1.3. Решение систем линейных алгебраических уравнений.

=

1,4

2,1

= −7,28 − 0,63 = −7,91,

0,3 −5,2

x =

0,7

2,1

= −3,64 −12,18 = −15,82,

5,8 − 5,2

y =

1,4

0,7

=8,12 − 0,21

= 7,91.

0,3

5,8

Найдем решение системы по формулам Крамера

x = −15,82

= 2, y =

7,91

= −1.

−7,91

−7,91

Решение. Вычислим четыре определителя

1 −1

1

4 −1

1

=

3

0 −1

= −5,

x =

5

0 −1

= −10,

1 − 3

2

7 − 3

2

1

4

1

1 −1

4

y =

3 5 −1

= 5,

z =

3 0 5

= −5.

1

7

2

1 − 3

7

Найдем решение системы по формулам Крамера

x =

−10

= 2,

y =

5

= −1,

z =

−5

=1.

−5

−5

−5

1 1 1

x

4

2 0 1

X =

9

A =

,

y

,

B =

.

−15

2 3 −2

z

и систему уравнений в матричной форме AX = B.

Найдем определитель матрицы A

A

=

1 1

1

= 9.

2 0

1

2 3 −2

Так как

A

≠ 0, то матрица невырожденная. Найдем обратную матрицу.

Вычислим алгебраические дополнения всех элементов матрицы A и со-

ставим из них матрицу A и ее транспонированную

3 6

6

3 5

1

A =

5 −4 −1

,

T

=

6 −4 1

A

.

1 1

−2

6 −1 −2

Запишем обратную матрицу в виде

1

5

1

3

5

1

3

9

9

1

A

−1

=

6 −4

1

=

2

−

4

1

.

9

3

9

9

6 −1

−2

2

−

1

−

2

9

9

Найдем решение системы

3

1

5

1

3 9 9

4

2

X = A

−1

B =

2

−

4 1

9

=

−3

,

3

9

9

−15

5

2 1 2

−

−

3

9

9

Следовательно, x = 2,

y = −3,

z = 5.

x − y − z = 2,

3x + 2 y + z = 5,

= 5.

2x + y + 2z

Решение. Составим расширенную матрицу

системы, добавив к основ-

A

ной матрице A столбец свободных членов. Затем с помощью элементарных

преобразований приведем матрицу

к треугольному виду

A

1 −1 −1

2 1 −1 −1

2 1 −1 −1

2

3 2 1

5

0 5 4

0 15 12

−3

A =

−1

~

2 1 2

5

0 3 4

1

0 15 20

5

1 −1 −1

2

1 −1 −1

2

0 15 12

−3

0 5 4

~

−1 = B .

0 0 8

8

0 0 1

1

Определим число решений системы. Для этого найдем ранг основной

матрицы rA = 3 , ранг расширенной матрицы

r

= 3 . Следовательно, система

A

x − y − z = 2,

x = 2,

5y + 4z = −1,

y = −1,

z =1.

z =1.