3)Какой вид имеет уравнение прямой с нормальным вектором?

4)Какие уравнения прямой содержат угловой коэффициент?

5)Запишите уравнение прямой, проходящей через две точки.

6)Запишите уравнение прямой в отрезках.

7)Как найти точку пересечения прямых?

8)Как найти угол между прямыми?

9)Сформулируйте условия параллельности прямых.

10)Сформулируйте условия перпендикулярности прямых.

11)Как найти точку пересечения прямых?

12)Как найти расстояние от точки до прямой?

13)Какой вектор называется нормальным вектором плоскости?

14)Как записывается уравнение плоскости, проходящей через данную точку

сданным нормальным вектором?

15)Какой вид имеет общее уравнение плоскости? Какую степень имеет это уравнение?

16)Что необходимо найти, чтобы записать уравнение плоскости?

17)Как найти угол между плоскостями?

18)Как записываются общие уравнения прямой в пространстве?

19)Какой вид имеют канонические уравнения прямой в пространстве?

20)Что необходимо знать, чтобы записать канонические уравнения прямой?

21)Как найти угол между прямыми?

22)Как найти точку пересечения прямой и плоскости?

3.1.3.Практические задания

3.1.1.Даны прямые, заданные общими уравнениями:

1)2x − 8y +1 = 0 , 2) 3x + y − 2 = 0,

3)2x + 4 = 0 , 4) y − 3 = 0 .

Найти нормальные векторы, угловые коэффициенты и направляющие векторы этих прямых.

3.1.2. Найти уравнения прямых, проходящих через точку M (−1,2) с заданными характеристиками направления:

1) N = (2,−3) , 2) S = (0,4) , 3) α =135 , где α - угол между прямой и осью

Ox .

3.1.3. Прямая пересекает ось Oy в точке с ординатой –5 и образует с осью Ox

угол 45 . Найти уравнение этой прямой. Проверить, лежат ли точки M1(1,2) ,

M1(7,2) на этой прямой.

30

3.1.4. Найти уравнение прямой, проходящей через точки P(2,0), Q(−1,3). Най-

ти отрезки, отсекаемые этой прямой на осях координат. Построить эту прямую.

3.1.5. Построить прямые: 1) 2x − 3y + 6 = 0 , 2) x − 5y +10 = 0 , 3) x − 1 = 0 , 4)

y + 2 = 0 .

3.1.6. Даны вершины треугольника A(8,−3), B(6,−5), C(−5,7). Найти уравнение медианы AM .

3.1.7. Даны три вершины параллелограмма ABCD : A(−1,2), B(1,0), C(3,−1).

Найти:

1)уравнения сторон параллелограмма;

2)вершину D ;

3)угол при вершине A .

3.1.8. Найти вершины треугольника, заданного уравнениями сторон y − 2 = 0 ,

прямые.

3.1.11. Стороны угла заданы уравнениями: 5x − 3y − 20 = 0, 3x + y + 2 = 0. Най-

ти вершину и величину этого угла.

3.1.12.Найти уравнение прямых, проходящих через точку M (2,−2) и:

1)параллельно прямой x − 4y + 3 = 0 ;

2)перпендикулярно прямой x − 4y + 3 = 0 .

3.1.13.Найти уравнение прямых, проходящих через точку M (3,−1) и:

1)параллельно прямой y = −2x +1;

2)перпендикулярно прямой y = −2x +1.

3.1.14.Найти уравнение перпендикуляра, опущенного из точки P(2,1) на пря-

мую 3x + y = 0 . Найти основание этого перпендикуляра – точку Q .

31

3.1.15. Даны прямые 3x − 4y +14 = 0, 2x + y + 2 = 0 . Найти:

1)угол между прямыми;

2)точку пересечения прямых;

3)расстояние от точки P(2,1) до этих прямых.

3.1.19.Найти уравнение плоскости, проходящей точку M (3, −2,7) параллельно плоскости 2x − 3y + 2z − 3 = 0 .

3.1.20.Найти уравнение плоскости, проходящей через три точки M1(1,−2,4) ,

M2 (−1,2,1) , M3 (2,−1,3) .

3.1.21. Найти угол между плоскостями 3x + y − 2z +1 = 0 и x + y + z + 2 = 0 .

1)параллельно прямой ;

2x − y − z + 3 = 0

2)перпендикулярно плоскости x + 3y − 2z +1 = 0 .

3.1.25.Найти уравнение прямой, проходящей через точку P(2,−1,1) и содержа-

щий отрезок PQ , где Q(0,2,−1) .

32