x3 |
|
0, |
1 1 |
|
3 |
3 |
,2 |
|
||
+ 4x − 2 = 0: |
|
, |
,1 |
, 1, |
|
или |
. |
|||
|
|
|
2 |
2 |
|
|
2 |
2 |
|
|
9.1.2. Проверить, какому из интервалов принадлежит корень уравнения
x3 |
|
0, |
1 1 |
|
3 |
3 |
,2 |
|
||
+ 5x − 2 = 0 : |
|
, |
,1 |
, 1, |
|
или |
. |
|||
|
|
|
2 |
2 |
|
|
2 |
2 |
|
|
9.1.3.Провести графически отделение корня уравнении x3 −12x +1 = 0 .
9.1.4.Запишите три итерации метода половинного деления при решении урав-
нения x2 −35.8 = 0 на отрезке [0,8].
Методом хорд решить с точностью до 0.01 уравнения
9.1.5. x4 |
+ 3x − 20 = 0 ; |
9.1.6. x3 |
− 2x − 5 = 0 ; |
9.1.7. x4 |
−3x +1 = 0 ; |
9.1.8. x2 |
+ 3x + 5 = 0 . |
Методом итераций решить с точностью до 0.01 уравнения |
|||
9.1.9. x3 |
−12x − 5 = 0 ; |
9.1.10. x2 − 2x2 − 4x − 7 = 0 . |
|
9.2. Примеры численного интегрирования
9.2.1. Типовые примеры
Пример 9.2.1. Вычислить по формулам прямоугольников интеграл
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I = ∫ |
xdx , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
разбив интервал интегрирования на 10 частей. Оценить погрешность. |
|
|||||||||||||||
|
Решение. Здесь y(x) = |
x . При n =10 имеем h = 2 −1 |
= 0.1. Точками раз- |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
биения отрезка являются точки xi =1 + (i −1)h , i = |
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||||
0,10 |
|
|
|
|||||||||||||
|
Найдем соответствующие значения yi = y(xi ) подынтегральной функции. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
xi |
|
1 |
1.1 |
1.2 |
|
1.3 |
1.4 |
1.5 |
1.6 |
1.7 |
|
1.8 |
1.9 |
2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
yi |
|
1.000 |
1.049 |
1.095 |
1.140 |
1.183 |
1.225 |
1.265 |
1.304 |
|
1.342 |
1.378 |
1.414 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Используя формулу левых прямоугольников, получим |
|
|
|
||||||||||||
94
I≈
≈0.1(1 +1.049+1.095+1.140 +1.183+1.225+1.265+1.304+1.342+1.378) ≈
≈1.1981.
|
|
|
Оценим погрешность. В данном случае |
′ |
|
1 |
на отрезке [1,2] дос- |
|||
|
|
|
|
x |
||||||
|
|
|
y (x) = 2 |
|||||||
тигает |
наибольшего значения, равного |
1 |
, при |
x =1. Таким образом, |
||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
′ |
|
≤ |
1 |
= M1 . Отсюда получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
y (x) |
|
2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Rn ≤ h2 (b − a)M1 = 02.1 1 12 = 0.0250 . Следовательно, I =1.1981 ± 0.0250 .
То есть 1.198 − 0.025 ≤ I ≤1.198 + 0.025 или 1.1731 ≤ I ≤1.2231.
По формуле правых прямоугольников найдем
I≈
≈0.1(1.049 +1.095 +1.140 +1.183 +1.225 +1.265 +1.304 +1.342 +1.378 +1.414) ≈
≈1.2395.
Тогда I =1.2395 ± 0.0250 или 1.2145 ≤ I ≤1.2645.
Вычислим для сравнения этот же интеграл по формуле НьютонаЛейбница:
2 |
2 |
x |
3 |
2 |
|
|
2 |
2 (2 2 −1)≈1.21895. |
|
||||||||
I = ∫ |
xdx = ∫x 12 dx = |
|
|
|
= |
|||
3 |
|
|
||||||
1 |
1 |
|
2 |
|
|
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|||||
Таким образом, истинное значение интеграла лежит в найденных интервалах. Пример 9.2.2. Вычислить тот же интеграл по формулам трапеций, приняв
n =10 . Оценить погрешность.
Решение. Используя вычисленные в предыдущем примере значения
функции, по формуле трапеций получим |
|
|
|||
|
|
|
I ≈ |
|
|
|
1 +1.414 |
+1.049+1.095+1.140 |
+1.183+1.225+1.265+1.304+1.342+1.378 |
|
≈ |
≈ 0.1 |
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
≈1.2188. |
|
|
|
|
|
|
95 |
|
|
Оценим погрешность. В данном случае |
|
|
′ |
|
|
|
|
1 |
|
на отрезке [1,2] |
||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
= |
− |
|
|
||||||||
|
|
y (x) |
|
x3 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
||
достигает наибольшего значения, равного M 2 |
= 1 , при x =1. Отсюда получим |
|||||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
R ≤ h2 (b − a)2 M |
2 |
= 0.01 1 1 = 0.0002 . |
|
|
|
|||||||||
n |
12 |
12 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Следовательно, I =1.2188 ± 0.0002 . То есть 1.2186 ≤ I ≤1.2190 . |
|
|||||||||||||
Нетрудно видеть, что истинное значение интеграла |
I =1.21895 |
лежит в |
||||||||||||
найденном интервале. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
Пример 9.2.3. Вычислить по формуле Симпсона интеграл I = ∫ |
1 + x2 dx |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
с точность ε = 0.001.
Решение. Используя вычисленные в предыдущем примере значения функции, по формуле трапеций получим
Учитывая, что погрешность метода Симпсона оценивается формулой
Rn ≤ h4 (b − a) f IV (x) , 180
определим, какой надо выбрать шаг для достижения заданной точности. Имеем
f (x) = |
1 + x |
2 |
|
′ |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
′′ |
|
|
1 |
|
|||||
|
, |
|
= |
|
|
|
|
|
, |
|
= |
|
|
|
, |
||||||||
|
f (x) |
|
|
|
|
|
f (x) |
(1 + x2 )3 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + x2 |
|
|
|
|
|
||||||
|
′′′ |
|
|
−3x |
|
|
|
|
|
f |
IV |
(x) = |
|
12x2 |
− 3 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||||
f (x) = |
|
|
|
|
|
|
|
(1 + x2 )7 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
(1 + x2 )5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Наибольшее значение max |
|
f IV (x) |
|
= 3 на отрезке [0,1] достигается в точке |
|||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||
x = 0 . Значит |
x [0,1] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R ≤ |
|
h4 |
1 3 = |
h4 |
. |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
n |
180 |
|
|
|
|
|
60 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
По условию задачи погрешность не должна превышать 0.001. Тогда
h4 ≤ 0.001 60
или
96
h ≤ 4 0.06 = 0.495 .
Приближенно можно принять h = 0.5 . Следовательно, для достижения нужной точности достаточно разбить интервал интегрирования пополам.
Вычислим значения подынтегральной функции f (x) = 1 + x2 в требуе-
мых точках
f (0) =1, f (0.5) =1.1180 , f (1) = 2 =1.4142.
Тогда
I ≈ 03.5 (1 + 4 1.1180 +1.4142) ≈1.1477 .
Округляя последний знак, получим I ≈1.148 .
9.2.2. Контрольные вопросы
1)Что такое численное интегрирование?
2)Запишите формулы левых и правых прямоугольников. По какой формуле оценивается погрешность этих формул?
3)Запишите формулу трапеций. По какой формуле оценивается погрешность этой формулы?
4)Запишите формулу Симпсона. По какой формуле оценивается погрешность этой формулы?
9.2.3. Практические задания
π/2 sin2 x
9.2.1. Вычислить по формуле трапеций ∫ 1 − dx , приняв n = 6 , оценить
0 |
2 |
|
|
погрешность. |
|
1 |
|
9.2.2. Вычислить по формуле трапеций ∫e−x2 dx с точностью ε = 0.01. |
|
0 |
|
2 |
|
9.2.3. Вычислить по формуле Симпсона ∫dx2 , приняв n =10 , оценить погреш- |
|
1 |
x |
|
|
ность. |
|
2 |
|
9.2.4. Вычислить по формуле Симпсона ∫ln x dx с точностью ε = 0.01. |
|
1 |
x |
|
|
97