∞

2n +1 n

∞

4n +1 n

а) ∑

;

б) ∑

n + 2

.

n=1

4n + 3

n=1

7.1.4. Исследовать по интегральному признаку ряды:

∞

1

∞

1

а) ∑

;

б) ∑

.

2

n=2 nln

n

n=2 n ln n

7.1.5. Исследовать на сходимость числовые ряды:

∞

n

∞

2n

2

+1

∞

1

а) ∑

;

б) ∑

;

в) ∑

;

2

+ n +

2

4

4n +

n=1 n

n=1 n

+ 3n +1

n=1

n

∞

1

∞

n

∞

n +1 .

г) ∑

;

д) ∑

;

е) ∑

n=1

3 n2 + n

n=1

2n −1

n=1

n

∞

n

1

∑(−1)

.

2

n=1

n

∞

1

Решение. Составим ряд из модулей членов данного ряда ∑

.

2

n=1

n

∞

1

димости знакопеременного ряда ряд ∑(−1)n

также сходится.

n2

n=1

Пример 7.2.2. Исследовать на сходимость знакочередующийся ряд

∞

n

∑(−1)n+1

.

n

3

n=1

+1

∞

n

Решение. Составим ряд из модулей членов данного ряда ∑

.

3

n=1 n

+1

∞

∞

n

∞

Подберем ряд для сравнения ∑vn = ∑

= ∑

1

. Это обобщенный гармони-

3

2

n=1

n=1 n

n=1 n

ческий ряд с p = 2 >1, следовательно, сходящийся. Вычислим предел

lim

u

n

= lim

n

n2

=1 ≠ 0, ∞.

1

1

∞

n→∞ vn

n→∞ n3 +

n

Это значит, что ряд ∑

является сходящимся, а знакочередующийся ряд

n

2

n=1

+1

∞

n

∑(−1)n+1

сходится абсолютно.

n

2

n=1

+1

Пример 7.2.3. Исследовать на сходимость знакочередующийся ряд

∞

(−1)n 2n

.

∑

n + 2

n=1

∞

2

n

Решение. Составим ряд из модулей членов данного ряда ∑

и при-

n=1 n +

2

меним к нему признак Даламбера

D = lim

u

n+1

= lim

2n+1 (n + 2)

= 2 >1.

(n

3) 2n

n→∞

un n→∞

+

Следовательно, этот ряд расходится, но так как был использован признак

Даламбера, то нарушен необходимый признак сходимости ряда, то есть

lim

2n

≠ 0 .

2

(−1)n

n→∞ n +

∞

2n

Следовательно, ряд ∑

n + 2

– расходится.

n=1

Пример 7.2.4. Исследовать на сходимость знакочередующийся ряд

∑

(−1)

.

∞

n+1

n=1

5n + 2

∞

1

∑

n=1 5n + 2

и применим к нему признак сравнения. Ряд для сравнения

∞

∞

∑vn = ∑1

n=1

n=1 n

расходится и предел

lim

un

= lim

1

n =

1

5

n→∞ vn n→∞ 5n + 2

1

не равен нулю и бесконечности. Следовательно, расходится также ряд

∞

∑n=1

1

.

5n + 2

Так как исследование знакоположительного ряда проводилось по призна-

∞

(−1)

n+1

ку сравнения, то к знакочередующемуся ряду ∑

применим признак

n=1

5n +

2

2) lim

1

= 0

n→∞ 5n + 2