- •МАТЕМАТИКА
- •ПЛАНЫ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ
- •ВВЕДЕНИЕ
- •Раздел. I. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
- •Тема 1. Линейная алгебра
- •1.1. Вычисление определителей
- •1.1.1. Типовые примеры
- •1.1.2. Контрольные вопросы
- •1.1.3. Практические задания
- •1.2. Действия над матрицами
- •1.2.1. Типовые примеры
- •1.2.2. Контрольные вопросы
- •1.2.3. Практические задания
- •1.3. Решение систем линейных алгебраических уравнений.
- •1.3.1. Типовые примеры
- •1.3.2. Контрольные вопросы
- •1.3.3. Практические задания
- •Тема 2. Векторная алгебра
- •2.1. Векторы. Линейные операции над векторами.
- •2.1.1. Типовые примеры
- •2.1.2. Контрольные вопросы
- •2.1.3. Практические задания
- •2.2. Произведения векторов
- •2.2.1. Типовые примеры
- •2.2.2. Контрольные вопросы
- •2.2.3. Практические задания
- •2.3. Комплексные числа
- •2.3.1. Типовые примеры
- •2.3.2. Контрольные вопросы
- •2.3.3. Практические задания
- •Тема 3. Аналитическая геометрия
- •3.1. Основные задачи аналитической геометрии
- •3.1.1. Типовые примеры
- •3.1.2. Контрольные вопросы
- •3.1.3. Практические задания
- •3.2. Кривые второго порядка
- •3.2.1. Типовые примеры
- •3.2.2. Контрольные вопросы
- •3.2.3. Практические задания
- •Раздел. II. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
- •Тема 4. Предел функции
- •4.1. Элементы теории множеств. Понятие функции
- •4.1.1. Типовые примеры
- •4.1.2. Контрольные вопросы
- •4.1.3. Практические задания
- •4.2. Теория пределов
- •4.2.1. Типовые примеры
- •4.2.2. Контрольные вопросы
- •4.2.3. Практические задания
- •4.3. Предел и непрерывность функции
- •4.3.1. Типовые примеры
- •4.3.2. Контрольные вопросы
- •4.3.3. Практические задания
- •Тема 5. Дифференциальное исчисление
- •5.1. Вычисление производных
- •5.1.1. Типовые примеры
- •5.1.2. Контрольные вопросы
- •5.1.3. Практические задания
- •5.2. Исследование функций на экстремумы и интервалы монотонности
- •5.2.1. Типовые примеры
- •5.2.2. Контрольные вопросы
- •5.2.3. Практические задания
- •5.3. Исследование функций двух переменных
- •5.3.1. Типовые примеры
- •5.3.2. Контрольные вопросы
- •5.3.3. Практические задания
- •Тема 6. Интегральное исчисление
- •6.1. Решение задач на нахождение неопределенных интегралов. Нахождение неопределенных интегралов различными методами
- •6.1.1. Типовые примеры
- •6.1.2. Контрольные вопросы
- •6.1.3. Практические задания
- •6.2. Вычисление определенных интегралов. Приложения определенного интеграла. Исследование сходимости несобственных интегралов
- •6.2.1. Типовые примеры
- •6.2.2. Контрольные вопросы
- •6.2.3. Практические задания
- •7.1. Сходимость знакоположительных рядов
- •7.1.1. Типовые примеры
- •7.1.2. Контрольные вопросы
- •7.1.3. Практические задания
- •7.2. Исследование сходимости знакочередующихся рядов
- •7.2.1. Типовые примеры
- •7.2.2. Контрольные вопросы
- •7.2.3. Практические задания
- •Тема 8. Функциональные ряды
- •8.1. Нахождение интервала и радиуса сходимости степенных рядов
- •8.1.1. Типовые примеры
- •8.1.2. Контрольные вопросы
- •8.1.3. Практические задания
- •Раздел. IV. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
- •Тема 9. Численные методы
- •9.1. Нахождение корней уравнений итерационным методом
- •9.1.1. Типовые примеры
- •9.1.2. Контрольные вопросы
- •9.1.3. Практические задания
- •9.2. Примеры численного интегрирования
- •9.2.1. Типовые примеры
- •9.2.2. Контрольные вопросы
- •9.2.3. Практические задания
- •9.3. Примеры численного интерполирования
- •9.3.1. Типовые примеры
- •9.3.2. Контрольные вопросы
- •9.3.3. Практические задания
- •Раздел. V. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
- •Тема 10. Случайные события
- •10.1. Задачи на вычисление классической вероятности и относительной частоты
- •10.1.1. Типовые примеры
- •10.1.2. Контрольные вопросы
- •10.1.3. Практические задания
- •Тема 11. Случайные величины
- •11.1. Законы распределения случайной величины
- •11.1.1. Типовые примеры
- •11.1.2. Контрольные вопросы
- •11.1.3. Практические задания
- •Тема 12. Математическая статистика
- •12.1. Методы математической статистики
- •12.1.1. Типовые примеры
- •12.1.2. Контрольные вопросы
- •12.1.3. Практические задания
- •РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
7.2.3. Практические задания
Исследовать на сходимость знакочередующиеся ряды, пользуясь схемой исследования. Выяснить, какие знакочередующиеся ряды сходятся абсолютно, какие условно, какие расходятся:
∞ |
|
(−1) |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
7.2.1. ∑ |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||||
n=1 |
(n +1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
∞ |
(−1) |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
7.2.4. ∑ |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
2n +1 |
|
n |
|
|
|
|||||
7.2.7. ∑(−1)n |
|
|
|
; |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
3n + 2 |
|
|
|||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
∞ |
(−1) |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
7.2.10. ∑ |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
n=1 n +10 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
∞ |
(−1) |
n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
7.2.13. ∑ |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
n=1 |
3 2n +1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
∞ |
(−21) |
n |
e |
n |
|
|
|
|
|
||||||||
7.2.16. ∑ |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|||||||||
n=1 |
n |
|
+ 3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
5n + |
3 |
|
n |
|
||||||
7.2.19. ∑(−1)n |
|
; |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
4n + |
7 |
|
|||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
10n + 6 |
|
2n |
||||||||
7.2.21. ∑(−1)n |
; |
||||||||||||||||
|
11n +1 |
|
|||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
(−1) |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
n +1 |
|
||||||||
7.2.2. ∑ |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
7.2.3. ∑(−1)n |
|
|
; |
||||||||||||||||
3n + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
6n + 5 |
|||||||||||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3n |
|
∞ |
(−1)n+1 |
|
|
|
|
||||||||||||||
7.2.5. ∑(−1)n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
7.2.6. ∑ |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
||||||||||
|
n |
2 |
|
+ 3 |
2 |
n! |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
4n +1 n |
|
∞ |
|
|
(−1)n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
7.2.8. ∑(−1)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
7.2.9. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
(n + 2) |
4 |
|
|||||||||||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
2n −1 |
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
∞ |
(−1) |
n |
n |
2 |
|
|
|
|
|
∞ |
(−1) |
n |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
7.2.11. ∑ |
|
|
|
|
|
; |
|
|
7.2.12. ∑ |
|
|
|
|
|
; |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
n=1 |
3n2 + 5 |
|
|
|
|
n=1 |
4n +1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
∞ |
(−1) |
n |
2 |
n |
|
|
|
|
∞ |
(−1) |
n |
(n + 4) ; |
|||||||||||||||||||||
7.2.14. ∑ |
|
|
|
|
|
; |
|
|
7.2.15. ∑ |
|
|
||||||||||||||||||||||
(2n +1)! |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
2n |
|
|
||||||||||||||||||||
∞ |
(−1) |
n |
(2n +1) ; |
|
∞ |
(−1) |
n |
n |
3 |
|
|||||||||||||||||||||||
7.2.17. ∑ |
|
|
|
7.2.18. ∑ |
|
|
|
; |
|
||||||||||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
2n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
6n −1 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
7.2.20. ∑(−1)n |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
5n + 442 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
∞ |
|
|
(−1) |
n |
|
∞ |
(−1) |
n+1 |
|
|
|||||||||||||||||||||
7.2.22. ∑ |
|
|
; |
|
7.2.23. ∑ |
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
nln n |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
n=2 nln |
|
|
n |
|
n=2 |
|
|
|
|
|
Тема 8. Функциональные ряды
8.1.Нахождение интервала и радиуса сходимости степенных рядов
8.1.1.Типовые примеры
Пример 8.1.1. Найти область сходимости степенного ряда
∑∞ (x −1)n
n=0 2n (n2 +1). 86
Решение.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
x −1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1) |
Составим ряд из модулей членов степенного ряда ∑ |
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
2n (n2 +1) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
||||||||
2) |
Применим к этому ряду признак Даламбера |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
D(x)= lim |
|
|
x −1 |
|
n |
|
2n (n2 +1) |
= |
|
|
x −1 |
|
|
. |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
n→∞ 2n+1 |
(n +1)2 +1 |
|
|
|
|
x −1 |
|
n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
3) |
Решим неравенство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
D(x)<1 |
|
|
x −1 |
|
|
<1 |
|
|
x −1 |
|
< 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Это неравенство с модулем имеет решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
−2 < x −1 < 2 −1 < x < 3 (рис. 8.1.1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Полученный интервал симметричен относительно точки x0 =1. |
|
|
−1 |
1 |
3 |
x |
РИС. 8.1.1
4)Исследуем ряд на концах интервала:
вточке x = −1 ряд примет вид
|
|
|
|
|
|
∞ |
(−1 −1)n |
∞ |
(−1)n 2n |
∞ |
(−1)n |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
=∑ |
|
|
|
|
|
=∑ |
|
|
|
, |
||
|
|
|
|
|
|
2n (n2 +1) |
2n (n2 +1) |
|
2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n=0 |
n=0 |
n=0 n |
|
+1 |
||||||||||||
в точке x = 3 ряд примет вид |
|
|
|
|
=∑ |
21 . |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∑ (3 −1) |
n |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
2n (n2 +1) |
|
|
n=0 n +1 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
∞ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ряд ∑ |
|
|
сходится по |
признаку сравнения |
со сходящимся рядом |
|||||||||||||||
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
n=0 n |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∞ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
||
∑ |
, а знакочередующийся ряд |
∑ |
(−1) |
|
сходится абсолютно. |
|||||||||||||||||
2 |
2 |
|
||||||||||||||||||||
n=1 n |
|
|
|
|
|
|
n=0 n |
+ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
5) Ответ: область сходимости ряда имеет вид [−1, 3] (рис. 8.1.2).
87
−1 |
1 |
3 |
x |
РИС. 8.1.2
Пример 8.1.2. Найти первые четыре члена разложения функции
f(x)= 3x2 + 3 + ex2−4
встепенной ряд в окрестности точки x0 = 2 .
Решение. Ряд Тейлора функции |
f (x) |
в окрестности точки x0 = 2 имеет |
|||||||||||||
вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x)= f (2)+ |
f ′(2) |
(x − 2)+ |
|
f |
′′(2) |
(x |
− 2) |
2 |
+ |
f ′′′(2) |
(x − 2) |
3 |
+.... |
||
1! |
|
|
|
2! |
|
3! |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Найдем первые три производные функции и вычислим значения функции |
|||||||||||||||
и ее производных при x0 = 2 . Получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
f (x)= 3x2 + 3 + ex2 −4 f (2)=16, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
f ′(x)= 6x + 2xex2 −4 f ′(2)=16, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
f ′′(x)= 6 + 2ex2 −4 + 4x2ex2 −4 f ′′(2)= 24, |
|
|
|
||||||||||||
f ′′′(x)= 4xex2 −4 +8x3ex2 −4 + 8xex2 −4 f ′′′(2)=88. |
|
|
|||||||||||||
Подставим полученные значения в ряд Тейлора |
|
|
|
|
|
||||||||||
f (x)=16 + |
16 (x − 2)+ |
24 (x − 2)2 + |
88 |
(x − 2)3 +... |
|
|
|||||||||
или |
|
1! |
|
|
2! |
|
|
|
3! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x)=16 +16(x − 2)+12(x − 2)2 + |
44 (x − 2)3 |
+.... |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
Получено разложение функции |
|
f (x) в ряд Тейлора в окрестности точки |
x0 = 2.
Пример 8.1.3. Используя известное разложение в ряд функции ex , разложить в ряд по степеням x функцию
x2 e−3x4 . 3
Решение. Запишем разложение ex в степенной ряд
88
|
|
|
|
|
|
|
ex =1 + |
x |
+ |
|
x2 |
+... + |
xn |
|
+..., |
(−∞, ∞). |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1! |
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
x |
значение |
показателя степени |
||||||||||||||||
Подставим в |
|
это разложение вместо |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
(−3x4 ), получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
e−3x |
4 |
=1 + |
(−3x4 ) |
+ |
|
(−3x4 )2 |
|
(−3x4 )n |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1! |
|
|
|
|
|
2! |
+... + |
|
|
n! |
+... = |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
=1 − |
3x4 |
+ |
32 x8 −... + (−1)n 3n x4n |
+... |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1! |
|
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
||||||
Умножим левую и правую части равенства на |
x2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
e−3x4 = |
x2 |
1 − |
3x4 |
|
x2 |
|
+ |
32 x8 |
|
x2 |
−... |
+ (−1)n 3n x4n |
|
x2 |
+.... |
||||||||||||||||||||
3 |
3 |
1! |
|
|
|
|
2! |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
n! |
3 |
|
||||||||||||||||||
Выполним некоторые преобразования, общие для всех членов ряда: со- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
кратим числитель и знаменатель на 3 и соберем степени x . Получим |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x2 |
e−3x4 = |
x2 |
− |
x6 |
|
|
+ |
3x10 |
−... + (−1)n |
3n−1 x4n+2 |
|
+..., |
|
|||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
1! |
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
область сходимости (−∞, ∞).
8.1.2. Контрольные вопросы
1)Какой ряд называется функциональным? Что называется точкой сходимости, областью сходимости ряда?
2)Что представляет собой сумма функционального ряда?
3)Какой ряд называется степенным?
4)Сформулируйте теорему Абеля и объясните ее геометрический смысл.
5)Какой вид имеет область сходимости степенного ряда?
6)Приведите схему нахождения области сходимости степенного ряда.
7)Какая функция называется аналитической в точке x0 ?
8)Как записывается ряд Тейлора аналитической функции f (x) в окрестности точки x0 ?
9)Какой вид имеет ряд Маклорена функции f (x) по степеням x ?
10) Запишите разложения в ряд по степеням x функций ex , sin x , cos x ,
(1 + x)m , ln (1 + x).
8.1.3. Практические задания
Найти область сходимости степенных рядов: 89
|
∞ |
|
|
(x −1) |
n |
|
|
|
|
|
∞ |
(x + 4) |
n |
|
|
|
|
|
∞ |
|
(−1) |
n |
x |
n |
|
|
|
||||||||||||||||||
8.1.1. |
∑ |
|
|
|
; |
8.1.2. |
∑ |
|
|
|
; |
8.1.3. |
∑ |
|
|
|
nn |
; |
|||||||||||||||||||||||||||
n 2 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
n=0 |
3 |
(n |
|
+1) |
|
|
|
|
|
|
n=0 |
2 |
|
(3n +1) |
|
|
n=0 |
|
(n +1)5 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
∞ |
|
|
(x +1) |
n |
|
|
|
|
|
∞ |
4 |
n |
x |
2n |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
3) |
2n+1 |
|||||||||||||||
8.1.4. |
∑ |
|
|
|
; |
8.1.5. |
∑ |
|
|
|
; |
|
|
|
|
8.1.6. |
∑n(x +2 |
|
|
; |
|||||||||||||||||||||||||
(n + 2) n! |
2n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n=0 |
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
n |
|
|
+ 5 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
∞ |
|
|
x |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
2) |
n |
|
|
|
∞ |
|
|
(x + 3) |
n |
|
|||||||||||
8.1.7. |
∑ |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
8.1.8. |
∑n!(x + |
|
|
; |
8.1.9. |
∑ |
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
n=1 n + |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
3n + 4 |
|
|
|
|
n=0 |
2 (n +1) |
|
||||||||||||||||||||||||
Найти первые три члена разложения в ряд функции |
f (x) в окрестности |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
точки x0 (по степеням (x − x0 ) : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
8.1.10. |
f (x) = e3x−x2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 = 3 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
8.1.11. |
f (x) = cos(ln x), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 =1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
8.1.12. |
f (x) = 3x2 + xsin(1 − x) , |
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 =1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
8.1.13. |
f (x) = 3x − cos(x2 − 4) , |
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 = −2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Используя известные разложения функций в ряд, разложить в ряд по сте- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
пеням x следующие функции: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
8.1.14. |
xsin |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
8.1.15. |
|
|
e−2x ; |
|
|
|
|
|
|
|
8.1.16. |
3cos3x2 ; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
e |
−x2 |
|
−1; |
|
|
|
|
8.1.18. |
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
8.1.19. |
3 |
|
sin3x3 ; |
|
|||||||||||||||||||
8.1.17. |
|
|
|
|
|
|
|
|
ln 1 − |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1 − cos x |
4 |
|
|
|
|
8.1.21. |
3 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
e−5x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
8.1.20. |
|
|
; |
|
|
|
|
x |
ln 1 + |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
8.1.22. |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|