|
a1 |
|
d |
|
S =1 ì 2 |
h1 |
0 |
S0 |
Cu воздух
dизоляция
2)задача теплопроводности цилиндрической изолированной поверхности
d
d |
3)стержневой радиатор (этот вариант широко применяется при охлаждении, например, в электронике)
P0 |
Pc |
§2. Нагрев плоского изолированного проводника (задача о теплопроводности плоской стенки).
d
Cu
ql =-lgradq
z
x
y
Дифференциальное уравнение теплопроводности: ddtϑ = Cλγ 2ϑ + CqVγ
Формулировка условий однозначности решения:
1)геометрические:
ϑ= f (x); 0 < x < δ
2)временные – стационарный режим
ddtϑ = 0
3)физические: qV = 0 (диэлектрическими потерями пренебрегают), λ, С, γ
4)граничные условия
a. Граничные условия 1-ого рода При х = 0:
22
При х = δ:
ddxϑ = u ;
Температурный напор:
Удельный тепловой поток:
|
ϑ =ϑ1 |
=ϑвн |
|
|
|
||
|
ϑ =ϑ2 =ϑнар |
|
|
|
|||
2ϑ = 0 - уравнение Лапласа |
|
|
|||||
|
2 |
d 2ϑ |
|
|
|
|
|
|
ϑ |
= dx2 |
= 0 |
|
|
||
du |
= 0 ; u = C ; |
dϑ |
= |
С ; ϑ = С х + С |
|
||
dx |
|
1 |
dx |
|
1 |
1 |
2 |
|
ϑ1 = C2 |
=ϑвн |
|
|
|
||
ϑ2 = С1 δ + С2 = С1 δ +ϑ1 |
|
|
|||||
|
С = −ϑ1 −ϑ2 |
|
|
|
|||
|
1 |
|
δ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϑ =ϑ |
− ϑ1 −ϑ2 х |
|
|
|||
|
1 |
|
δ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϑ =ϑ1 −ϑ2 |
|
|
|
|||
|
ϑ =ϑ − |
ϑ х |
|
|
|||
|
|
1 |
δ |
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
q1 |
|
|
|
q2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
õ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q = −λ dϑ |
= λ |
ϑ |
|
|
||
|
|
dx |
|
|
δ |
|
|
Удельное тепловое сопротивление:
Rту = δλ
Q = q S0 = λ S0 δϑ
Тепловое сопротивление:
Rт = λ δS0
Многослойная изоляция:
q1 q2 ... qn
q
d1 d2 ... dn
Удельный тепловой поток непрерывен.
q = |
ϑ1 −ϑ2 ; ϑ |
−ϑ |
2 |
= |
q δ1 |
|
|
||||||
|
δ1 |
1 |
|
|
λ1 |
|
|
λ1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
23
q = |
ϑ2 −ϑ3 ; ϑ2 −ϑ3 |
= |
q δ2 |
|
|||||||
|
λ2 |
||||||||||
|
|
δ2 |
λ2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
q δn−1 |
||
q = |
ϑn−1 −ϑn ; ϑn−1 −ϑn |
= |
|||||||||
λn−1 |
|||||||||||
|
δn−1 |
λn−1 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Полный тепловой напор: |
|
|
|
|
δ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n−1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
ϑ1 −ϑn = q∑ |
|
j |
|
||||||
|
|
λj |
|||||||||
|
|
|
|
j=1 |
|||||||
n
Rтn = ∑Rтj
j=1
q q1
qn
d
b. Граничные условия 3-его рода (для наружной поверхности)
q |
q2 |
qîñ |
1 |
|
|
ql qê
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
При х = 0 : |
|
|
ϑ =ϑ1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
При х = δ : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
qλ |
|
= qк |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
ϑ =ϑ |
|
|
− ϑ1 −ϑ2 |
х |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
δ |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
qλ |
= λ |
ϑ1 −ϑ2 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
δ |
|
|
|
|
|
|
|
|
ϑ −ϑ |
2 |
|
= q δ |
|
|
|
||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
ϑ |
2 |
−ϑ |
ос |
|
= |
|
qк |
|
|
|
||||||||
|
|
Кт |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
δ |
|
1 |
|
|
ϑ1 −ϑос = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
ϑΣ = q |
λ |
|
|
|||||||||||||
Удельное тепловое сопротивление: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Кт |
|||||
|
|
|
|
|
|
δ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||
|
R |
ту |
|
= |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
λ |
|
Кт |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Rту = Rтλ + Rтт |
|
|
|||||||||||||||||
Коэффициент теплоотдачи: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
kт |
|
= kтк + kти |
|
|
|
|||||||||||||
24
Эквивалентная расчётная схема замещения:
q1 |
q2 |
q=qîñ |
Ròl |
|
Ròò |
DqS |
|
q |
|
|
Ròê |
Ròò |
|
Ròè |
Многослойная изоляция:
q1 qn
qê
|
|
d |
|
|
|
|
||
Rт = ∑n−1 (Rтλj + Rткj )= ∑n−1 Rтλj + |
1 |
|||||||
Кт |
||||||||
j=1 |
j=1 |
|||||||
Если S0 ≠1м2 : |
|
|
|
|||||
|
n−1 |
1 |
|
|
||||
Rт = ∑Rтλj + |
|
|
||||||
Кт S0 |
|
|||||||
|
j=1 |
|
||||||
§3. Задача теплопроводности цилиндрической тепловой стенки.
d
|
|
|
|
|
|
d1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
d2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d2 |
|
|
= d1 + 2δ |
|||||||||||||||
|
|
dϑ |
|
|
λ |
2 |
|
|
|
|
qV |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
ϑ |
|
+ |
|
|
||||||||
|
|
dt |
Cγ |
Cγ |
||||||||||||||||||||
Условия однозначности решения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1) |
геометрические: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
r1 < r < r2 |
||||||||||||||||||
2) |
физические: qV = 0, λ, С, γ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3) |
временные: |
|
|
dϑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
2ϑ = 0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
1 d |
|
dϑ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
= 0 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
r dr |
|
dr |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
d 2ϑ |
|
|
+ |
1 |
|
dϑ |
= 0 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
dr 2 |
|
|
r dr |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
25
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dϑ |
|
= u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
du |
|
1 |
|
|
du |
|
|
|
|
|
|
dr |
|
|
|
|
dr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C1 |
|
C1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
+ |
u = 0 ; |
|
= − |
|
; ln u = −ln r + ln C |
|
|
= ln |
; u = |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
dr r |
∫ u |
|
|
|
|
|
∫ r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
r |
|
r |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dϑ |
|
|
= |
C1 |
|
; ∫dϑ = |
∫ |
|
C1 |
dr |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dr |
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
a. Граничные условия 1-ого рода |
|
|
|
ϑ = C1 ln r + C2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
При r = r1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϑ =ϑ1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
При r = r2: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϑ =ϑ2 <ϑ1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϑ1 = C1 ln r1 + C2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϑ2 = C1 ln r2 + C2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ϑ −ϑ |
2 |
|
= С ln |
r1 |
= −C |
|
ln |
r2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
r2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
r1 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
C |
= − |
|
|
|
|
ϑ |
|
|
|
; |
|
С |
|
|
=ϑ + |
|
|
|
ϑ |
|
|
|
ln r |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ln |
2 r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln 2 r |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
ϑ = − |
|
|
|
|
ϑ |
|
|
|
ln r +ϑ + |
|
|
|
|
|
|
ϑ |
|
ln r |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
2 r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
|
2 r |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϑ =ϑ − |
|
|
|
|
ϑ |
|
ln |
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
2 r |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
q q1
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
q2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
îñ |
d |
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
qλ = −λ dϑ |
= λ |
|
ϑ |
|
|
1 |
= |
f (r) |
dr |
|
r |
|
r |
|
|
||
|
|
ln |
2 r |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
Удельный тепловой поток по длине проводника:
Ql = qλ Sr
Q |
= λ |
|
ϑ |
|
|
1 |
2πr = λ |
|
ϑ |
|
2π = const |
|
r |
|
r |
r |
|
||||||||
l |
|
|
|
|
||||||||
|
|
ln |
2 r |
|
|
|
|
ln |
2 r |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
ϑ = Ql ln r2 r1
2πλ
Ròó
Dq Ql
26