2.1.7. Найти координаты центра тяжести однородного стержня с концами

A(−2,1,4), B(0,5,−2) .

Используя свойства скалярного произведения, получим

(a + 2b )(a − b )= a2 + 2b a − a b − 2b 2 = a2 + a b − 2b 2 = = a 2 + ab cos(a b) − 2 b 2 =16 +10 − 2 25 = −24.

Пример 2.2.2. Дано: a = (0,−1,1), b = (2,1,0).

Найти: 1) a b ;

2) (3a − b )(a + b ) двумя способами.

Решение. 1) Используя формулу для вычисления скалярного произведения, получим

ab = 0 2 + (−1) 1 +1 0 = −1.

2) первый способ: раскроем скобки, пользуясь свойствами скалярного произведения,

(3a − b )(a + b )= 3a2 − b a + 3ab − b 2 = 3a2 + 2ab − b 2 .

Так как ab = −1, 3a2 = 3 a 2 = 3 (0 +1 +1)= 6 b 2 = 4 +1 + 0 = 5 , то получим

(3a − b )(a + b )= 6 − 2 − 5 = −1;

3)второй способ: найдем координаты сомножителей

18

3a − b = (0,−3,3) − (2,1,0) = (−2,−4,3),

a + b = (0,−1,1)+ (2,1,0)= (2,0,1).

Тогда

(3a − b )(a + b )= (−2) 2 + (−4) 0 + 3 1 = −1.

Пример 2.2.3. Даны вершины треугольника A(−1,0,2), B(0,3,−1),

C (4,2,1). Найти угол при вершине А.

Решение. Составим два вектораAB и AC с общим началом – точкой А. Получим

AB = (0 +1,3 − 0,−1 − 2) = (1,3,−3),

AC = (4 +1,2 − 0,1 − 2) = (5,2,−1).

Найдем косинус угла А, как косинус угла между векторами AB и AC

значит

19

(a + b)×(b − 2a) = 3 4 =12.

Пример 2.2.5. Дано: a = (−1,3,0,), b = (0,2,−1).

Найти a ×b , a ×b , (a − 2b)×(2a + 3b).

Решение. Пользуясь формулой векторного произведения, получим

Найдем координаты сомножителей

a − 2b = (−1,3,0) − (0,4,−2)= (−1,−1,2),

2a + 3b = (−2,6,0) + (0,6,−3)= (−2,12,−3).

Получим

20

Пример 2.2.7. Найти вектор N, перпендикулярный плоскости, в которой лежат три точки A(1,−1,0), B(0,1,2), C (2,0,1).

Решение. Если вектор N перпендикулярен плоскости, то он перпендику-

лярен любым прямым, лежащим на плоскости, в частности, векторам AB и AC .

Это значит, что в качестве вектора N можно взять векторное произведение

2.2.2. Контрольные вопросы

1)Что называется скалярным произведением двух векторов?

2)Сформулируйте свойства скалярного произведения.

3)Запишите выражение скалярного произведения в координатах.

4)Как найти угол между векторами?

5)Запишите условие перпендикулярности двух векторов.

6)Какая тройка векторов называется правой?

7)Что называется векторным произведением двух векторов?

8)Перечислите свойства векторного произведения.

9)Запишите формулу для вычисления векторного произведения в координатах.

10)Запишите формулы для вычисления площадей треугольника и параллелограмма по известным координатам их вершин;

11)Что называется смешанным произведением векторов?

12)Как записывается смешанное произведение в координатах?

13)Как найти объем параллелепипеда и пирамиды по их вершинам?

14)Какие векторы называются компланарными?

15)Каково условие компланарности векторов?

21