1)построить ряд распределения случайной величины X ;
2)найти mx , Dx , σx ; 3) найти P{X ≥ 2}.
11.1.14.Производится испытание 50 приборов. Вероятность отказа каждого прибора при испытании равна 0,05 . Найти вероятность того, что при испыта-
нии: 1) откажут пять приборов; 2) откажет хотя бы один прибор.
11.1.15. Электростанция обслуживает сеть с 6000 лампочками, вероятность включения каждой из которых за время t равна 0,8 . Найти вероятность того,
что одновременно будут включены 4750 ламп.
11.1.16. Вероятность появления события A в 10 независимых испытаниях по схеме Бернулли равна p = 0,8 . Тогда дисперсия чисел появления этого события равна: 1) 8; 2) 0,08; 3) 0,16; 4)1,6. Найти правильный ответ, указать его номер.
Тема 12. Математическая статистика
12.1.Методы математической статистики
12.1.1.Типовые примеры
Пример 12.1.1. Проведено 20 измерений расстояния до некоторого объекта (в метрах). Результаты:
8, 11, 11, 7, 9, 12, 9, 10, 9, 11 10, 8, 10, 7, 13, 12, 8, 10, 10, 9.
Требуется:
1)составить статистический ряд и построить полигон частот;
2)составить группированный статистический ряд и построить гистограмму частот;
Решение. 1) Объем выборки равен n = 20, размах выборки m = 6 . Составим статистический ряд
ТАБЛИЦА 12.1.1
X |
7 |
8 |
9 |
|
10 |
11 |
12 |
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ni |
2 |
3 |
4 |
|
5 |
3 |
2 |
1 |
p |
0,1 |
0,15 |
0,2 |
|
0,25 |
0,15 |
0,1 |
0,05 |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
112 |
|
|
|
|
ипостроим полигон относительных частот (Рис. 12.1.1).
2)Составим группированный статистический ряд, разбив интервал
(6,5; 13,5), содержащий все элементы выборки, на три интервала. Для построе-
ния гистограммы (Рис. 12.1.2) найдём высоты f *i |
, i =1,2,…,k |
прямоугольни- |
||
ков, из которых она состоит. |
|
|
|
|
|
ТАБЛИЦА 12.1.2 |
|
|
|
X |
(6,5; 8,5) |
(8,5; 10,5) |
(10,5; 13,5) |
|
l i |
5 |
9 |
|
6 |
p*i |
0,25 |
0,45 |
0,3 |
|
f *i |
0,125 |
0,225 |
0,1 |
|
p *i |
|
f |
*i |
|
0,25 |
|
0,225 |
|
|
0,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,15 |
|
0,125 |
|
|
0,1 |
|
|
|
|
|
0,1 |
|
|
|
0,05
0 |
7 8 9 10 11 12 13 х |
0 6,5 8,5 10,5 |
13,5 x |
|
РИС. 12.1.1 |
РИС. 12.1.2 |
|
Пример 12.1.2. Для случайной величины, рассмотренной в предыдущем примере (Пример 12.1.1) найти точечные оценки: mx , Dx , σx .
Решение.
mx = 7 2 + 8 3 + 9 4 +10 5 +11 3 +12 2 +13 = 9,7 , 20
D = |
2 |
(7 − 9,7)2 + 3 (8 − 9,7)2 + 4 |
(9 − 9,7)2 + 5 |
(10 |
− 9,7)2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x |
|
19 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
+ |
|
3 (11 − 9,7)2 + 2 (12 − 9,7)2 |
+ (13 − 9,7)2 |
|
= 2,75 , |
|
|
|
19 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
113 |
|
|
|
|
|
|
σx = 2,75 =1,66 .
Пример 12.1.3. Для рассмотренной выше случайной величины (Пример 12.1.1) найти доверительный интервал для mx с доверительной вероятностью
β = 0,85 .
Решение. Так как mx = 9,7 , Dx = 2,61, n = 20, то
|
|
|
|
|
|
|
Dx |
|
= 0,13 , |
|
|
Dx |
|
= 0,36 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
По таблице функции Лапласа находим Φ−1 (0,85) =1,44 . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Тогда |
Dx |
Φ−1 (0,85)= 0,36 1,44 = 0,52 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Jε = (9,7 − 0,52 ; 9,7 + 0,52) |
|
Jε = (9,18 ;10,22) – |
|
|
|||||||||||||||||||
доверительный интервал для mx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Пример 12.1.4. В результате 25 испытаний сл.в. X приняла значения |
||||||||||||||||||||||||||
16, |
17, |
9, |
13, |
21, |
11, |
7, |
|
7, |
19, |
5, |
17, |
5, |
20, |
18, |
11, |
4, |
6, |
22, |
21, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
15, |
15, |
23, |
19, |
|
25, |
1. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Проверить гипотезу о нормальном законе распределения случайной вели- |
||||||||||||||||||||||||||
чины X по закону Пирсона с уровнем значимости α = 0,05 . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1. Найдем минимальное и максимальное значение сл.в. X : |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
xmin =1, |
xmax = 25. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Разобьем множество значений X на 5 интервалов равной длины |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
(0,5;5,5), (5,5;10.5), |
(10,5;15,5), |
|
(15,5;20,5), |
(20,5;25,5). |
|
|||||||||||||||||||
и построим группированный статистический ряд |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ТАБЛИЦА 12.1.3 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
li |
|
|
|
|
|
|
Zi |
|
|
|
|
Zi − mx |
|
1 |
|
|
(0,5;5,5) |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
− |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
||
2 |
|
|
(5,5;10,5) |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
−6 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
114 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
i |
X |
li |
Zi |
Zi − mx |
3 |
(10,5;15,5) |
5 |
13 |
− |
|
|
|
|
1 |
4 |
(15,5;20,5) |
7 |
18 |
4 |
|
|
|
|
|
5 |
(20,5;25,5) |
5 |
23 |
9 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
∑li |
25 |
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдем точечные оценки числовых характеристик:
mx = 3 4 + 8 4 +13 5 +18 7 + 23 5 =14 ; 25
Dx = (−11)2 4 + (−6)2 4 + (−1)2 5 + 42 7 + 92 5 = 47,92 ; 24
σx = 47,92 = 6,92 .
2.Вычислим теоретические частоты ni′ по формуле
ni′ = n2
Обозначим ai − mx
σx
Φ |
ai − mx |
− Φ |
ai−1 − mx |
|
= n |
ΔΦ . |
||||
|
|
|
||||||||
|
|
|
σx |
|
σx |
2 |
|
|||
= t |
, |
|
ai−1 − mx |
= t |
|
и составим таблицу |
||||
|
|
|
||||||||
i |
|
σx |
i−1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ТАБЛИЦА 12.1.4
i |
(ti−1, ti ) |
Φ(ti−1 ) |
Φ(ti ) |
Φ |
n ′ |
ni − ni′ |
|
(ni − ni′)2 |
|
ni′ |
|
||||||||
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
(−1,95; −1,23) |
−0,949 |
−0,781 |
0,168 |
2,10 |
1,90 |
|
1,72 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
(−1,23; − 0,51) |
−0,781 |
−0,390 |
0,391 |
4,89 |
−0,89 |
|
0,16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
(−0,51; 0,22) |
−0,390 |
0,174 |
0,564 |
7,05 |
−2,05 |
|
0,60 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
(0,22; 0,94) |
0,174 |
0,653 |
0,479 |
5,99 |
1,01 |
|
0,17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
(0,94;1,66) |
0,653 |
0,903 |
0,250 |
3,13 |
1,87 |
|
1,12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
23,16 |
|
|
3,77 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
115