Кобрунов А_Мат методы модел в прикл геоф 2

Для того чтобы такой элемент всегда существовал, необходимо, чтобы М было замкнуто.

Следующая цепочка результатов характеризует условия существования и единственности решения задачи (1.2.10).

Пусть М – замкнутое множество в банаховом пространстве Х (например, М –

подпространство). Тогда решение x задачи (1.2.10) существует. Если М дополнительно выпукло,

то множество решений образует замкнутое выпуклое множество, если пространство Х дополнительно сильновыпукло, то решение задачи (1.2.10) единственно. Напомним, что к сильновыпуклыми относятся все пространства Lp при 1<p<∞.

Наиболее типичными примерами задач, рассматриваемых далее, являются следующие:

Здесь А, F – некоторые операторы, М, Ωu – подмножества в банаховом пространстве Х.

возникает при подборе параметров модели среды из класса моделей М по требованию наилучшего согласия наблюдаемой у и рассчитанной от элемента х по правилу Ах поля.

Здесь необходимо внести пояснение – зачем используются банаховы пространства. Не проще ли обойтись гильбертовыми? Дело состоит в том, что введенные выше (1.2.10) и далее критерии оптимальности имеют очень частный вид – норы. Если ограничиться гильбертовым пространством, то все рассматриваемые задачи оптимизации сведутся к задачам с квадратичными критериями оптимальности, а это чрезмерно узкий класс критериев. Введение более общих – банаховых пространств и, как следствие, включение большого числа разнообразных норм, ведет к расширению диапазона допустимых к рассмотрению критериев.

Поэтому введение банаховых пространств оправдано не тем, что более широкий класс функций вводится в рассмотрение, а тем, что более широкий класс критериев конструктивно применим.

Теорема 1. Если M X – замкнутое выпуклое множество, Х – рефлексивно, Y – сильно выпукло, А: Х→Y – взаимно-однозначен и непрерывен, то решение задачи (1.2.11) существует и

единственно.

101

Доказательство*. При доказательстве этого результата существенно используется понятие слабой топологии.

Поскольку М – замкнуто и выпукло, Х – рефлексивно, то М – слабокомпактно. Поскольку А

– непрерывен, то и слабо непрерывен, следовательно, слабокомпактные множества переводит в слабо компактные. Таким образом, оказывается, что S – образ М при отображении А является слабозамкнутым. Поскольку в силу выпуклости М выпукло и S, то множество S будет замкнуто сильно (слабозамкнутое выпуклое множество сильно замкнуто).

Следовательно, решение задачи:

существует и единственно, поскольку минимум сильно выпуклого функционала на замкнутом выпуклом множестве достигается и единственен. Обозначим его y . Поскольку А – взаимно-

однозначен на М, и y S Im A, то существует единственный элемент x A 1 y , являющийся решением (1.2.11). Что и требовалось доказать.

Задача (1.2.13) – это преобразованная задача (1.2.11), и она по форме аналогична (1.2.10).

Проиллюстрируем это обстоятельство.

Обозначим PX M , x0 оператор, ставший в соответствие элементу x0 X решением задачи (1.2.10). Этот оператор называется проектором X на M и осуществляет проектирование

– нахождение ближайшего на M , к x0 X элемента. Свойства проектора существенно зависят от характера множества M и вида нормы в пространстве X . Тогда решение задачи (1.2.13) это

P (S, y) и решение задачи (1.2.11) можно представить в виде:

Y

Если А – взаимно-однозначен, непрерывен и М – компактно, то, в соответствии с теоремой о гомеоморфизме (1.2.14), оказывается непрерывным оператором.

Рассмотрим теперь задачу (1.2.12), предполагая, что

u A x DA X : Ax y Im A ,

где А – линейный ограниченный оператор из Х в Y. Очевидно, что есть сдвиг КerA и, это

последнее множество суть линейное подпространство в X , замкнутое в силу непрерывности А.

102

Решение задач (1.2.12) и (1.2.15) связаны между собой равенством x F 1 , где –

решение (1.2.15). Таким образом, и (1.2.11), и (1.2.12) сводятся к задаче (1.2.10).

Следующий результат определяет свойства решений задачи (1.2.10) и является одним из основных в теории линейной оптимизации.

1.2.2.2 Теорема двойственности

Пусть M – замкнутое выпуклое множество линейного нормированного пространства Х.

Для того, чтобы элемент x был наилучшим приближением в М к х0, т.е. являлся решением задачи:

определяющий элемент х*|• из сопряженного к X пространства Х* – линейный функционал на

X : x* x , такой, что:

Условие (в) в приведенном результате может быть, как это нетрудно видеть, заменено

эквивалентным:

в’) x* x 0 M .

103

В том частном случае, когда М – линейное подпространство в X , условие (в), либо ему эквивалентное (в’), заменяется на

в’’) x* 0 M .

Действительно, если предположить возможность строгого неравенства в (в’), то в силу линейности М, оно всегда может быть обращено для некоторого другого ξ, и, следовательно,

возможно только строгое равенство нулю.

Приводимое ниже следствие из теоремы двойственности является исключительно важным для нахождения оптимальных решений линейных уравнений в банаховых пространствах.

Следствие. Если А – линейный ограниченный оператор из Х в Y, y Im A ,

M x DA X : Ax y , то условие (в) в теореме двойственности заменится на

в’’’) x* x 0 x KerA

Этот результат легко доказывается.

Пусть a X è Aa y . Тогда M KerA a и

К (1.2.18) применима теорема двойственности в случае, когда М – линейное подпространство, поскольку для линейных операторов KerA образует линейное подпространства в X . Тогда условие (а) для (1.2.17) остается без изменений, для условия (17 б) имеем:

x x0 a X x* x0 x x x0 X ;

т.е. это условие также осталось без изменения. Условие (в``) примет вид

в```) x* x 0 x KerA ,

что и требовалось доказать.

Следующий результат является частным, но весьма распространенным случаем.

104

Пусть Х=L2 – гильбертово пространство, М – замкнутое выпуклое множество. Для того чтобы x было решением задачи (1.2.16), необходимо и достаточно x x0 x 0 , M

и, если М – подпространство в Х то:

Этот элемент действительно принадлежит L2 и, в силу нормировки, имеет единичную норму, так что условие (а) в (1.2.17) для него выполнено. Далее, поскольку

то выполнено и условие (б). Запишем третье уравнение – (в’)

Если М – подпространство, то строгое неравенство невозможно, и выполнено:

x x0 x x 0 M ,

что и требовалось доказать.

В приведенных результатах были использованы линейные операторы, и по этой причине процедуры дифференцирования не потребовались. Но здесь необходимо знать вид сопряженного

105

к рассматриваемому пространству. Этим-то и оправдываются рассмотрения, проведенные ранее в связи с пространствами линейных функционалов над Х.

Условия (в’), (в’’), (в’’’), участвующие в различных формулировках теоремы

двойственности, могут быть заменены эквивалентной заменой требований M ; x KerA

на требования x B; x G , где B, G – плотные в М, либо КerA множества.

Рассмотрим теперь пример задачи (1.2.11) в предположении, что А – линейный ограниченный оператор из Х в Y, где Х, Y – гильбертовы пространства. В соответствие с теоремой

Лагранжа для решения задачи:

следует продифференцировать J x по х, и результат приравнять нулю. Выполняя эти действия получаем:

Тогда:

J ' x h A* Ax hh A* Ax 2 h A* y A* Ax y h 0

,

или

Это и есть уравнение Эйлера – необходимое условие экстремума для решения задачи

(1.2.11).

Модификацией этой задачи служит:

На первый взгляд это может показаться более общей задачей, но на самом деле это та же задача, но переписанная в других обозначениях

Здесь L – линейный замкнутый оператор, имеющий сопряженный L* . Тогда

106

Lu L t *u L t u d .

Более подробно этой задаче посвящен раздел 4. Настоящей работы.

Учет погрешностей в задании правой части, и обеспечение устойчивости решения достигается заменой на

В качестве оператора L может выступать, например, вычисление производной, весовые множители, их комбинации и так далее. Все это может быть стандартными средствами

107

спектрального анализа представлено в виде частотной характеристики L w преобразования.

Результат решения (1.2.25), в соответствии с (1.2.23) имеет вид:

В спектрах ее решением служит

u w N w 2 L w 2 . (1.2.27)

Приведенная выкладка более подробно и содержательно рассматривается в 4.5.5 в связи с задачей фильтрации данных. В частности (1.2.27) дает выражение для Винеровской фильтрации.

Теперь для той же задачи (1.2.16 или 1.2.20) воспользуемся методами теории двойственности, предварительно трансформируя ее к (1.2.13), как это было проделано ранее.

Сохраним введенные предположения относительно Х, Y, М, А. Тогда для решения y задачи

(1.2.13) из теоремы двойственности имеем, имеем

y y 0 Im A ,

или, учитывая, что x – решение задачи (1.2.11) – связано с y соотношением y Ax :

Ax y Ax 0 x X .

Из последнего условия имеем:

A* Ax y x 0 x X ,

откуда: A* Ax y 0 . Мы вновь получили уравнение Эйлера, но теперь оно необходимое и достаточное условие для искомого решения. Применение теоремы двойственности привело к получению более сильного результата в сравнении с вариационными методами.

1.2.2.3 Операторы проектирования в равномерной метрике

Рассмотрим в качестве примеров применение методов теории двойственности проекторы

на класс кусочно-постоянных функций функции, определенных в заданной области V

пространства RN . Точнее, рассмотрим следующую задачу. Пусть и v C V и

108

Воспользуемся теоремой двойственности, в соответствии с которой существует элемент x* v двойственного пространства, определяющего функционал, входящий в условия (а) и (б) в

(1.2.17):

v v C V x* v v v x* v v v dv.

V

В качестве элемента x* v выберем следующую конструкцию. Пусть в каждой из ячеек Vi

Таким образом, условия (а) и (б) выполнены автоматически.

В силу того, что M линейное подпространство условие (в) следует использовать в форме

(в``) что дает:

В силу произвольности чисел i отсюда, в частности следует:

109

проектирования в равномерной метрике. Как видео эти способы весьма существенно отличаются.

Если для случая гильбертова пространства нахождение проекции состояло в вычислении среднего значения по каждой из ячеек, то в равномерном случае необходимо найти значение,

обеспечивающее минимальную величину отклонений этого значения от значений проектируемой функции в каждой из подобластей. Этот пример легко обобщается на случай, когда в каждой из ячеек сетки допустимым служит не постоянное значение, а некоторая функция координат,

линейно зависящая от параметров j 0 L . Пусть, например, многообразие M

образовано линейными комбинациями функций ψi aij ij , характерных для каждой из ячеек

j

Vi . Операция проектирования произвольной функции v C V на M сводится к проектированию значений этой функции на допустимые функции по каждой из ячеек, что состоит в нахождении решения задачи:

Численные методы начинаются со сведения бесконечномерных задач к конечномерным.

После этого используется две стратегии. Либо стратегия случайного поиска оптимального элемента, с подчинением вероятностных законов выборки результатам проверки значений целевой функции на выбранных элементах либо детерминированных. Последние основаны на целевом движении к оптимальному элементу по признаку уменьшения градиента либо строго в направлении вектора градиента, до максимально лучшего результата (шаг подбирается), либо с

110