9.3. Примеры численного интерполирования
9.3.1. Типовые примеры
Пример 9.3.1. Составить многочлен Лагранжа для значений функции, заданных в таблице (Таблица 9.3.1).
ТАБЛИЦА 9.3.1
x |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
y |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
|
|
|
Решение. Вспомогательный многочлен имеет вид
ϕ(x) = (x −1)(x − 2)(x − 3)(x − 4) .
Вычислим его производную
ϕ′(x) = (x − 2)(x − 3)(x − 4) + (x −1)(x − 3)(x − 4) + +(x −1)(x − 2)(x − 4) + (x −1)(x − 2)(x − 3)
и найдем ее значения при заданных значениях x :
ϕ′(1) = −6, ϕ′(2) = 2, ϕ′(3) = −2 , ϕ′(4) = 6 .
Тогда
f (x) = −26 (x − 2)(x − 3)(x − 4) + 32 (x −1)(x − 3)(x − 4) +
+ −42 (x −1)(x − 2)(x − 4) + 56 (x −1)(x − 2)(x − 3) = x +1.
Таким образом, интерполяционным многочленом в данном случае является линейная функция f (x) = x +1.
9.3.2. Контрольные вопросы
1) В чем состоит задача интерполирования функции?
2) Что такое линейное интерполирование?
3) Запишите формулу интерполяционного многочлена Лагранжа.
4) Запишите интерполяционную формулу Ньютона.
9.3.3. Практические задания
9.3.1.Даны точки (0;3), (2;1), (3;5), (4;7). Составить уравнение многочлена, принимающего указанные значения при заданных значениях аргумента.
9.3.2.Построить многочлен, принимающий значения, заданные таблицей
98
ТАБЛИЦА 9.3.2
|
|
x |
1 |
|
3 |
|
4 |
|
6 |
|
||||
9.3.3. График функции y = f (x) |
y |
-7 |
5 |
8 |
14 |
|
||||||||
|
|
проходит через точки |
||||||||||||
|
|
ТАБЛИЦА 9.3.3 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
x |
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
|||
|
|
|
|
y |
4 |
|
5 |
|
8 |
|
|
|||
Тогда ее интерполяционный многочлен равен … |
||||||||||||||
а) |
P(x) = x2 − 4x + 7 , |
|||||||||||||
б) |
P(x) = x2 −3x + 6 , |
|||||||||||||
в) |
|
P(x) = x2 − x + 4, |
||||||||||||
г) |
P(x) = x2 − 2x + 5 . |
|||||||||||||
Укажите правильный ответ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
99