение нормированной суммы независимых случайных величин, имеющих распределение Бернулли, заменяется нормальным.

Тогда а=M(X_k) =p,σ²=D(X_k) =pq,b=M|X_k–a|³=pq(p²+q²).

Применяя теорему Берри-Эссена, получаем:

.

При p=q= получаем.

Если p=q= ,n= 36, то |F_n(x) – Ф(x)| ≤ 0,133.

Если p = q = , n = 400, то |F_n(x) – Ф(x)| ≤ 0,08. ◄