1.2. Статистические критерии согласия

В результате наблюдений получено эмпирическое распределение величины Хс частотами. В результате выбора закона определены теоретические частоты(k– число значений или частичных интервалов).

а) Критерий согласия Пирсона

За меру расхождения частот принимают величину:

(1.2.1)

По уровню значимости = 0,05 (0,1; 0,01) и числу степеней свободыв таблице Пирсона (приложение А) находят. Если, то гипотеза о законе не отвергается, он может быть использован. Если же, то гипотеза о рассматриваемом законе распределения отвергается.

б) Критерий согласия Колмогорова

По вариационному ряду составляют эмпирическую функцию распределения . Выбрав закон, формируют теоретическую функцию, определяют максимальное отличиеи получают характеристику Колмогорова

. (1.2.2)

Пользуясь специальными таблицами (приложение Б), находят вероятность . Если эта вероятность меньше 0,01, то гипотезу о выбранном законе распределения отвергают. Если вероятность больше (или равна) 0,01, то расхождения между эмпирической и теоретической функциями признают несущественными, а гипотезу о выбранном законе распределения вполне согласованной с экспериментом.

Замечание.Если0,29, то вероятность равна единице.

в) Критерий согласия Ястремского

Известный статистик Б.С.Ястремский доказал, что меру близости теоретического и фактического распределений можно характеризовать величиной

, (1.2.3)

где ,,– теоретическая вероятность того, что случайная величинаХ примет значение ;k – число групп; при.

• Если , то расхождение между теоретическим и фактическим распределениями несущественно.

• Если , то это расхождение существенно и его невозможно объяснить влиянием случайных факторов, поэтому теоретический закон распределения следует отклонить.

Г) Критерий согласия Романовского

Этот критерий используется для оценки степени приближения эмпирического распределения к теоретическому. Он тесным образом связан с критерием согласия Пирсона и состоит в том, что вычисляют величину

, (1.2.3)

где ,q – число степеней свободы, .

Если , то это означает, что результаты испытаний не противоречат гипотезе о законе распределения. В противном случае гипотеза отвергается.

Критерий В.И.Романовского является хорошим дополнением к критерию Пирсона.

1.3. Построение закона Пуассона

Этот закон используется во многих процессах, и в частности, в описании потока клиентов (заявок, требований) в системах массового обслуживания. Он описывает дискретные случайные величины, т.е. величины, которые могут принимать отдельные изолированные значения из некоторого интервала.

Предположим, что в результате наблюдений за случайной величиной получен дискретный вариационный ряд:

				…
				…

где – значения случайной величины,

– частота соответствующих,.

Если предположить, что случайная величина, подчиняется закону Пуассона, то вероятности каждого значения должны определяться по формуле

, (1.3.1)

где – параметр закона, совпадающий с математическим ожиданием:

.

Другими словами, чтобы сформировать закон, необходимо вычислить по опытным значениям математическое ожидание и подставить в формулу (1.3.1).

Определяя для каждого значения вероятность, находят соответствующие теоретические частоты:

.

Пример 1.1. Было проведено 200 наблюдений (каждое длилось 2 мин.), в результате отмечалось следующее распределение покупателей:

	0	1	2	3	4	5	6	7
	41	62	45	22	16	8	4	2

Проверить, можно ли описать этот поток с помощью закона Пуассона (является ли он простейшим)?

Решение. Определим среднее число заявок (клиентов):

.

Сформируем функцию вероятностей Пуассона по формуле (1.3.1):

.

а) Проверим по критерию Пирсона, подходит ли этот закон. Для этого каждому значению поставим в соответствие вероятность, определими рассчитаем:

,,и т.д.

Все расчеты проведем в таблице 1.1.

Таблица 1.1

Проверка закона Пуассона по критерию Пирсона

0	41	0,1653	33	64	1,939
1	62	0,2975	60	4	0,067
2	45	0,2678	54	81	1,500
3	22	0,1607	32	100	3,125
4	16	0,0723	14	4	0,286
5	8	0,0260	5	9	1,800
6	4	0,0078	2	4	2,000
7	2	0,0026	0	4	2,000
	200	1,0000	-	-	12,72

Замечание.

Последнее значение равно нулю. Так как мы избегаем деления на ноль, то в этом случае разделим на.

Имеем,,. По таблицам Пирсона (приложение А) находим. В результате.

Вывод: расчетное и критическое значения достаточно близки, т.к. расчетное значениевсе же больше критического, то возможность применения закона сомнительна.

б) Проверим по критерию Колмогорова. Предварительно найдем фактические () и теоретические вероятности (), затем сформируем эмпирическую () и теоретическую (F) функции распределения (таблица 1.2) и найдем их разности.

Таблица 1.2

Проверка закона Пуассона по критерию Колмогорова

0	0,205	0	0,165	0	0
1	0,31	0,205	0,298	0,165	0,04
2	0,225	0,515	0,268	0,463	0,052
3	0,11	0,74	0,161	0,731	0,009
4	0,08	0,85	0,072	0,892	0,042
5	0,04	0,93	0,026	0,964	0,034
6	0,02	0,97	0,007	0,99	0,02
7	0,01	0,99	0,003	0,997	0,007
	-	1	-	1	-

По формуле (1.2.2) рассчитаем характеристику Колмогорова

.

Вывод:вероятность=1, по данному критерию использование закона вполне допустимо.

в) Оценим закон Пуассона по критерию Ястремского. Для нахождения величины Q, для чего построим вспомогательную расчетную таблицу 1.3.

Таблица 1.3

Вспомогательная расчетная таблица

41	33	0,165	0,835	2,323
62	60	0,298	0,702	0,095
45	54	0,268	0,732	2,049
22	32	0,161	0,839	3,725
16	14	0,072	0,928	0,308
8	5	0,026	0,974	1,848
4	2	0,007	0,993	2,014
2	0	0,003	0,997	2,006
				14,368

Таким образом, Q=14,368. Посколькуk= 8,Z= 0,6, то по формуле (1.2.3) имеем:

А =.

Вывод:посколькуА< 3, то по этому критерию гипотеза о законе принимается.

г) Проверим пригодность закона Пуассона по критерию согласия Романовского.

Поскольку = 12,72,q = 8 – 2 = 6, то по формуле (1.2.3) имеем

.

Вывод:величинаменьше 3 – значит, в соответствии с этим критерием гипотеза о законе Пуассона не отвергается.

Замечание.

В данном примере оказалось, что по трем критериям согласия из четырех закон Пуассона не отвергается. Следовательно, общий вывод состоит в возможности применения закона Пуассона к данному ряду.