8. Многомерные случайные величины

8.1. Понятие многомерной случайной величины

Ранее мы рассматривали случайные величины, возможные значения которой определялись одним числом. Такие величины называют одномерными. Однако часто результат испытания характеризуется не одной случайной величиной, а некоторой системой случайных величин, которую называют многомерной случайной величиной или случайным вектором.

Многомерная случайная величина, случайный вектор, система случайных величин – это все различные интерпретации одного и того же математического объекта. В зависимости от удобства изложения мы будем пользоваться той или иной интерпретацией.

Так же, как и в случае одномерных случайных величин, случайные величины входящие в систему, могут быть как дискретными, так и непрерывными.

Например, успеваемость студентов вуза, которая характеризуется системой n случайных величин X₁, X₂, …, X_n – оценками по различным дисциплинам, проставленными в зачетной книжке – является дискретной многомерной величиной. А размер деталей, который характеризуются длиной (X), шириной (Y) и высотой (Z) – является непрерывной трехмерной величиной.

Геометрически двумерную (X, Y) и трехмерную (X, Y, Z) случайные величины можно изобразить случайной точкой плоскости Oxy или трехмерного пространства Oxyz. При этом случайные величины X, Y или X, Y, Z являются составляющими этих векторов. В случае n-мерного пространства (n > 3) также говорят о случайной точке этого пространства, хотя геометрическая интерпретация в этом случае теряет свою наглядность.

8.2. Закон распределения вероятностей двумерной дискретной случайной величины

Так же как и для одномерной случайной величины наиболее полным, исчерпывающим описанием многомерной случайной величины является закон ее распределения. При конечном множестве возможных значений многомерной случайной величины такой закон может быть задан в виде таблицы (матрицы), содержащей все возможные сочетания значений каждой из одномерных величин, входящих в систему, и соответствующие им вероятности.

Так, если рассматривается двумерная дискретная случайная величина (X, Y), то ее двумерное распределение можно представить в виде таблицы распределения (табл. 8.1), в каждой клетке (i, j) которой располагаются вероятности произведения событий p_ij = P[(X = x_i)(Y = y_j)].

Таблица 8.1

	x1	…	xj	…	xn
y1	p11	…	p1j	…	p1n	p1
…	…	…	…	…	…	…
yi	pi1	…	pij	…	pim	pi
…	…	…	…	…	…	…
ym	pm1	…	pmj	…	pmn	pm
	p1	…	pj	…	pn	1

Так как события [(X = x_j)(Y = y_i)] (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n), состоящие в том, что случайная величина Х примет значение x_j, а случайная величина Y – значение y_i, несовместны и единственно возможны, то сумма их вероятностей равна единице, т.е.

.

Итоговые столбцы или строки таблицы распределения (X, Y) представляют соответственно распределение одномерных составляющих (x_j, p_j) или (y_i, p_i).

Действительно, распределение одномерной случайной величины Х можно получить, вычислив вероятность события X = x_j (j = 1, 2, ..., n) как сумму вероятностей несовместных событий

p_j = P(X = x_j) = P[(X = x_j)(Y = y₁) + … + (X = x_j)(Y = y_i) + … + (X = x_j)(Y = y_m)] =

= p_j1 + … + p_ji + … + p_im = .

Аналогично p_j = .

Таким образом, чтобы по таблице распределения (табл. 8.1) найти вероятность того, что одномерная случайная величина примет определенное значение, надо просуммировать вероятности p_ij из соответствующего этому значению строки (столбца) данной таблицы.

Пример 8.1. Закон распределения дискретной двумерной случайной величины (X, Y) задан в табл. 8.2. Найти законы распределения одномерных случайных величин X и Y.

			Таблица 8.2
Y\X	2	4	6
1	0,05	0,35	0,20
3	0,15	0,20	0,05

Решение. Случайная величина Х может принять значения:

Х = 2 с вероятностью р₁ = 0,05 + 0,15 = 0,20;

Х = 4 с вероятностью р₂ = 0,35 + 0,20 = 0,55;

Х = 6 с вероятностью р₂ = 0,20 + 0,05 = 0,25.

т.е. ее закон распределения

хj	2	4	6
pj	0,20	0,55	0,25

Аналогично закон распределения Y

	yj	1	3
	pj	0,6	0,4	◄