Курс теоретичної механіки 2007 (Укр)
.pdf
Доказ. Доказ проведемо для випадку наявності в тіла площини матеріальної симетрії Π (в інших випадках доказ проводиться аналогічно). Тому що центр ваги тіла не змінює свого положення відносно тіла при всіляких його поворотах, то
|
можна вважати, що площина симетрії тіла |
|||
|
вертикальна (мал.47). Розбивку тіла на |
|||
|
елементарні маси зробимо симетрично відносно |
|||
|
площини Π, тобто так, щоб |
кожній |
елемен- |
|
|
тарній масі з вагою |
Рk |
з однієї |
сторони |
|
площини П відповідала |
симетрично |
розташо- |
|
|
вана стосовно неї така ж маса з іншої |
сторони |
||
|
площини. Тоді рівнодіюча двох ваг Рk буде |
|||
|
знаходитися в площині симетрії. Таким чином, |
|||
Мал.47 |
система паралельних сил ваги елементарних |
|||
|
мас тіла еквівалентна плоскій системі паралель- |
|||
них сил, розташованих у площині симетрії. Отже, рівнодіюча сил ваги елементарних мас тіла буде лежати в площині симетрії, і виходить, там же буде знаходитися і центр ваги тіла.
Наслідок. Цетр ваги кулі знаходиться в його центрі, а центр ваги паралелепіпеда – у точці перетинання його діагоналей.
§6. Методи визначення положення центра ваги
1.Метод еквівалентних точок.
Нехай розглянуте тіло складається з декількох тіл простої форми, положення центра ваги яких легко визначається (наприклад, з паралелепіпедів, мал. 48).Використовуючи властивість 1 статичних моментів можемо записати
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
S yz = ∑S yz(k) |
(48) |
|
|
|
|
k=1 |
|
|
де |
S |
(k) |
- статичні моменти |
|
|
|
|
yz |
|
|
Мал.48 |
кожного з тіл. Використовую- |
||||
|
чи |
|
властивість 2 |
статичних |
|
момен тів, одержуємо
51
S |
(k) = P x |
k |
(k =1,2,.., m) . |
(49) |
|
|
yz |
k |
|
|
|
Тут Pk – вага кожного з тіл, а хk – координата його центра тяжіння. Підставляючи (49) у (48) (а також аналогічні формули для інших статичних моментів), а потім у (46) , знаходимо
|
|
m |
|
|
|
m |
|
|
|
m |
|
|
|
|
∑Pk xk |
|
|
|
∑Pk yk |
|
|
|
∑Pk zk |
|
|
xc |
= |
k=1 |
, |
yc |
= |
k=1 |
, |
zc |
= |
k=1 |
. |
(50) |
m |
m |
m |
||||||||||
|
|
∑Pk |
|
|
|
∑Pk |
|
|
|
∑Pk |
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
k=1 |
|
|
|
k=1 |
|
|
Ці формули збігаються з (44), однак у них m << n, тому що m невелико, а п повинно великим для досягнення потрібного ступеня точності визначення положення центра ваги.
Формули (50) залишаться незмінними, якщо вихідне тіло замінити системою важких точок, розташованих у центрах ваги тіл, що складають це тіло, і маючих ваги, співпадаючі з вагами відповідних тіл. Ці точки називаються еквівалентними, відкіля і бере назву метод.
2.Метод негативних ваг.
Цей метод використовується при знаходженні центра ваги тіл, що мають порожнини отвори (мал.49). Уявно доповнюємо тіло до суцільного і вважаємо його першим складовим тілом, а тіла, що заповнюють порожнечі, вважаємо тими, що мають негативні ваги. Після цього використовується метод еквівалентних точок.
Мал.49
52
Ч А С Т И Н А II. К І Н Е М А Т И К А
_____________________________________________________________
Г Л А В А I
КІНЕМАТИКА ТОЧКИ
§ 1. Вектор-функція, її годограф і похідна
Вектор-функцією и(t) скалярного аргументу t називається така функція, що кожному значенню цього аргументу ставить у відповідність один, цілком визначений за напрямком і величиною, вектор.
Годографом вектор-функції називається лінія, що описує кінець вектор-функції при неперервній зміні аргументу, якщо початок цієї функції фіксовано.
Збільшенням и вектор-
функції називається вектор и = u(t+ t) – u(t),
спрямований уздовж січної
Мал.1 ММ1 до годографа (мал.1). Уздовж цієї січної спрямований
також вектор u . t
Границя, до якої прагне відношення u при t→0, називається t
похідної вектор-функції (геометричної похідної) и(t) за аргументом t, тобто
|
du |
= lim |
u |
= lim |
u(t + |
t) − u(t) |
. |
(1) |
||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
dt |
t→0 |
t |
t→0 |
t |
|
||||
|
|
|
|
|||||||
Оскільки при t→0 вектор |
и = MM1 також прагне до нуля, то січна |
|||||||||
в границі займе положення дотичної до годографа. Тоді з (1) випливає, що
53
похідна |
du |
вектора-функції |
|
и(t) спрямована уздовж дотичної до |
||||||
|
||||||||||
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|||
годографа. |
|
|
|
|
|
|
||||
Властивості похідної вектора-функції. |
|
|||||||||
1. Похідна постійної |
за величиною |
і напрямком вектор-- |
||||||||
функції дорівнює 0. |
|
|
|
|
|
|
||||
2. Похідна суми вектор-функцій дорівнює сумі їх похідних: |
||||||||||
|
|
|
d(u + v) |
= |
du |
+ |
dv |
. |
(2) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
dt |
|
dt dt |
|
||||
3. Похідні добутка скалярної функції λ(t) на векторфункцію u(t), а також похідні скалярних і векторних добутків двох вектор-функцій u(t) u v(t) визначаються за наступними
формулами:
d(λu) |
|
= λ |
|
du |
+ |
dλ |
u, |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
dt |
|
|
|
dt |
|
|
dt |
|
||||||||
d(u, v) |
= ( |
du |
, v) + (u, |
dv |
), |
(3) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
dt |
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
dt |
|
|||||
d[u, v] |
= [ |
du |
, v]+[u, |
dv |
]. |
|
||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
dt |
|
|
|
dt |
|
|
|
|
dt |
|
||||||
4. Проекція похідної вектор-функції на яку або вісь дорівнює похідної проекції вектор-функції на цю вісь:
прz |
du |
= |
d |
прz u . |
(4) |
|
|
||||
|
dt dt |
|
|||
Перші три властивості аналогічні відповідним властивостям похідних скалярних функцій і їхні докази проводяться так само. Тому приведемо тільки доказ четвертої властивості.
Представимо вектор-функцію u(t) у наступному виді:
u(t) = ux(t)i +uy(t)j +uz(t)k. |
(5) |
Тут ux(t), uy(t) і uz(t) – проекції вектор-функції u(t) на осі координат, а i, j і k – орти цих осей, тобто постійні вектори.
Диференціюючи (5) по t і використовуючи властивості 1 - 3, будемо мати
du |
= |
du |
x |
i + |
du y |
j + |
du |
z |
k . |
(6) |
|
|
|
|
|
|
|||||
dt |
|
dt |
dt |
|
dt |
|
||||
54
Спроектувавши тепер (6) на вісь z, одержимо (4).
§ 2. Способи завдання руху точки
Рух точки вважається заданим, якщо виходячи з заданих величин і співвідношень між ними, можна визначити положення точки в будь-який момент часу.
Координатний спосіб.
При координатному способі завдання руху точки задаються:
1.система координат (як правило прямокутна),
2.координати точки як функції часу:
x = f1 ( t ) , y = f2 ( t ) , z = f3 ( t ). |
(7) |
Рівняння (7) називаються
рівняннями руху точки.
Неважко переконатися, що при цьому можна визначити положення точки в будь-який момент часу t1 .
Дійсно, підставляючи t1 у
функції f1 ( t ) , f2 ( t ) і f3 ( t ), одержуємо значення координат
точки, що однозначно визначають її положення.
Мал.2
Траєкторією називається лінія, що описує точка в процесі руху.
Помітимо, що рівняння (7) є рівняннями траєкторії точки в параметричній формі. Для знаходження рівнянь траєкторії точки в
аналітичній формі необхідно виключити параметр t з рівнянь руху
(7).
Натуральний спосіб.
Натуральною координатою s точки М на кривій називається
довжина відрізка дуги кривої між початком відліку О и цією точкою, узята з відповідним знаком (мал.3, на цьому малюнку s > 0).
55
|
При натуральному способі завдання |
||
|
руху точки задаються: |
||
|
1. |
траєкторія точки, |
|
|
2. |
початок |
відліку натуральної |
|
|
координати на траєкторії, |
|
|
3. |
додатній |
напрямок відліку |
|
|
натуральної координати, |
|
Мал.3 |
4. |
закон руху точки завздовж |
|
|
|
траєкторії у формі залежне- |
|
сти натуральної координати від часу: |
|
||
|
s = f ( t ) |
(8) |
|
Положення точки однозначно визначається в будь-який обраний момент часу t1. Дійсно, підставляючи значення t1 у функцію f(t) одержуємо цілком визначене число з визначеним знаком. Відкладаючи відповідне число одиниць довжини від початку відліку О уздовж траєкторії в напрямку, обумовленим знаком f(t1), одержуємо положення точки на траєкторії.
Векторний спосіб.
При векторному способі завдання руху задаються:
1)нерухомий центр (полюс),
2)радіус-вектор точки, що рухається, як вектор-функція
часу:
r = r ( t ). |
(9) |
Нагадаємо, що радіусом-вектором
точки називається вектор, що з'єднує
полюс з цією точкою.
Неважко переконатися, що положення точки в будь-який момент часу визначено. Дійсно, підставивши в (9) будь-який обраний момент часу t1 , одержимо цілком визначений вектор r, відкладаючи який від точки О, одержимо положення точки в цей момент часу.
Мал.4
56
§ 3. Швидкість точки
Вектором переміщення точки за проміжок часу від моменту часу t до моменту часу t+ t називається вектор, що з'єднує два
положення точки М − в початку і наприкінці цього проміжку часу
(мал.5).
Середньою швидкістю точки за проміжок часу t називається
вектор, який дорівнює відношенню вектора переміщення до тривалості проміжку:
|
V |
|
= |
MM1 |
. |
(10) |
|
cp |
|
||||
|
|
|
t |
|
||
|
|
|
|
|
||
Мал.5 |
Цей вектор спрямований уздовж січної |
|||||
|
ММ1. |
|
|
|
|
|
Швидкістю точки в даний момент часу називається границя
середньої швидкості точки при прагненні до нуля проміжку часу t, тобто
|
V = lim V |
|
= lim |
MM1 |
. |
(11) |
|
cp |
|
||||
|
t→0 |
t→0 |
t |
|
||
|
|
|
||||
Оскільки граничним положенням |
січної ММ1 при |
t→0 ( тобто |
||||
при |
|ММ1|→0) є дотична |
τ, то |
вектор швидкості точки V |
|||
спрямований увздовж дотичної до траєкторії точки
§ 4. Прискорення точки
. Збільшенням швидкості точки за проміжок часу t називається різниця двох швидкостей точки – V1 (наприкінці
проміжку) і V (на початку проміжку):
V = V1 – V. |
|
|
|
Середнім |
прискоренням |
||
точки за проміжок |
часу |
t |
|
називається вектор, який до- |
|
||
рівнює відношенню |
вектора |
||
збільшення |
швидкості точки |
||
до тривалості проміжку:
Мал.6
57
a = |
V |
. |
(12) |
cp |
t |
|
Прискоренням точки в даний момент часу називається границя, до якого прагне середнє прискорення при прагненні до нуля проміжку часу:
a = lim a |
cp |
= lim |
V . |
(13) |
t→0 |
t→0 |
t |
|
|
|
|
З визначення геометричної похідної випливає (див.(1)):
a = |
dV |
, |
(14) |
|
|||
|
dt |
|
|
тобто
прискорення точки дорівнює геометричної похідної швидкості точки за часом.
§ 5. Визначення швидкості і прискорення точки при векторному способі завдання руху
Нехай положення М точки, що рухається, у момент часу t визначається радіус-вектором r(t), а положення її М1 у момент часу t1= t+Δt – радіус-вектором r1 = r(t+ t) (мал.7). Тоді вектор
переміщення ММ1 = r(t+ t) – r(t) = |
r. Середня швидкість |
за промі- |
|||||||||
жок часу t: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
= |
MM1 |
= |
r . |
(15) |
|||
|
|
cp |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
t |
t |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Переходячи в (15) до границі при |
||||||||||
|
t→0 і з огляду на (11), одержуємо |
||||||||||
|
|
V = lim |
r = |
dr |
. |
(16) |
|||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
t→0 |
t |
dt |
|
||||
Мал.7 |
|
Таким чином, швидкість точ - |
|||||||||
|
ки |
дорівнює |
геометричної |
||||||||
похідної радіус-вектора точки за часом.
Нескінченно малий вектор dr, спрямований вздовж дотичній до траєкторії точки і дорівнює добутку швидкості V на dt:
dr = V dt,
називається елементарним переміщенням точки.
58
Підставивши (16) у (14), будемо мати
a = |
d 2 r |
, |
(17) |
|
|
||||
|
dt |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
тобто прискорення точки дорівнює другої геометричної похідної
радіус-вектора точки за часом.
§ 6. Визначення швидкості і прискорення точки при координатному способі завдання руху
Спроектуємо рівність (16) на осі координат і скористаємося співвідношеннями
x = прx r, y = пру r, z = прz r
(r – радіус-вектор точки М, х,у,z – її координати), а також властивістю 4 похідної вектор-функції. У результаті одержимо
Vx = x, Vy = y, Vz = z, |
(18) |
||
& |
& |
& |
|
(Vx = прx V, Vy = пру V, Vz = прz V, точка означає диференціювання за часом), тобто
проекції швидкості точки на осі координат дорівнюють похідним
відповідних координат точки за часом.
Абсолютна величина швидкості визначається за формулою
V = |
2 |
2 |
2 |
= |
& 2 |
& 2 |
& |
2 |
, |
(19) |
Vx |
+Vy |
+Vz |
x |
+ y |
+ z |
|
а напрямок визначається направляючими косинусами
cos(x,V ) = |
Vx |
= |
|
|
|
|
x& |
|
|
|
|
, |
||||||
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
& 2 |
& 2 |
& 2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
+ y |
+ z |
||||||
|
|
V |
y |
|
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
cos(y,V ) = |
|
|
= |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
, |
|||||
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
& 2 |
& 2 |
& 2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
+ y |
+ z |
||||||
cos(z,V ) = |
Vz |
|
= |
|
|
|
|
z& |
|
|
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
V |
& 2 |
& 2 |
& 2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
+ y |
+ z |
||||||
59
Аналогічно, проектуючи рівність (14) на осі координат, будемо мати
ax |
& |
= x, ay |
& |
|
& |
= z , |
(20) |
= Vx |
= Vy |
= y, az = Vz |
|||||
|
|
&& |
|
&& |
|
&& |
|
тобто проекції прискорення точки на осі координат дорівнюють
другим похідним відповідних координат за часом.
Абсолютна величина прискорення визначається за формулою
a = |
2 |
2 |
2 |
= |
&&2 |
&&2 |
&&2 |
, |
(21) |
ax |
+ ay |
+ az |
x |
+ y |
+ z |
а напрямок визначається направляючими косинусами
cos(x, a) = |
|
ax |
= |
|
|
|
|
&x& |
|
|
|
|
, |
||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
&&2 |
&&2 |
&&2 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
+ y |
+ z |
|||||
cos(y,a) = |
ay |
|
= |
|
|
|
|
&y& |
|
|
|
|
, |
||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
&&2 |
&&2 |
&&2 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
+ y |
+ z |
|||||
cos(z, a) = |
az |
|
= |
|
|
|
|
&z& |
|
|
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
a&x&2 + &y&2 + &z&2
§7. Визначення швидкості при натуральному способі завдання
руху точки
Запишемо формулу (10) у наступному виді:
Vcp = |
MM1 |
s |
. |
(22) |
|
s |
t |
||||
|
|
|
|||
|
Границя відносини |
довжини хорди |
|||
| MM1 | до довжини дуги, що стягається
нею, кривої s (мал.8) дорівнює одиниці при s→0, а граничне положення січної збігається з положенням дотичної, тобто
lim |
MM1 |
= τ , |
(23) |
|
|||
s→0 |
s |
|
|
де τ – одиничний вектор (орт) дотичної Мал.8 до кривої, спрямованої убік зростання
натуральної координати s.
60