z1 = 2 − 2i , z2 = 3 + i .

Тема 3. Аналитическая геометрия

3.1. Основные задачи аналитической геометрии

3.1.1. Типовые примеры

Пример 3.1.1. Найти уравнения прямых, проходящих через точку

M (2,−1) с:

1)направляющим вектором S = (1,3);

2)нормальным вектором N = (−1,4);

3)с угловым коэффициентом k = − 34 .

Решение. 1) Воспользуемся каноническим уравнением прямой с

Пример 3.1.2. Найти уравнение прямой, проходящей через две точки M1(1,−1) , M2 (3,4) . Найти отрезки, отсекаемые прямой на осях координат.

Решение. Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две точ-

Пример 3.1.3. Найти угол между прямыми 2x − 3y −8 = 0, x + 8y +15 = 0 .

Решение. Угол α между прямыми равен углу между нормальными век-

торами к этим прямым: N1 = (2,−3) , N2 = (1,8) . Следовательно,

Знак cosα определяет величину угла, если cosα < 0 , то значит найден тупой угол α . Острый угол соответствует положительному значению косинуса. Следовательно,

α = arccos0,75 ≈ 41 – острый угол,

180 − α = arccos(−0,75) ≈139 – тупой угол.

Пример 3.1.4. Найти уравнения прямых, проходящих через точку

M (3,−1) и:

1)параллельно прямой 2x − 3y +1 = 0 ;

2)перпендикулярно прямой y = −4x + 2 ;

3)под углом 45 к Ox .

27

Решение. Чтобы найти уравнения прямых, надо воспользоваться условиями параллельности и перпендикулярности прямых:

1) найдем нормальный вектор данной прямой 2x − 3y +1 = 0 : N = (2,−3).

Так как искомая прямая параллельна данной прямой, то вектор N = (2,−3)

является нормальным для искомой прямой. Используя уравнение прямой с нормальным вектором, получим

2(x − 3) − 3( y +1) = 0, 2x − 3y − 9 = 0;

2) найдем угловой коэффициент данной прямой k1 = −4. Из условия пер-

пендикулярности прямых k1 k2 = −1 находим угловой коэффициент искомой

y +1 = 14 (x − 3) x − 4 y − 7 = 0 ; 3) найдем угловой коэффициент искомой прямой

k = tg 45 =1.

Следовательно,

y +1 =1(x − 3) x − y − 4 = 0 –

уравнение искомой прямой.

Пример 3.1.5. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку

M (1,−2,0) с заданным нормальным вектором N = (3,−1,2).

Решение. Подставим в общее уравнение плоскости координаты точки M : x0 =1, y0 = −2, z0 = 0 и координаты вектора N : A = 3, B = −1, C = 2.

Получим 3(x −1) −1( y + 2) + 2(z − 0) = 0 3x − y + 2z − 5 = 0 – общее уравнение плоскости.

Пример 3.1.6. Найти уравнение плоскости, проходящей через три точки

M1(2,−2,0) , M2 (1, −1,2) , M3 (0,2,3) .

28

Решение. Так как нормальный вектор N перпендикуляр плоскости, то он перпендикуляр любым векторам, лежащим на плоскости, в частности векторам

M1M2 = (−1,1,2) , M1M3 = (−2,4,3) .

Следовательно,

Угол между плоскостями равен углу между нормальными векторами

Острый угол между плоскостями равен

ϕ = arccos0,25 ≈ 76 .

Пример 3.1.8. Найти уравнение прямой, проходящей через точку

M (1,0,−3) параллельно вектору a = (2,1, −1) .

Решение. Подставим в канонические уравнения прямой координаты точки M : x0 =1, y0 = 0, z0 = −3 и координаты направляющего вектора: m = 2, n =1, p = −1. Получим

x 2−1 = 1y = z−+13 .

3.1.2. Контрольные вопросы

1)Что называется направляющим вектором прямой, нормальным вектором прямой, угловым коэффициентом прямой?

2)Какой вид имеет каноническое уравнение прямой?

29