Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1216 вузов, 4117 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Казанский кооперативный институт (филиал РУК)
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:
ПланыПЗ_Математ_036401.pdf
Скачиваний:
23
Добавлен:
26.02.2016
Размер:
941.81 Кб
Скачать
☆
►Содержание►

б) разложением определителя по элементам какой-либо строки или столб-

ца;

в) используя свойства определителя, получить в какой-либо строке или столбце нули (кроме одного элемента) и разложить определитель по элементам этой строки или столбца.

1.1.3.

 

−1 2 3

 

 

1.1.4.

 

 

 

 

1 1 −1

 

 

 

 

1.1.5.

 

−3 0 2

 

1.1.6.

 

0 1 −2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

3

−2

 

 

 

 

 

 

2 3

4

 

 

 

 

 

1 −1 3

 

 

1

3

4

 

 

 

 

2

4

2

 

 

 

 

 

 

 

3 −1 1

 

 

 

 

 

 

2 4 1

 

 

 

 

2 −1 5

 

 

 

Вычислить определители четвертого порядка:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−1 2 1

0

 

 

 

1

2

3 4

 

 

 

 

3 2 1 0

 

 

 

 

 

 

3

2

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.1.7.

 

1

0

2

−1

1.1.8.

 

 

3

5

7 2

 

 

1.1.9.

 

0 3 2 1

 

1.1.10.

 

 

2

0

1

−1

 

 

 

−1 3 2

3

 

 

 

 

 

−2 −3 3 2

 

 

 

 

1 0 3 2

 

 

 

 

 

 

2

1

2

3

 

 

 

1

3 6

1

 

 

 

1

3

5 4

 

 

 

 

2 1 0 3

 

 

 

 

 

 

1 −1 3 0

 

1.2. Действия над матрицами

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.2.1. Типовые примеры

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 1.2.1. Найти 2A − 3B для матриц

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 −1 1

,

1 0 −2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A =

3 −2 0

 

B =

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 4 −1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. Согласно определениям, получим

 

 

 

4 −2 2

3 0 −6

 

2A =

,

3B =

,

 

 

6 −4 0

6 12

−3

 

 

4 − 3 −2 − 0 2 + 6

1 −2 8

2A − 3B =

 

=

0 −16 3

.

 

6 − 6 −4 −12 0 + 3

 

Пример 1.2.2. Найти произведение AB матриц

 

A = 1

0 −3

 

 

 

4

1

 

,

B =

−1 2

.

2

−1 1

 

 

 

 

−3

 

 

 

 

 

0

 

Решение. Матрицы можно умножить, так как число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B .

Получим

7

 

1 4 + 0 (−1) + (−3) 0 1 1 + 0 2 + (−3) (−3) 4 10

 

 

AB =

4 + (−1) (−1)

+1

0 2 1 + (−1)

 

 

 

 

 

 

=

 

.

 

2

2 +1 (−3) 9 − 3

 

Пример 1.2.3. Найти обратную матрицу A−1 к матрице

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 −1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A = 3 0 −1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 − 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. Найдем обратную матрицу, пользуясь способом нахождения

обратной матрицы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

Найдем определитель матрицы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

1 −1

 

1

 

 

 

 

 

= −5.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

3

0

 

 

 

−1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 −3

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Матрица A невырожденная.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

Найдем алгебраические дополнения всех элементов матрицы A . Полу-

чим

 

 

 

0 −1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 −1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 0

 

 

 

 

 

 

 

 

A =

 

 

 

= −3,

 

A = −

 

= −7,

A =

 

 

 

 

 

 

 

 

= −9,

 

 

11

 

 

−3 2

 

 

 

 

 

 

 

 

12

 

 

 

1 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13

 

 

 

 

1 −3

 

 

 

 

A

 

 

= −

 

−1 1

 

= −1,

 

 

 

 

A

 

=

 

 

 

1 1

 

 

 

 

 

=1,

 

A

= −

 

1 −1

 

 

 

= 2,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

21

 

 

 

 

 

 

−3 2

 

 

 

 

 

 

 

 

22

 

 

 

 

1 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

23

 

 

 

 

1 −3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

=

 

−1 1

 

 

=1,

 

 

A

 

 

= −

 

1 1

 

= 4,

A

=

 

1 −1

 

 

= 3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

31

 

 

 

0 −1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

32

 

 

 

 

 

3 −1

 

 

 

 

33

 

3 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Составим матрицу из алгебраических дополнений

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−3 −7 −9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A = −1 1 2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найдем транспонированную матрицу

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−3 −1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

=

 

−7

 

1

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−9

 

2

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найдем обратную матрицу по формуле

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

−3 −1 1

3 / 5 1 / 5 −1 / 5

 

 

 

 

−1

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

=

 

 

 

 

 

A

 

= −

 

 

 

−7 1 4

=

7 / 5 −1 / 5 −4 / 5

.

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−9 2 3

 

 

 

9 / 5 −2 / 5 −3 / 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Можно сделать проверку, убедившись, что A−1 A = E или A A−1 = E.

Пример 1.2.4. Найти ранг матрицы

 

 

 

 

1 3

−2

0

 

 

1 10

−6

 

 

A =

−1 .

 

2 −1

0

1

 

 

 

Решение. Используя элементарные преобразования строк матрицы, приведем матрицу A к треугольному виду, образуя нули под главной диагональю.

Для этого первую строку умножим на (−1) и прибавим ко второй, а затем на

(−2) и прибавим к третьей, получим

 

1

3 −2 0

1

3

−2 0

1 3 −2 0

 

 

 

 

 

0

7

 

 

 

 

 

A =

1 10 −6 −1

~

−4 −1

~

0 7 −4 −1 .

 

2 −1 0 1

 

 

0 −7 4 1

 

 

0 0 0 0

 

 

 

 

 

1.2.2. Контрольные вопросы

1)Что называется матрицей?

2)Что называется суммой матриц, произведением матрицы на число?

3)Какие матрицы можно умножать?

4)Как найти произведение матриц?

5)Какая матрица называется невырожденной?

6)Что называется обратной матрицей?

7)Сформулируйте правило нахождения обратной матрицы.

8)Что называется минором матрицы?

9)Что называется рангом матрицы?

10)Какие преобразования матрицы называются элементарными преобразованиями?

11)Сформулируйте способ нахождения ранга матрицы.

1.2.3.Практические задания

Выполнить линейные операции над матрицами:

 

 

 

2 −1 0

1 3 5

 

 

0

−1

 

 

1

−1

1.2.1.

2

;

 

2

−3

 

 

−3

3

 

 

3 0 1

 

−

−2 4 0

 

1.2.2. 3

 

− 2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

4

−5

 

 

5

−5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности