Оглавление

3.1Относительная частота события и ее свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.2Статистическое определение вероятности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.3Аксиоматическое определение вероятности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.4Классическое определение вероятности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.5Геометрическое определение вероятности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.1Условная вероятность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.2Правило умножения вероятностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.3Независимость событий.

Правило умножения вероятностей взаимно независимых событий . . . . . . 21

4.3.1Независимость двух событий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.3.2Независимость n событий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.4Правила сложения вероятностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.5Формулы полной вероятности и Байеса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.5.1Формула полной вероятности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.5.2Формула Байеса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.6Схема Бернулли проведения независимых испытаний. Биномиальная веро-

ятность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.7Приближенная формула Пуассона для вычисления биномиальной вероятности 24

4.8Локальная и интегральная формулы Муавра-Лапласа . . . . . . . . . . . . . 25

4.8.1Локальная формула Муавра-Лапласа . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.8.2Интегральная формула Муавра-Лапласа . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1

5.1Определение случайной величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

5.2Дискретная случайная величина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

5.3Числовые характеристики дискретной случайной величины . . . . . . . . . 31

5.3.1Понятие числовой характеристики случайной величины . . . . . . . 31

5.3.2Математическое ожидание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5.3.5Начальные и центральные моменты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5.4Биномиальное, Пуассона, геометрическое распределения . . . . . . . . . . . 34

5.4.1Биномиальное распределение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5.4.2 Распределение Пуассона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5.4.3 Геометрическое распределение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5.5Непрерывная случайная величина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5.7.3Равномерное распределение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

6.1Двумерная случайная величина, ее функция распределения . . . . . . . . . 45

6.2Дискретная двумерная случайная величина, ее таблица распределения . . . 46

6.3Непрерывная двумерная случайная величина. Плотность вероятности . . . 48

6.4Примеры двумерных непрерывных распределений . . . . . . . . . . . . . . . 49

6.4.1Равномерное распределение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

6.4.2Нормальное распределение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

6.5Зависимость и независимость двух случайных величин . . . . . . . . . . . . 50

6.6Условные законы распределения. Числовые характеристики двумерной случайной величины. Связь между случайными величинами . . . . . . . . . . . 50

6.6.1Условные законы распределения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

6.6.2Числовые характеристики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

7.1Неравенства Маркова и Чебышёва . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

7.1.1Неравенство А.А. Маркова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

7.1.2Неравенство П.Л. Чебышёва . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

7.2 Теоремы Чебышёва и Бернулли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

7.3Центральная предельная теорема для случая одинаково распределенных слагаемых . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

7.4Цепи Маркова. Понятие случайного процесса . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2

9.5Группированный статистический ряд. Гистограмма . . . . . . . . . . . . . . 66

9.5.1Группированный статистический ряд . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

9.5.2Оценивание генеральных числовых характеристик с помощью интер-

10.1Понятие точечной статистической оценки. Требования к оценкам . . . . . . 69

10.2Свойства выборочного среднего и выборочной дисперсии . . . . . . . . . . . 70

10.4Метод максимального правдоподобия получения оценок параметров генерального распределения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

11.3Доверительный интервал для математического ожидания m любой генеральной совокупности при большом объеме выборки . . . . . . . . . . . . . 78

11.4Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения любой генеральной совокупности при большом объеме выборки . . . . . . . . . . . 79

3

12.5Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий двух генеральных совокупностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

12.6Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности . . . 88

12.6.1 Общие вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

12.6.2Параметры проверяемого закона полностью известны . . . . . . . . . 89

12.6.3Параметры проверяемого закона неизвестны . . . . . . . . . . . . . . 90

12.6.4 Критерий Колмогорова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

4

Часть I

Теория вероятностей

5

Глава 1

Комбинаторика

1.1 Комбинаторный принцип умножения

Комбинаторикой называется раздел математики, посвященный решению задач выбора элементов из заданного множества и расположения их в группы по заданным правилам.

Полученные группы элементов называются соединениями. Они могут отличаться друг от друга как составом элементов и их общим числом, так и порядком следования элементов.

В комбинаторике чаще интересуются не самими соединениями, а их количеством. Для подсчета количества соединений часто применяется основной комбинаторный принцип «умножения».

Пусть требуется выполнить одну за другой k операций, при этом первую операцию можно выполнить n1 способами, вторую - n2 способами, и т.д., k-ю - nk способами. Тогда все k операций вместе могут быть выполнены числом способов, равным произведению чисел n1, . . . , nk:

Y

(n1, . . . , nk) = n1n2 . . . nk.

Пример. Код замка представляет собой последовательность одной из 25 букв, стоящей в начале и двух цифр от 0 до 9. Найти число комбинаций кода.

Здесь для формирования кода применяется три операции. При этом n1 = 25, n2 = 10, n3 = 10. Тогда число комбинаций кодового замка составляет

n = n1 · n2 · n3 = 25 · 10 · 10 = 2500.

1.2 Размещения

Определение. Размещениями из n элементов по k элементов называют соединения, каждое из которых состоит из k элементов, взятых из данных n элементов. При этом размещения отличаются друг от друга как самими элементами, так и их порядком.

Число размещений из n элементов по k элементов обозначается символом Akn (читается «A из n по k») и вычисляется по формуле

Akn = n(n − 1)(n − 2) . . . [n − (k − 1)] (1 ≤ k ≤ n).

Akn равно произведению k последовательных натуральных чисел, наибольшее из которых есть n.

6

Пример. A37 = 7 · 6 · 5 = 210.

Пример. Из трех букв a, b, c составить различные размещения по два и подсчитать их число.

Сами размещения несложно перечислить: ab, ba, ac, ca, bc, cb. Их число A23 = 3 ·2 = 6.

1.3 Перестановки

Определение. Перестановками из n элементов называются размещения из n элементов по n элементов, отличающиеся друг от друга лишь порядком элементов.

Число перестановок из n элементов обозначается символом Pn (читается: «Р из n») и вычисляется по формуле для размещений при k = n:

Pn = Ann = n(n − 1)(n − 2) . . . 2 · 1 = n!

Таким образом,

Pn = n!

Пример. Из трех букв a, b, c можно составить следующие слова - перестановки: abc, acb, bca, bac, cab, cba. Их число P3 = 3! = 3 · 2 · 1 = 6.

Пример. На полке 5 книг. Книги сняты с полки и после реставрации поставлены на полку. Сколькими способами можно их выставить?

Очевидно, что число способов расстановки книг на полке P5 = 5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120.

1.4Сочетания

Определение. Сочетаниями из n элементов по k элементов называются соединения, каждое из которых состоит из k элементов, взятых из данных n элементов. Эти соединения отличаются друг от друга хотя бы одним элементом. В отличие от размещений, порядок следования элементов здесь не учитывается.

Число сочетаний из n элементов по k элементов обозначается символом Cnk (читается: "С из n по k") и вычисляется по формуле

Также можно применять тождественную формулу:

Числа Cnk называют также биномиальными коэффициентами, так как являются коэффициентами разложения бинома Ньютона

n

X

(x + a)n = Cnkxkan−k.

k=0

Для единства формул делается соглашение

Cn0 = Cnn = 0! = 1.

7

Пример. Из четырех предметов - обозначим их буквами a, b, c, d - можно составить

следующие наборы для подарков по два предмета: ab, ac, ad, bc, bd,cd. Их число C42 =

4 · 3 = 6.

2

Пример. В лотерейном билете «Спортлото 6 из 45» нужно зачеркнуть 6 номеров из имеющихся 45. Сколько возможных комбинаций номеров может быть при розыгрыше?

Поскольку порядок зачеркиваемых номеров не имеет значения, имеем дело со схемой сочетаний. В итоге число наборов из 6 номеров составит:

1.5Размещения с повторениями

Определение. Размещениями с повторениями из n элементов по k элементов называются соединения, содержащие k элементов, каждый из которых может быть любого из n типов.

Предполагается, что элементы каждого из n типов содержатся в исходном множестве в любом нужном количестве (подобно кассе букв для набора текстов).

Размещения с повторениями могут отличаться друг от друга элементами, их порядком и кратностью повторения элементов.

Число размещений с повторениями из n элементов по k элементов обозначается символом Vnk (читается: "V из n по k") и вычисляется по формуле:

Vnk = nk.

Пример. Из трех букв a, b, c можно составить следующие слова-размещения с повторениями по две буквы: aa, ab, ac, ba, bb, bc, ca, cb, cc. Их число V32 = 32 = 9.

8