- •МАТЕМАТИКА
- •ПЛАНЫ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ
- •ВВЕДЕНИЕ
- •Раздел. I. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
- •Тема 1. Линейная алгебра
- •1.1. Вычисление определителей
- •1.1.1. Типовые примеры
- •1.1.2. Контрольные вопросы
- •1.1.3. Практические задания
- •1.2. Действия над матрицами
- •1.2.1. Типовые примеры
- •1.2.2. Контрольные вопросы
- •1.2.3. Практические задания
- •1.3. Решение систем линейных алгебраических уравнений.
- •1.3.1. Типовые примеры
- •1.3.2. Контрольные вопросы
- •1.3.3. Практические задания
- •Тема 2. Векторная алгебра
- •2.1. Векторы. Линейные операции над векторами.
- •2.1.1. Типовые примеры
- •2.1.2. Контрольные вопросы
- •2.1.3. Практические задания
- •2.2. Произведения векторов
- •2.2.1. Типовые примеры
- •2.2.2. Контрольные вопросы
- •2.2.3. Практические задания
- •2.3. Комплексные числа
- •2.3.1. Типовые примеры
- •2.3.2. Контрольные вопросы
- •2.3.3. Практические задания
- •Тема 3. Аналитическая геометрия
- •3.1. Основные задачи аналитической геометрии
- •3.1.1. Типовые примеры
- •3.1.2. Контрольные вопросы
- •3.1.3. Практические задания
- •3.2. Кривые второго порядка
- •3.2.1. Типовые примеры
- •3.2.2. Контрольные вопросы
- •3.2.3. Практические задания
- •Раздел. II. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
- •Тема 4. Предел функции
- •4.1. Элементы теории множеств. Понятие функции
- •4.1.1. Типовые примеры
- •4.1.2. Контрольные вопросы
- •4.1.3. Практические задания
- •4.2. Теория пределов
- •4.2.1. Типовые примеры
- •4.2.2. Контрольные вопросы
- •4.2.3. Практические задания
- •4.3. Предел и непрерывность функции
- •4.3.1. Типовые примеры
- •4.3.2. Контрольные вопросы
- •4.3.3. Практические задания
- •Тема 5. Дифференциальное исчисление
- •5.1. Вычисление производных
- •5.1.1. Типовые примеры
- •5.1.2. Контрольные вопросы
- •5.1.3. Практические задания
- •5.2. Исследование функций на экстремумы и интервалы монотонности
- •5.2.1. Типовые примеры
- •5.2.2. Контрольные вопросы
- •5.2.3. Практические задания
- •5.3. Исследование функций двух переменных
- •5.3.1. Типовые примеры
- •5.3.2. Контрольные вопросы
- •5.3.3. Практические задания
- •Тема 6. Интегральное исчисление
- •6.1. Решение задач на нахождение неопределенных интегралов. Нахождение неопределенных интегралов различными методами
- •6.1.1. Типовые примеры
- •6.1.2. Контрольные вопросы
- •6.1.3. Практические задания
- •6.2. Вычисление определенных интегралов. Приложения определенного интеграла. Исследование сходимости несобственных интегралов
- •6.2.1. Типовые примеры
- •6.2.2. Контрольные вопросы
- •6.2.3. Практические задания
- •7.1. Сходимость знакоположительных рядов
- •7.1.1. Типовые примеры
- •7.1.2. Контрольные вопросы
- •7.1.3. Практические задания
- •7.2. Исследование сходимости знакочередующихся рядов
- •7.2.1. Типовые примеры
- •7.2.2. Контрольные вопросы
- •7.2.3. Практические задания
- •Тема 8. Функциональные ряды
- •8.1. Нахождение интервала и радиуса сходимости степенных рядов
- •8.1.1. Типовые примеры
- •8.1.2. Контрольные вопросы
- •8.1.3. Практические задания
- •Раздел. IV. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
- •Тема 9. Численные методы
- •9.1. Нахождение корней уравнений итерационным методом
- •9.1.1. Типовые примеры
- •9.1.2. Контрольные вопросы
- •9.1.3. Практические задания
- •9.2. Примеры численного интегрирования
- •9.2.1. Типовые примеры
- •9.2.2. Контрольные вопросы
- •9.2.3. Практические задания
- •9.3. Примеры численного интерполирования
- •9.3.1. Типовые примеры
- •9.3.2. Контрольные вопросы
- •9.3.3. Практические задания
- •Раздел. V. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
- •Тема 10. Случайные события
- •10.1. Задачи на вычисление классической вероятности и относительной частоты
- •10.1.1. Типовые примеры
- •10.1.2. Контрольные вопросы
- •10.1.3. Практические задания
- •Тема 11. Случайные величины
- •11.1. Законы распределения случайной величины
- •11.1.1. Типовые примеры
- •11.1.2. Контрольные вопросы
- •11.1.3. Практические задания
- •Тема 12. Математическая статистика
- •12.1. Методы математической статистики
- •12.1.1. Типовые примеры
- •12.1.2. Контрольные вопросы
- •12.1.3. Практические задания
- •РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
5.3. Исследование функций двух переменных |
|
|
|||||
5.3.1. Типовые примеры |
|
|
|
|
|||
|
Пример 5.3.1. Построить линии уровня функции z = x2 + y2 . |
||||||
|
Решение. |
Уравнение |
линии |
уровня |
y |
||
z =C x2 + y2 = C является уравнением окружности с |
|
||||||
центром в начале координат и радиусом R = C . |
|
||||||
0 1 2 x |
|||||||
Если придать постоянной C значения 1, 2, 3,..., |
то полу- |
||||||
|
|||||||
чим |
семейство |
концентрических |
окружностей |
|
|||
(рис.12.5). Расстояние между линиями уменьшается при |
РИС. 5.3.1 |
увеличении C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 5.3.2. Найти |
частные |
производные |
∂z , |
∂z |
функции |
||||
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
∂y |
|
z = xln y + x2 − 2 y + xy и найти ее частные значения в точке M (1,1). |
|
||||||||
Решение. Последовательно получаем: |
|
|
|
|
|
|
|||
|
∂z = ln y + 2x + y, |
∂z |
= |
x |
− 2 + x , |
|
|
||
|
∂y |
y |
|
|
|||||
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
||
∂z |
x=1 = ln1 + 2 +1 = 3, |
∂z |
x=1 =1 − 2 +1 = 0 . |
|
|
||||
∂x |
y=1 |
|
∂y |
y=1 |
|
|
|
|
|
Пример 5.3.3. Найти полное приращение |
z и полный дифференциал dz |
||||||||
функции z = x2 + xy и вычислить их при x =1, |
y =1, |
x = 0,1, |
y = 0,2 |
||||||
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
Решение. Найдем полное приращение функции |
|
|
|
||||||
|
z = f (x + x, y + y)− f (x, y)= |
|
|
||||||
= (x + x2 )+ (x + x)(y + y)− x2 − xy = |
|
|
|||||||
= x2 + 2x x + ( |
x)2 + xy + x y + y x + x |
y − x2 − xy = |
|
||||||
|
= (2x + y) x + x y + ( x)2 + x |
y . |
|
|
|||||
Вычислим z при x0 =1, y0 =1, |
x = 0,1, |
y = 0,2 : |
|
|
( z)0 = 3 0,1 + 0,2 + (0,1)2 + 0,1 0,2 = 0,53.
Найдем частные производные
61
|
|
|
|
|
∂z |
= 2x + y, |
|
∂z = x |
|
|
|
|
|
|||||
и запишем дифференциал |
∂x |
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
dz = (2x + y) x + x |
y |
|
|
|
|
|
|||||||
Подставим в dz значения x0 , y0 , |
|
|
x, |
y , получим |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
(dz)0 =3 0,1 +1 0,2 = 0,5 . |
|
|
|
|
|||||||||
Убеждаемся в приближенном равенстве dz ≈ |
z. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′′ |
|
′′ |
′′ |
|
|
|
|
||
Пример 5.3.4. Найти производные zxx , |
zxy , |
zyy функции |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
z = 2x3 − 3y2 + xy +1. |
|
|
|
|
|
||||||||
Решение. Найдем производные первого порядка |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
′ |
|
2 |
|
′ |
|
= −6 y + x . |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
zx = 6x |
|
+ y, zy |
|
|
|
|
|||||||
Дифференцируя эти производные, получаем: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
′′ |
′ ′ |
|
|
|
|
′′ |
′ ′ |
|
|
|
′′ |
′ |
′ |
= −6 . |
||||
zxx |
= (zx ) |
|
x |
=12x, zxy |
= (zx ) |
y |
=1, zyy |
= (zy ) |
y |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пример 5.3.5. Найти производную функции |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
u = 2x y2 − y z + 2x + y2 − z2 |
|
|
|
|
|||||||||
в точке P(1, −1, 2) по направлению, заданному вектором |
|
= (3, 0, − 4). |
||||||||||||||||
Решение. Найдем частные производные функции u и вычислим их в точ- |
||||||||||||||||||
ке P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂u |
= 2 y2 + 2, |
|
|
|
∂u |
(P)= 4, |
|
|
|
|
||||||
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
||
|
∂u |
= 4x y − z + 2 y, |
∂u (P)= −8, |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
||
|
∂u |
= −y − 2z, |
|
|
|
∂u |
= −3. |
|
|
|
|
|||||||
|
|
∂z |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂z |
|
|
|
|
|
|
|
Найдем направляющие косинусы вектора |
. Так как |
|
= 9 + 0 +16 = 5 , |
|||||||||||||||
то cosα = 3 , cosβ = 0, |
|
cos γ = − |
4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя найденные значения в формулу ∂u |
, получим |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
62
∂u (P)= 4 |
3 |
−8 0 + 3 |
4 = |
24 = 4.8 . |
||||||
∂ |
5 |
|
|
5 |
5 |
|||||
Пример 5.3.6. Найти max ∂u в точке P(1,2,−1) функции |
||||||||||
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
u = x2 + 2 y2 − 3x z + z2 . |
|||||||
Решение. Найдем частные производные функции u и вычислим их в точ- |
||||||||||
ке P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂u |
= 2x − 3z, |
|
∂u |
= 4 y, |
∂u |
= −3x + 2z, |
||||
∂x |
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
∂z |
|
∂u |
(P)= 5, |
∂u |
(P)=8, |
∂u |
(P)= −5. |
|||||
∂x |
|
|
|
|
|
dy |
|
∂z |
|
|
Составим вектор gradu = 5i + 8 j − 5k , тогда |
|
|||||||||
max ∂u = |
|
gradu |
|
= |
25 + 64 + 25 = 114 ≈10.68 . |
|||||
|
|
|||||||||
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 5.3.7. Найти экстремумы функции |
|
|||||||||
|
|
|
z = x3 + y3 − 3xy . |
|
||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) найдем частные производные |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
∂z |
= 3x2 − 3y, |
∂z |
= 3y2 − 3x . |
||||||
|
|
∂x |
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
Составим и решим систему уравнений |
|
|
|||||||||
|
∂z |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
2 |
− y |
= 0 |
|
|
= x |
2 |
|
|
|
|
x |
|
|
y |
|
||||
|
∂z |
|
|
|
− x |
= 0 |
|
− x = 0 |
|||
|
= 0 |
|
y2 |
|
x4 |
||||||
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
y = x |
|
|
P |
(0, 0), P (1,1) |
||||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
x(x3 −1)= 0 |
1 |
|
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
критические точки; 2) найдем вторые частные производные
–
∂2 z |
= 6x, |
∂2 z |
= 6 y, |
∂2 z |
= −3 |
|
∂x2 |
∂y2 |
∂x ∂y |
||||
|
|
|
и составим = 6x 6 y − (−3)2 = 36x y − 9 . 63
Найдем значения |
|
в критических точках: |
|
|
|
|
(P1 ) = −9 < 0 P1 не является точкой экстремума, |
|
|
|
|||
(P ) = 27 > 0 P |
– точка экстремума. Так как |
∂2 z |
(P )= 6 |
> 0 , то |
P – |
|
|
||||||
2 |
2 |
|
∂x2 |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
точка минимума; 3) найдем минимальное значение функции
zmin = z (P2 )= z (1,1)= −1.
5.3.2. Контрольные вопросы
1)Дайте определение функции двух переменных.
2)Что является графиком функции двух переменных?
3)Что называется областью определения функции двух переменных?
4)Что называется линией уровня функции z = f (x, y)?
5)Что называется частной производной функцииz = f (x, y) по переменной
x, по переменной y ?
6)Дайте определение полного дифференциала функции двух переменных.
7)Как определяются производные второго порядка? Какие производные называются смешанными?
8)Дайте определение производной функции по направлению.
9) |
Как можно задать направление ? |
10) |
Запишите формулу для вычисления производной по направлению. |
11) |
Чему равны максимальное и минимальное значения производной по на- |
правлению? |
|
12) |
Запишите уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности, |
заданной неявно F (x, y, z)= 0 .
13)Дайте определение точки минимума и точки максимума функции двух переменных.
14)Сформулируйте необходимое условие экстремума функции. Будет ли это условие достаточным?
15)Дайте определение критических точек. Как их найти?
16)Сформулируйте достаточное условие экстремума функции.
17)Приведите схему исследования функции на экстремум.
5.3.3.Практические задания
5.3.1.Найти и построить линии уровня функции:
а) z = y − x |
2 |
; ; |
б) z = |
x2 |
y2 |
в) z = |
y |
; ; |
г) z = y − e |
x |
.. |
||
|
|
+ |
|
; ; |
|
|
|||||||
|
|
|
x2 |
|
|||||||||
|
9 |
4 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
64 |
|
|
|
|
|
5.3.2. Найти частные производные |
∂z |
, |
∂z |
|
∂x |
|
∂y |
а) z = x3 y2 − 2xy3 + x2 ; ; |
|
|
б) |
в) z = x exy ; ; |
|
|
г) |
д) z = xy − cos(3x + 2 y); ; |
|
|
е) |
5.3.3. Найти частные производные ∂∂xz ,
функции двух переменных:
z = (1 + 2x2 )y3; ;
z = ln (x2 + y2 ); ;
z = x2 y ..
∂∂yz функции z = f (x, y) в точке
M0 (x0 , y0 ) : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) z = 3x y2 + 2x − y3 +1; |
|
x = 2, y = −1; |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||
б) |
z = x2 cos y − ex−2 +1; |
|
x |
= 2, |
|
y |
= −1; |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
в) |
z = |
|
x2 + y2 |
, |
x =1, |
y |
= 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
2x − y |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5.3.4. Найти частные производные |
∂u |
, |
∂u |
, |
|
∂u функции u = f (x, y, z) трех |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
∂y |
|
|
∂z |
|
|
|
|
переменных: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
а) u = x2 y2 z3 − 2xy + y3 − 3z, |
|
x =1, y = −1, z |
0 |
= 2; |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
б) u = x2 |
yex−z |
x = −2, y =1, z |
0 |
= −2; |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) u = |
x + ln y |
, |
x = 3, |
y |
=1, z |
0 |
= −1. |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
z2 |
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.3.5. Найти полный дифференциал dz функции z = f (x, y): |
|||||||||||||||||||
а) |
z = xy2 − x2 y,+1 |
x |
=1, |
|
y |
= −1, |
|
|
x = 0,1, |
y = 0,3; |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
z = (x − y)2 + ex−y , |
x = 2, |
y |
=1, |
|
x = −0,2, |
|
y = 0,1; |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
z = x − exy y, |
x = 0, |
y |
=1, |
|
x = 0,3, |
y = −0,1.; |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′′ |
′′ |
|
′′ |
5.3.6. Найти частные производные второго порядка zxx , zxy , zyy функций: |
|||||||||||||||||||
а) z = 3x2 y − y3 + 2x ; |
б) z = sin (2x − 3y); |
в) z = x3 y2 + 2x2 y − 6 . |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
65 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5.3.7. Найти производные высших порядков:
|
а) |
|
∂3 z |
= ? z = 4xy3 |
− 2x2 |
+ 3y −1; |
|
||
|
|
∂x∂y2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) z(42 )2 = ? z = 3x2 y2 |
− 2 y3 |
+ x2 |
; |
|
||||
|
|
|
x y |
|
|
|
|
|
|
|
в) |
|
∂5 z |
|
= ? z = x4 y3 . |
|
|
|
|
|
|
∂x2∂y3 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Найти производную по направлению ∂u в точке P в направлении : |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
5.3.8. |
u = x2 + y2 + z2 , P(1,1,1), |
= (cos 45°, cos60°, cos60°); |
|||||||
5.3.9. |
u = y3 − x2 + 2x y z, P(1,1, − 3), |
– луч, составляющий с осями коорди- |
|||||||
нат Ox, Oy, Oz углы 90°, 60°, 30°; |
|
|
|
||||||
5.3.10. |
u = 3x2 − 5y + 2z2 , |
P(1, 0,1), |
= (1, −1, 0); |
||||||
5.3.11. |
u = 2x2 − 3y + 4z + x2 y2 z2 , P(1, 0, 2), |
= (1, −1, 2); |
|||||||
5.3.12. |
u = 2x y − x2 + y2 + 2z, P(0,1, −1), |
= OP ; |
5.3.13. Найти max ∂u (наибольшее значение производной) данной функции в |
|||
|
∂ |
|
|
заданной точке: |
|
|
|
а) u = x2 + y2 + z2 − x y +1, P(2, 0, − 2); |
|
||
б) u = x y + y z2 − 2x + 2 y − z, P(1, − 2, −1); |
|
||
в) u = x2 y + 3y2 − 2z +1, P(−1,1,1). |
|
|
|
Найти экстремумы функции: |
|
|
|
5.3.14. |
z = 2x2 + y2 + 5; |
5.3.15. |
z = 2x y − 4x − 2 y ; |
5.3.16. |
z = x2 − x y + y2 − x + 3; |
5.3.17. |
z = 2x3 − x y2 + 5x2 + y2 ; |
5.3.18. |
z = x + y − x2 − x y − y2 + 2 ; |
5.3.19. |
z = 3x + 6 y − x2 − x y − y2 . |
|
3 |
|
|
|
66 |
|
|