Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Лаврусь О. Е. Конспект лекций по теории вероятностей.doc
Скачиваний:
77
Добавлен:
15.03.2016
Размер:
1.27 Mб
Скачать

7.1.4. Теорема Пуассона

Теорема.Частость события в n повторных испытаниях, в каждом из которых оно может произойти соответственно с вероятностями р1, р2, …рn при неограниченном увеличении числа испытаний сходится по вероятности к средней арифметической вероятностей события в отдельном испытании:

.

(7.9)

Закон больших чисел может быть распространен и на зависимые случайные величины. Обобщение закона больших чисел на случай зависимых случайных величин принадлежит А. А. Маркову.

7.1.5. Теорема Маркова

Теорема.Если имеются зависимые случайные величины Х1, Х2, …, Хn и если при n→ ∞выполняется условие

,

(7.10)

то среднее арифметическое этих случайных величин сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий

.

(7.11)

7.2.Центральная предельная теорема

Рассмотренный закон больших чисел устанавливает факт приближения средней большого числа случайных величин к определенным постоянным. Но этим не ограничиваются закономерности, возникающие в результате суммарного действия случайных величин. Оказывается, что при некоторых условиях совокупное действие случайных приводит копределенному, а именно – кнормальному закону распределения.

Центральная предельная теоремапредставляет собой группу теорем, посвященных установлению условий, при которых возникает нормальный закон распределения. Среди этих теорем важнейшее место принадлежит теореме Ляпунова.

7.2.1. Теорема Ляпунова

Теорема.ЕслиХ1, Х2, …, Хn – независимые случайные величины, у каждой из которых существует математическое ожидание М(Хi) = а, дисперсия Di) = σ2,абсолютный центральный момент третьего порядка и выполняется условие

,

(7.12)

то закон распределения суммы Y = Х1 + Х2 + … + Хn при n → ∞неограниченно приближается к нормальному с математическим ожиданием и дисперсией.

Смысл условия (7.12) состоит в том, чтобы в суммене было слагаемых, влияние которых на рассеяние суммарной величиныYподавляюще велико по сравнению с влиянием остальных. Также не должно быть большого числа случайных слагаемых, влияние которых очень мало по сравнению с суммарным влиянием остальных. Таким образом,удельный вес каждого отдельного слагаемого должен стремиться к нулю при увеличении числа слагаемых.

Следствие.ЕслиХ1, Х2, …, Хn – независимые случайные величины, у которых существуют равные математические ожидания М(Хi) = а, дисперсии Di) = σ2 и абсолютные центральные моменты третьего порядка ,то закон распределения суммы Y = Х1 + Х2 + … + Хn при n → ∞неограниченно приближается к нормальному с математическим ожиданием и дисперсией.

В частности, если все случайные величины распределены одинаково, то закон распределения их суммы неограниченно приближается к нормальному закону при n→ ∞.

7.2.2. Теорема Берри-Эссена

Однако при этом встает вопрос, при каких значениях nможно использовать нормальное приближение, а при каких – нет. Решение этого вопроса зависит от требуемой точности вычисления вероятности. Часто теорему Муавра-Лапласа применяют при выполнении условияnpq> 10, а центральную предельную теорему, если np> 10.

Точный ответ на вопрос о погрешности, возникающей при замене исходного распределения нормальным, дает оценка скорости сходимости в центральной предельной теореме. Такая оценка приводится в теореме Берри-Эссена.

Теорема.Если Х1,Х2, …,Xnнезависимые, одинаково распределенные случайные величины с математическим ожиданием а, дисперсией σ2 и третьим абсолютным центральным моментом μ3, то имеет место неравенство

,

(7.13)

где – функция распределения нормированной суммы, Ф(х)– функция распределения нормального закона с параметрамиа= 0 иσ2=1.

Пример 7.3.Оценить с помощью теоремы Берри-Эссена погрешность, возникающую при использовании теоремы Муавра-Лапласа.

Решение.В тереме Муавра-Лапласа распределение нормированной суммы независимых случайных величин, имеющих распределение Бернулли, заменяется нормальным.

Тогда а=M(Xk) =p,σ2=D(Xk) =pq,b=M|Xka|3=pq(p2+q2).

Применяя теорему Берри-Эссена, получаем:

.

При p=q= получаем.

Если p=q= ,n= 36, то |Fn(x) – Ф(x)| ≤ 0,133.

Если p = q = , n = 400, то |Fn(x) – Ф(x)| ≤ 0,08. ◄

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.