РАЗДЕЛ. III. РЯДЫ Тема 7. Числовые ряды
7.1. Сходимость знакоположительных рядов
7.1.1. Типовые примеры
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
n |
|
|
||
Пример 7.1.1. Исследовать на сходимость ряд ∑ |
|
. |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 n |
+1 |
|
|
||
Решение. Найдем предел общего члена ряда |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
lim u |
n |
= lim |
|
n |
|
= lim |
|
|
1 |
|
|
=1 ≠ 0 . |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
n→∞ |
|
n→∞ n |
|
n→∞ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
∞ |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
||||
Пример 7.1.2. Исследовать на сходимость ряд ∑ |
|
. |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 n |
n +1 |
||||
Решение. Найдем ряд для сравнения. Для этого в общем члене данного |
||||||||||||||||||||||||||
ряда un = |
|
n |
|
в числителе и знаменателе оставим только старшие степени |
||||||||||||||||||||||
n |
n +1 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
n . В результате получим v |
|
= |
n |
|
= |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
n |
|
n |
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Найдем предел
Так как ряд
расходится.
lim un
n→∞ vn
∑∞ 1
n→∞ n
= lim |
n |
: |
1 |
= lim |
n n |
=1. |
||
|
|
n |
|
|
||||
n→∞ n n +1 |
|
n→∞ n n +1 |
|
|||||
расходится (см. Пример 7.1.5), то данный ряд также
Пример 7.1.3. Исследовать на сходимость ряд ∑∞ 2n +1 .
n=1 n!
Решение. Исследуем ряд по признаку Даламбера. Найдем un , un+1 :
un = 2n +1, un+1 = 2((n ++1))+1 = (2n++ 3) , n! n 1 ! n 1 !
80
и предел |
|
|
|
|
|
|
|
|
D = lim |
un+1 |
= lim |
(2n + 3)n! |
= lim |
|
(2n + 3) 1 2 ... n |
= |
|
|
|
|
1 2 ... n (n +1) (2n +1) |
|||||
n→∞ |
un n→∞ (n +1)!(2n +1) |
n→∞ |
|
|||||
|
|
|
= lim |
(2n + 3) |
|
= 0 <1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
n→∞ (n +1)(2n +1) |
|
|
|||
Следовательно, ряд сходится.
|
|
|
∞ |
(n +1)n 2n |
. |
Пример 7.1.4. Исследовать на сходимость ряд ∑ |
n |
||||
|
|
|
n=1 |
3 |
|
Решение. Для исследования ряда используем признак Коши |
|
||||
k = lim n (n +1)n 2n |
= lim |
(n +1) 2 = |
2 <1. |
|
|
n→∞ |
3n |
n→∞ |
3 |
3 |
|
Так как k <1, то ряд сходится. |
|
|
|
|
|
Пример 7.1.5. Исследовать на |
сходимость обобщенный гармонический |
||||
ряд
∑∞ 1 , p > 0 .
n=1 n p
Решение. Запишем производящую функцию ряда
f(x)= x1p
инайдем значение несобственного интеграла
∞dx J = ∫1 x p .
Рассмотрим два случая: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1) |
p =1. Тогда получим |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
∞ |
dx = ln |
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
J = |
|
x |
|
|
= lim ln |
|
x |
|
− ln1 = ∞ – интеграл расходится. |
|||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1 |
x |
|
|
|
1 |
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
p ≠1. Тогда получим |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
∞ |
x− p+1 |
|
∞ = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
J = ∫ |
|
dxp = ∫x− p dx = |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
−p +1 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
x |
1 |
1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
81 |
|
|
|
|
= lim |
x− p+1 |
|
− |
1 |
|
= |
|
|
−p +1 |
||||
x→∞ −p +1 |
|
|
||||
∞, |
|
|
если |
− p +1 > 0, |
||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
− p +1 < 0. |
||
0 |
|
|
, если |
|||
p −1 |
||||||
|
|
|
|
|||
Интеграл расходится, если p <1 и сходится, если p >1.
В силу интегрального признака можно сделать вывод: обобщенный гар-
монический ряд
∞ |
1 |
сходится, если p >1, |
||
|
||||
|
− |
|
||
∑n=1 n p |
p ≤1. |
|||
расходится, если |
||||
7.1.2. Контрольные вопросы
1) Что называется числовым рядом?
2) Что называется частичными суммами числового ряда?
3) Дайте определение сходящегося и расходящегося числового ряда.
4) Какой ряд называется рядом геометрической прогрессии, и при каком значении знаменателя q он сходится?
5)Сформулируйте необходимый признак сходимости ряда.
6)Сформулируйте достаточный признак расходимости ряда.
7)Будет ли необходимый признак достаточным?
8)Сформулируйте признак сравнения в общей и предельной формах.
9)Сформулируйте признаки Даламбера и Коши.
10)Сформулируйте интегральный признак сходимости ряда.
7.1.3.Практические задания
7.1.1.Сравнением с обобщенным гармоническим рядом исследовать сходимость рядов:
∞ |
n |
|
|
|
|
|
∞ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
n |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
а) ∑ |
|
|
; |
|
|
б) ∑ |
|
|
|
; |
|
|
|
в) ∑ |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
n=1 n3 +1 |
|
n=1 |
n + |
1 |
|
|
|
|
|
n=1 n (n + |
2) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
∞ |
n |
+ 5 |
|
|
∞ |
|
|
n |
2 |
|
|
|
∞ |
|
n( n +1) |
|
|
|
|||||||||||||
г) ∑ |
|
|
; |
д) ∑ |
|
|
|
|
|
; |
е) ∑ |
|
. |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
n=1 n2 |
n +1 |
|
n=1 |
(n + 3)(n + 4) |
|
n=1 n3 + 3n + 2 |
|
||||||||||||||||||||||||
7.1.2. Исследовать по признаку Даламбера сходимость рядов: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
∞ |
4 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
а) ∑ |
2n n+1 ; |
|
б) ∑ |
|
|
; |
|
|
|
в) ∑n + 2 ; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
3n + 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
n=1 |
3 |
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
∞ |
n! |
|
|
|
|
|
∞ |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
8 |
|
|
|||
г) ∑ |
|
|
; |
|
|
д) ∑ |
3 |
|
|
|
|
|
; |
|
е) 1 + |
|
2 |
+ |
|
+ |
|
+…. |
|||||||||
|
|
4 |
|
|
(2n +1)! |
|
|
3! |
4! |
||||||||||||||||||||||
n=1 n + |
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
2! |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
82 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||