- •МАТЕМАТИКА
- •ПЛАНЫ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ
- •ВВЕДЕНИЕ
- •Раздел. I. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
- •Тема 1. Линейная алгебра
- •1.1. Вычисление определителей
- •1.1.1. Типовые примеры
- •1.1.2. Контрольные вопросы
- •1.1.3. Практические задания
- •1.2. Действия над матрицами
- •1.2.1. Типовые примеры
- •1.2.2. Контрольные вопросы
- •1.2.3. Практические задания
- •1.3. Решение систем линейных алгебраических уравнений.
- •1.3.1. Типовые примеры
- •1.3.2. Контрольные вопросы
- •1.3.3. Практические задания
- •Тема 2. Векторная алгебра
- •2.1. Векторы. Линейные операции над векторами.
- •2.1.1. Типовые примеры
- •2.1.2. Контрольные вопросы
- •2.1.3. Практические задания
- •2.2. Произведения векторов
- •2.2.1. Типовые примеры
- •2.2.2. Контрольные вопросы
- •2.2.3. Практические задания
- •2.3. Комплексные числа
- •2.3.1. Типовые примеры
- •2.3.2. Контрольные вопросы
- •2.3.3. Практические задания
- •Тема 3. Аналитическая геометрия
- •3.1. Основные задачи аналитической геометрии
- •3.1.1. Типовые примеры
- •3.1.2. Контрольные вопросы
- •3.1.3. Практические задания
- •3.2. Кривые второго порядка
- •3.2.1. Типовые примеры
- •3.2.2. Контрольные вопросы
- •3.2.3. Практические задания
- •Раздел. II. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
- •Тема 4. Предел функции
- •4.1. Элементы теории множеств. Понятие функции
- •4.1.1. Типовые примеры
- •4.1.2. Контрольные вопросы
- •4.1.3. Практические задания
- •4.2. Теория пределов
- •4.2.1. Типовые примеры
- •4.2.2. Контрольные вопросы
- •4.2.3. Практические задания
- •4.3. Предел и непрерывность функции
- •4.3.1. Типовые примеры
- •4.3.2. Контрольные вопросы
- •4.3.3. Практические задания
- •Тема 5. Дифференциальное исчисление
- •5.1. Вычисление производных
- •5.1.1. Типовые примеры
- •5.1.2. Контрольные вопросы
- •5.1.3. Практические задания
- •5.2. Исследование функций на экстремумы и интервалы монотонности
- •5.2.1. Типовые примеры
- •5.2.2. Контрольные вопросы
- •5.2.3. Практические задания
- •5.3. Исследование функций двух переменных
- •5.3.1. Типовые примеры
- •5.3.2. Контрольные вопросы
- •5.3.3. Практические задания
- •Тема 6. Интегральное исчисление
- •6.1. Решение задач на нахождение неопределенных интегралов. Нахождение неопределенных интегралов различными методами
- •6.1.1. Типовые примеры
- •6.1.2. Контрольные вопросы
- •6.1.3. Практические задания
- •6.2. Вычисление определенных интегралов. Приложения определенного интеграла. Исследование сходимости несобственных интегралов
- •6.2.1. Типовые примеры
- •6.2.2. Контрольные вопросы
- •6.2.3. Практические задания
- •7.1. Сходимость знакоположительных рядов
- •7.1.1. Типовые примеры
- •7.1.2. Контрольные вопросы
- •7.1.3. Практические задания
- •7.2. Исследование сходимости знакочередующихся рядов
- •7.2.1. Типовые примеры
- •7.2.2. Контрольные вопросы
- •7.2.3. Практические задания
- •Тема 8. Функциональные ряды
- •8.1. Нахождение интервала и радиуса сходимости степенных рядов
- •8.1.1. Типовые примеры
- •8.1.2. Контрольные вопросы
- •8.1.3. Практические задания
- •Раздел. IV. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
- •Тема 9. Численные методы
- •9.1. Нахождение корней уравнений итерационным методом
- •9.1.1. Типовые примеры
- •9.1.2. Контрольные вопросы
- •9.1.3. Практические задания
- •9.2. Примеры численного интегрирования
- •9.2.1. Типовые примеры
- •9.2.2. Контрольные вопросы
- •9.2.3. Практические задания
- •9.3. Примеры численного интерполирования
- •9.3.1. Типовые примеры
- •9.3.2. Контрольные вопросы
- •9.3.3. Практические задания
- •Раздел. V. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
- •Тема 10. Случайные события
- •10.1. Задачи на вычисление классической вероятности и относительной частоты
- •10.1.1. Типовые примеры
- •10.1.2. Контрольные вопросы
- •10.1.3. Практические задания
- •Тема 11. Случайные величины
- •11.1. Законы распределения случайной величины
- •11.1.1. Типовые примеры
- •11.1.2. Контрольные вопросы
- •11.1.3. Практические задания
- •Тема 12. Математическая статистика
- •12.1. Методы математической статистики
- •12.1.1. Типовые примеры
- •12.1.2. Контрольные вопросы
- •12.1.3. Практические задания
- •РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
6.2. Вычисление определенных интегралов. Приложения определенного интеграла. Исследование сходимости несобственных интегралов
6.2.1. Типовые примеры
7
Пример 6.2.1. Вычислить интеграл ∫3 x +1dx .
0
Решение. Найдем первообразную функции 3 x +1 и вычислим интеграл
7 |
|
|
33 |
(x +1) |
4 |
|
7 |
|
3 |
|
|
|
|
|
45 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
∫ |
3 |
x +1dx = |
|
|
|
|
4 |
4 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
2 |
|
−1 |
|
= |
|
. |
||
|
|
4 |
|
|
|
4 |
|
4 |
||||||||
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 6.2.2. Вычислить интеграл ∫4 |
(1 − x)sin 2xdx . |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Применив формулу интегрирования по частям, получим
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u =1 − x |
|
dv = sin 2xdx |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
∫(1 − x)sin 2xdx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v = − |
cos 2x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
du = −dx |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
4 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
− |
|
4 |
− |
|
cos 2xdx |
= 0 |
+ |
cos0 − |
sin 2x |
4 |
= |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
= (1 − x) |
2 |
cos 2x |
|
∫ |
2 |
2 |
4 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
= |
1 |
− |
1 sin |
π |
= |
1 − |
1 = |
1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
4 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
4 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пример 6.2.3. Вычислить интеграл ∫ |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
x + |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4 |
xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
t |
2 |
2tdt |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||||||
|
|
|
dx = 2tdt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
=2 |
|
t |
|
|
− t |
+1 |
− |
|
|
|
dt = |
||||||||||
∫0 x + |
|
|
t = 0 |
∫0 |
|
t |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
1 |
x = 0 |
|
|
|
|
|
∫0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t +1 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
t = 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
x = 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
t3 |
t |
2 |
+ t − ln |
|
t +1 |
|
|
|
2 |
=2 |
|
8 |
− |
2 + |
|
|
|
|
|
|
|
= 2 |
|
8 |
− ln3 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
= 2 |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 − ln3 |
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
74
Пример 6.2.4. Найти площадь криволинейной трапеции D , ограниченной
параболой y = 4x − x2 и осью абсцисс y = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение. Построим область |
D (рис. 6.2.1). Найдем y |
|
|
|
|||||
точки пересечения параболы с осью Ox |
|
|
|
|
|
|
|
||
4x − x2 = 0 x(4 − x) x1 = 0, |
|
|
|
0 |
|
D |
|
||
|
|
|
|
|
4 x |
||||
|
x2 = 4. |
|
|
|
|
РИС. 6.2.1 |
|||
Ветви параболы смотрят вниз. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Получили криволинейную трапецию с основанием [0,4], ограниченную |
|||||||||
кривой y = 4x − x2 , y ≥ 0 при x [0,4]. Вычислим ее площадь |
|
|
|
||||||
S = ∫4 (4x − x2 )dx = 2x2 − |
x3 |
|
|
4 = |
32 (кв.ед.). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
||||||
0 |
3 |
|
|
0 |
3 |
|
|
|
|
Пример 6.2.5. Вычислить площадь фигуры |
D , ограниченной параболой |
y = x2 − 2 и прямой y = −x .
Решение. Построим фигуру D (рис. 6.2.2). Найдем абсциссы точек пересечения параболы и прямой. Для этого решим систему уравнений
y = x2 − 2,
y = −x.
Получим
x2 − 2 = −x x2 + x − 2 = 0x1 = −2, x2 =1.
y |
y = x2 |
− 2 |
|
–2 |
y = −x |
x |
|
||
|
–2 |
|
|
РИС. 6.2.2 |
|
|
|
Пределы интегрирования найдены. Это |
a = −2 |
и b =1. Верхняя кривая: |
||||||||||
y |
2 |
(x)= −x , а нижняя – y |
(x)= x2 |
− 2 . Найдем площадь фигуры D . |
||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
x2 |
|
x3 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
S = ∫ −x |
− x |
|
+ 2 dx = − |
|
− |
|
+ |
2x |
|
= |
||
|
|
|
2 |
3 |
||||||||||
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 − |
1 + 2 + 2 − 8 |
|
|
|
1 (кв.ед.) |
|||||||
|
|
= − |
+ 4 = 4 |
|||||||||||
|
|
|
2 |
3 |
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
75 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 6.2.6. Найти объем тела, полученного от вращения вокруг оси
Ox фигуры, ограниченной графиками функций y = x, y = x2 .
Решение. Построим чертеж (рис. 6.2.3) и найдем абсциссы точек пересечения кривых:
|
x |
|
|
y = |
x = x2 |
|
|
|
|
||
y = x2 |
|
|
|
|
|
|
|
x = x4 x(1 − x3 )= 0 x1 = 0, x2 =1.
Найдем объем полученного тела вращения:
y |
y = x2 |
|
y = |
x |
0 |
1 |
x |
|
РИС. 6.2.3 |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
x |
5 |
|
|
|
1 |
|
|
|
3 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
V = π∫ ( |
|
x ) |
|
− (x2 ) |
|
dx |
= π∫(x − x4 )dx = π |
|
|
− |
|
|
|
|
|
= |
π. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
2 |
|
|
∞ |
5 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
||||
Пример 6.2.7. Вычислить несобственный интеграл ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||||||||||||||||||||
(1 |
− x) |
3 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
dx |
|
|
|
∞ |
(1 − x)−3 d (1 − x)= −(1 |
− x) |
−2 |
|
|
∞ = |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
∞ = |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
∫ |
|
= −∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
(1 − x) |
3 |
−2 |
|
|
|
|
2(1 − x) |
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
1 |
− 1 = 0 |
− |
1 |
= −1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
− x)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
x→∞ 2(1 |
8 |
|
8 |
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Интеграл сходится и его значение равно |
− |
1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.2.2. Контрольные вопросы
1)Сформулируйте определение определенного интеграла.
2)Перечислите свойства определенного интеграла.
3)Запишите формулу Ньютона-Лейбница.
4)Какой вид имеет формула интегрирования по частям для определенного интеграла?
5)Запишите формулу замены переменной в определенном интеграле.
6)Что называется криволинейной трапецией?
7)Чему равна площадь криволинейной трапеции?
8)Как найти площадь произвольной фигуры D ?
76
9) Запишите формулу для вычисления объема тела, полученного от вращения криволинейной трапеции D : y = 0 , x = a , x = b , y = y(x) вокруг оси
Ox .
10) Запишите формулу для вычисления объема тела, полученного от враще- |
||||
ния плоской |
фигуры |
D : |
x = a, x = b, y = y1 |
(x), y = y2 (x), |
y1 (x)≤ y2 (x), |
x [a,b] вокруг оси Ox . |
|
11)Сформулируйте определение несобственного интеграла с бесконечным верхним пределом интегрирования.
12)Какой вид имеет формула Ньютона-Лейбница для вычисления несобственного интеграла?
6.2.3.Практические задания
6.2.1.Вычислить определенный интеграл, используя формулу Ньютона – Лейб-
ница:
2 |
(3x2 − x +1)dx ; |
4 |
( x + x x )dx ; |
2 |
5dx |
|
|
|||
а) ∫ |
б) ∫ |
в) ∫ |
|
; |
||||||
2x + |
3 |
|||||||||
−1 |
|
|
|
0 |
|
−1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
3 |
|
dx |
|
π |
|
π |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
4 |
|
|
|
|||
г) ∫1 |
|
|
; |
д) ∫sin5xdx ; |
е) ∫sin2 xdx . |
|||||
|
x2 +1 |
|||||||||
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
6.2.2. Вычислить определенный интеграл, используя формулу интегрирования по частям:
|
π |
|
|
|
π |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
∫2 xcos xdx ; |
б) ∫2 (x + 3)sin xdx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
а) |
в) ∫( |
3x + 2)e−xdx ; |
г) ∫ln |
(x +1)dx . |
||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6.2.3. Вычислить определенный интеграл: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
π |
sin xdx |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
x |
|
|
|
e3 |
|
|
|
|
|
|||
а) |
∫ |
; |
б) ∫(ex −1)4exdx ; |
в) |
∫ |
|
|
|
|
dx ; |
г) |
|
|
|
dx |
|
; |
|||||
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
(x |
∫1 |
x |
|
|
|||||||||||||||
|
0 cos x + 3 |
|
0 |
|
0 |
|
+1) |
|
|
|
1 + ln x |
|||||||||||
|
2 |
dx |
|
|
π |
|
1 |
|
ex |
|
|
|
|
−1 |
|
dx |
|
|
|
|||
д) |
∫ |
; |
|
е) ∫x3 sin xdx ; |
ж) |
∫ |
|
dx ; |
з) ∫ |
|
|
. |
||||||||||
3 |
|
|
2x |
(11 + 5x) |
3 |
|||||||||||||||||
|
1 |
x + x |
|
0 |
|
0 1 + e |
|
|
|
−2 |
|
|
|
77
6.2.4. Вычислить определенные интегралы методом замены переменной:
9 |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
xdx |
|
|
|
1 |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
а) ∫ |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
б) ∫ |
|
|
; |
|
в) ∫ |
|
|
|
; |
|
||||||
|
|
x − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + |
|
|
|
||||||||||
4 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
1 + x |
|
0 |
|
x |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
63 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
ln 2 |
|
|
|
|
3 cos xdx |
|
|
|||||||||||
г) ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
д) ∫ ex −1dx ; |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е) ∫ |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|||||||||
|
x +1( |
3 |
x |
+ |
1 + 4) |
|
|
|
sin |
2 |
x |
|
||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
64 |
|
3 xdx |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
dx |
|
2 |
(x +1)dx |
|
||||||||||||
ж) ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
з) ∫ |
|
|
|
|
; |
и) ∫ |
|
|
|
|
|
. |
|||||
x( x + 9 |
3 |
|
|
|
x +1(x −8) |
x + |
7 |
|||||||||||||||||||||
1 |
|
|
x) |
|
0 |
|
|
|
−6 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.2.5. Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями:
а) y = x2 , |
y = 0, x = 2 ; |
б) y = 3 , |
y = 0, x =1, x = 2; |
|
|
|
|
x |
|
в) y = x3 , y = 0, x = −1, x =1; |
г) y = x2 − 6x, y = 0; |
|||
д) y = x, xy =1, |
y = 0, x = 2; |
е) y = ln x, |
y = 0, y =1, x = 0 . |
|
6.2.6. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: |
||||
а) y = x2 , y = 4 ; |
|
б) y = x2 , y = 2x + 3; |
||
в) y = −x2 + 9, y = x + 7 ; |
г) y = ex , y = e−x , x =1; |
|||
д) y = x, |
y = 1 , |
x = 2 ; |
е) y = x2 , |
y = x . |
|
x |
|
|
|
6.2.7. Найти объем тела, полученного от вращения вокруг оси Ox криволинейной трапеции D , ограниченной линиями:
а) y = x2 , y = 0, x = 3; |
б) y = e2x , |
y = 0, x =1, x = 2 ; |
|
в) y = 2x − x2 , y = 0 ; |
г) y = sin x, |
|
y = 0, 0 ≤ x ≤ π; |
д) xy = 2, y = 0, x =1, x = 3; |
е) y = x, y = |
1 , y = 0, x = 3. |
|
|
|
|
x |
78
6.2.8. Найти объем тела, полученного от вращения вокруг оси Ox плоской фигуры D , ограниченной линиями:
а) |
y = x2 , y = x + 2 ; |
б) y = x2 +1, y = 3x −1; |
в) |
y = x2 , y =8 − x2 ; |
г) y2 = 4x, x =1. |
6.2.9. Вычислить несобственные интегралы с бесконечным верхним пределом интегрирования и установить их сходимость или расходимость:
∞ |
|
|
|
|
|
∞ |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|||
а) ∫dx2 ; |
|
|
|
б) ∫ |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
в) ∫ |
|
|
|
; |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
+ x |
2 |
|
|
|
|
||||||||||
1 |
x |
|
|
|
0 |
|
x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
∞ |
dx |
|
|
|
|
∞ |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
dx |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
д) ∫ |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
г) ∫ |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е) ∫ |
. |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
( |
|
) |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
1 + 3x |
|
|
x − |
|
|
|
|
xln x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
6.2.10. Вычислить несобственные интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
∞ |
3 |
|
∞ arctg xdx |
|
|
|
|
|
∞ |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
∞ |
dx |
|
|
|||||||||
а) ∫x2e−x |
dx ; |
б) ∫ |
|
|
2 |
|
; |
|
|
|
|
в) ∫ |
|
|
|
|
; |
|
|
г) ∫ |
|
|
|
. |
||||||
1 |
+ x |
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
+ x |
|
xln |
2 |
|
||||||||||||||||
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
x |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
6.2.11. Исследовать на сходимость интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) ∫dxk ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) ∫ |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(ln x) |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
79