Р{X = 2}= P8, 2 = C 82 р2 q 6= 2!6!8! 0,22 0,86= 0,26 .
Пример 11.1.6. С базы в магазин отправлено 4000 изделий. Вероятность того, что изделие повредится в пути, равна 0,0005 . Найти вероятность того, что в магазин прибудут три испорченных изделия.
Решение.
Имеем последовательность испытаний, удовлетворяющих схеме Бернулли. Случайная величина X – «число изделий, поврежденных в пути» распределена по биномиальному закону с параметрами n = 4000, р = 0,0005. Так как n
– велико, а p – мало, np = 2 <10 , то воспользуемся предельной формулой Пу-
ассона с параметром а = np = 2
Р{X = 3}= P4000, 3 = 23 e−2 = 0,18. 3!
Пример 11.1.7. С конвейера сошли 600 изделий. Вероятность того, что изделие первого сорта, равна 0,9 . Найти вероятность того, что 530 изделий бу-
дут первого сорта.
Решение.
Имеем последовательность испытаний, удовлетворяющих схеме Бернулли. Случайная величина X – «число изделий первого сорта» распределена по биномиальному закону с параметрами n = 600, p = 0,9 . Так как n достаточно
велико, а p не мало, npq = 54 > 20 , то применим предельную формулу Лапласа
P{ X = 530 }= |
|
1 |
|
530 − 540 |
|
= 0,02 . |
|
|
ϕ |
|
|
||
|
0,9 0,1 |
600 0,9 0,1 |
||||
600 |
|
|
|
|||
11.1.2. Контрольные вопросы
1)Что называется случайной величиной, какие бывают виды случайных величин?
2)Чем задается закон распределения для дискретных случайных величин?
3)Что такое ряд распределения, многоугольник распределения, функция распределения?
4)Какие вам известны числовые характеристики дискретных случайных величин, как они отыскиваются?
108
5)Чем задается закон распределения для непрерывных случайных величин?
6)Что такое плотность распределения, кривая распределения, функция распределения?
7)Какие вам известны числовые характеристики непрерывных случайных величин, как они отыскиваются?
8)Запишите плотность распределения нормального закона распределения.
9)Что такое схема Бернулли и какие вам известны формулы вычисления вероятности для событий, удовлетворяющих этой схеме?
11.1.3. Практические задания
11.1.1. Дискретная сл. в. |
X задана рядом распределения |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
ТАБЛИЦА 11.1.4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
1 |
3 |
|
6 |
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
P{X = xk } |
|
0,2 |
0,1 |
|
0,4 |
|
0,3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Требуется:
1)построить многоугольник распределения;
2)найти F(x) , построить график;
3)найти mx , Dx , σx ; 4) найти P{2 ≤ X ≤ 6}.
11.1.2.Дискретная сл. в. X задана рядом распределения
|
|
|
|
ТАБЛИЦА 11.1.5 |
|
|
|
|
|
|
|
X |
− |
0 |
4 |
10 |
|
1 |
|
|
|
||
|
|
|
0,2 |
|
|
P{X = xk } |
0,1 |
0,5 |
|
0,2 |
|
|
|
|
|
|
|
Требуется:
1)построить многоугольник распределения;
2)найти F(x) , построить график;
3)найти mx , Dx , σx ; 4) найти P{0 ≤ X ≤ 5}.
11.1.3.Дискретная сл. в. X задана рядом распределения
|
|
|
ТАБЛИЦА 11.1.6 |
|
|
|
|
X |
|
3 |
5 |
|
|
|
|
P{X = xk } |
|
p1 |
p2 |
|
|
|
|
|
109 |
|
|
Известно, что mx = 3,6 . Найти p1 , p2 .
11.1.4. Два стрелка независимо друг от друга делают по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания в мишень первого стрелка равна 0,8, а второ-
го – 0,6 . Случайная величина X – суммарное число попаданий в мишень. По-
строить ряд распределения случайной величины X , найти mx , |
Dx , σx . |
|
|||||||||||||||
11.1.5. Дискретная сл. в. X задана рядом распределения |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
ТАБЛИЦА 11.1.7 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
2 |
|
4 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P{X = xk } |
|
|
|
|
|
|
|
0,1 |
|
|
|
a |
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Математическое |
ожидание |
|
m |
x равно 3,3 , |
|
если: |
1) a = 0,1; |
b = 0,8; |
|||||||||
2) a = 0,1; b = 0,9; 3) a = 0,8; b = 0,1; |
4) a = 0,2; b = 0,7. |
Найти правильный ответ, |
|||||||||||||||
указать его номер. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
11.1.6. Мода вариационного ряда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ТАБЛИЦА 11.1.8 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
|
1 |
|
4 |
|
|
|
|
5 |
|
6 |
|
|
8 |
|
9 |
|
ni |
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Mo[X ] |
равна: |
1) 9; 2)1; |
3) 4; 4) 5. Найти правильный ответ, указать его номер. |
||||||||||||||
11.1.7. X – непрерывная случайная величина с плотностью распределения |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
, если |
x ≤ 0; |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
f (x) = 1 − |
|
|
|
|
, если |
0 < x ≤ 2; |
|
|
|
|||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x > 2. |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
0 |
|
, если |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Требуется: 1) построить кривую распределения; 2) найти F(x) , построить
график; 3) найти mx , Dx , σx ; 4) найти P{1 < X < 2}.
11.1.8. X – непрерывная случайная величина с плотностью распределения
a(x −1) , если |
x [1, 2]; |
||
f (x) = |
0 , если |
x |
<1, x > 2. |
|
|||
|
110 |
|
|
Требуется: 1) найти а, построить кривую распределения; 2) найти F(x) ,
построить график; 3) найти mx , |
|
Dx , |
|
σx |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|||||||||||
|
|
; 4) найти P |
2 |
< X < 2 . |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11.1.9. X – непрерывная случайная величина с плотностью распределения |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
, если |
x ≤ 0; |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
x |
, если |
|
|
0 < x ≤ 2; |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
f (x) = |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
8 |
|
|
, если |
x > 2. |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Требуется: 1) построить кривую распределения; 2) найти F(x) , построить |
|||||||||||||||||||||||||
график; 3) найти mx , |
Dx , σx ; 4) найти P{1 < X < 2}. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
11.1.10. X – непрерывная случайная величина с плотностью распределения |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
, если |
x [0,1]; |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
f (x) = |
|
x + |
|
2 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, если |
|
|
|
x < 0 , x >1. |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Требуется: 1) построить кривую распределения; 2) найти F(x) , построить |
|||||||||||||||||||||||||
график; 3) найти mx , |
Dx , σx ; 4) найти |
|
|
1 |
< |
X |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
P |
2 |
<1 . |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
11.1.11. X – непрерывная случайная величина с плотностью распределения |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
, если |
|
x <1; |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
f (x) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
3 |
|
, если |
|
x ≥1. |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Требуется: 1) построить кривую распределения; 2) найти F(x) , построить |
|||||||||||||||||||||||||
график; 3) найти mx , |
Dx , σx ; 4) найти P{1 < X < 2}. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
11.1.12. Случайная |
величина |
|
|
|
|
X |
|
|
имеет |
плотность |
распределения |
||||||||||||||
|
1 |
e− |
( x+3)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) = |
50 |
|
. Найти m |
x |
, D , σ |
x |
, E |
x |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
50π |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11.1.13. Два шахматиста играют три партии (без учета ничейных игр). Известна вероятность выигрыша первого игрока в каждой партии, равная р = 0,6 . Слу-
чайная величина X – «число партий, выигранных первым игроком ». Требует-
ся:
111