РАЗДЕЛ. V. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
Тема 10. Случайные события
10.1. Задачи на вычисление классической вероятности и относительной частоты
10.1.1. Типовые примеры
Пример 10.1.1. Производится три повторных измерения некоторой физической величины. Вероятность того, что при любом измерении ошибка выйдет за пределы допуска, равна 0,1. Найти вероятность событий:
А– «во всех трех измерениях ошибка выйдет за пределы допуска»;
В– «во всех трех измерениях достигнута заданная точность»;
С– «хотя бы в одном измерении ошибка выйдет за пределы допуска». Решение. Введем события:
Аk – «в k -ом измерении ошибка выйдет за пределы допуска», k =1, 2, 3.
События А1, А2, А3 – совместные, независимые.
Так как А= А1 А2 А3 , В = |
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
3, |
|
С = А1+ А2+ А3 , то, учитывая, что |
||||||||
А |
А |
А |
|||||||||||||||||
Р( Аk ) = 0,1, Р( |
|
k ) = 0,9 , k =1, 2, 3 , получим |
|
||||||||||||||||
А |
|
||||||||||||||||||
|
|
Р( А) = Р(А )Р(А |
2 |
)Р(А |
) = 0,13 |
= 0,001; |
|||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
||||||
|
|
Р(В) = Р( |
|
)Р( |
|
|
)Р( |
|
|
) = 0,93 |
= 0,729 ; |
||||||||
|
|
А |
А |
А |
3 |
||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Р(С) =1 − Р(А1 А2 А3) =1 − 0,729 = 0.271.
Пример 10.1.2. В партии, состоящей из 20 изделий, имеются 4 изделия с дефектом. Для контроля из партии выбирается последовательно два изделия. Рассмотрим события:
A – «первое изделие с дефектом»,
B– «второе изделие с дефектом»,
C– «оба изделия с дефектом»,
D – «только первое изделие с дефектом», 100
E– «ни одно изделие не имеет дефекта»,
F– «хотя бы одно изделие с дефектом».
Найти вероятности: P( A), P(B A), P(B A), P(C), P(D), P(E), P(F).
Решение. Первые три вероятности найдем, используя классическое опре-
деление вероятности: P( A) = 204 = 0,2 , P(B A) = 193 = 0,16 , P(B A) = 194 = 0,21.
События C, D, E, F выразим через A, B с помощью введенных ранее операций: C = AB, D = AB, E = AB, F = A + B . Найдем вероятности этих со-
бытий, используя теоремы сложения и умножения вероятностей:
P(C) = P( AB) = P( A) P(B \ A) = 0,2 0,16 = 0,037,
P(D) = P( AB) = P( A) P(B \ A) = 0,2 0,84 = 0,17,
P(E) = P( AB) = P( A) P(B \ A) = 0,8 0,79 = 0,63,
P(F) = P( A + B) =1 − P( AB) =1 − P(E) =1 − 0,63 = 0,37.
Пример 10.1.3. Прибор может работать в трех режимах:
1)нормальный режим наблюдается в 60% случаев;
2)форсированный режим наблюдается в 30% случаев;
3)недогруженный режим наблюдается в 10% случаев.
Вероятность безотказной работы прибора за время t для нормального режима равна 0,8, для форсированного – 0,5, для недогруженного – 0,9.
Требуется:
1)найти вероятность безотказной работы прибора за время t ;
2)прибор безотказно работал за время t . Найти вероятность того, что он работал в форсированном режиме.
Решение. Введем гипотезы:
Н1 – «прибор работал в нормальном режиме»;
Н2 – «прибор работал в форсированном режиме»;
Н3 – «прибор работал в недогруженном режиме»,
изапишем их вероятности:
Р(Н1) = 0,6; Р(Н2 ) = 0,3; Р(Н3 ) = 0,1. 101
Введем событие А – «прибор безотказно работал за время t ».
Известно, что Р( А
Н1) = 0,8, Р(А Н2 ) = 0,5, Р(А Н3 ) = 0,9.
Тогда имеем
3 |
|
|
|
|
|
|
|
Р( А) = ∑Р(Нk )Р(А Нk ) = 0,6 0,8 + 0,3 |
0,5 + 0,1 0,9 = 0,72; |
||||||
k=1 |
|
Р(Н2 )Р( А Н2 ) |
|
0,3 |
0,5 |
|
|
Р(H2 |
A)= |
= |
= 0,21. |
||||
Р( А) |
0,72 |
||||||
|
|
|
|
||||
10.1.2. Контрольные вопросы
1)Что называется случайным событием?
2)Какие события называются совместными и несовместными?
3)Какие события называются зависимыми и независимыми?
4)Дайте классическое определение вероятности.
5)Чему равны вероятности достоверного и невозможного событий?
6)Назовите действия над событиями.
7)Чему равна вероятность противоположного события?
8)Чему равна вероятность суммы событий?
9)Чему равна вероятность произведения событий?
10)Что такое полная вероятность?
11)Запишите формулу Байеса.
10.1.3.Практические задания
10.1.1.В денежно-вещевой лотерее на серию в 10000 билетов приходится 120 денежных и 80 вещевых выигрышей. Найти вероятности событий:
A – «получен денежный выигрыш», B – «получен вещевой выигрыш», C – «получен выигрыш вообще», D – «выигрыш не получен».
10.1.2.Найти вероятность того, что при бросании игрального кубика выпадет любая цифра, кроме цифры 5 .
10.1.3.В двух ящиках по 100 деталей. В первом ящике 5 бракованных деталей, во втором – 8 . Из каждого ящика наугад вынимают по одной детали. Найти вероятности событий:
A – «обе детали бракованные»,
B – «хотя бы одна деталь бракованная», 102
C – «только одна деталь бракованная»,
D– «ни одна деталь не бракованная»,
E– «хотя бы одна деталь не бракованная».
10.1.4.Машина состоит из трех блоков. Известна вероятность выхода из строя каждого блока: первого – 0,1; второго – 0,2 ; третьего – 0,4 . Найти вероятности
событий:
A – «вышли из строя три блока»,
B– «вышел из строя хотя бы один блок»,
C– «не вышел из строя ни один блок», D – «вышли из строя два блока».
10.1.5.В урне 5 белых и 2 черных шара. Из урны вынимают четыре шара. Найти вероятность того, что все вынутые шары – белые.
10.1.6.Для сдачи зачета студент должен знать ответ на 20 вопросов. Он знает ответы только на 15 вопросов. На зачете он получает два вопроса. Рассмотреть события:
A – «на первый вопрос студент знает ответ»,
B– «на второй вопрос студент знает ответ»,
C– «на оба вопроса студент знает ответ»,
D– «только на первый вопрос студент знает ответ»,
E– «ни на один вопрос студент не знает ответ»,
F– «хотя бы на один вопрос студент знает ответ».
Найти: P( A), P(B A), P(B A), P(C), P(D), P(E), P(F) .
10.1.7. В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов, 4 бегуна. Вероятность выполнить квалификационную норму такова: для лыжника– 0,9 ; для велосипедиста – 0,8 ; для бегуна – 0,75 . Найти: 1) вероятность того, что вы-
бранный наугад спортсмен выполнит норму; 2) вероятность того, что спортсмен – лыжник, если известно, что он выполнил норму.
10.1.8. В магазин поступают однотипные изделия с трех заводов, причем пер-
вый завод поставляет 50 % изделий, второй завод – 30 %, третий завод – 20 %. 103