Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Курс теоретичної механіки 2007 (Укр)

.pdf
Скачиваний:
24
Добавлен:
10.02.2016
Размер:
9.59 Mб
Скачать

&x& =

1

F fg .

(14)

 

 

m

 

Після підстановки заданих значень m, f і F

рівняння (14) приймає

наступний вид:

 

&x& = 2t 2 0.98

(15)

(g прийнято рівним 9,8 м/с2).

Це і є диференціальне рівняння руху точки. Помноживши його на dt і інтегрируючи, одержимо

&

2

t

3

0.98t + C1 .

(16)

 

 

x =

3

 

 

 

 

 

 

Значення постійної інтегрування З1 знайдемо з початкових умов (12), з огляду на те, що V = Vx = x& = 0 при t = 0. Підставляючи цю рівність у (16), знаходимо, що С1 = 0. Множачи тепер (16) на dt і інтегруючи ще раз, приходимо до наступного рівності:

x =

1

t

4

0.49t

2

+ C

2

.

(17)

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Постійну інтегрування С2 знаходимо з умови х = 0 при t = 0. Підставляючи це в (17), знаходимо, що С2 = 0. Таким чином, рівняння руху тіла має наступний вид:

x = 16 t 4 0.49t 2 .

2.Прямолінійний рух точки під дією сили, що залежить від швидкості.

Задача. Деяке тіло масою m = 2 кг опускається усередині гладкої похилої труби, заповненою рідиною, без початкової швидкості (мал.4). Вважаючи, що сила опору рідини руху вантажу визначається співвідношенням R = 0,4V (Н) і зневажаючи силою рідини, що виштовхує, знайти швидкість тіла після 10 с з початку руху.

Рішення. Показуємо на кресленні Мал.4 сили, що діють на тіло, і складуємо

основне рівняння динаміки точки

ma = P+N+R.

(18)

Направляємо вісь х уздовж напрямку руху

і проектуємо (18) на цю

вісь. З огляду на, що V = Vx = x , знаходимо

 

&

 

111

mV& = Pcos 60o R .

(19)

Підставляючи сюди вихідні дані, одержуємо диференціальне рівняння:

dV = 4,9 0,2V . dt

Це рівняння з перемінними, що розділюються. Приводимо його до наступного виду:

dt =

 

dV

 

 

 

 

 

 

4,9 0,2V

 

і інтегруємо ліву частину

за t, а праву за V. У результаті будемо ма-

ти

 

 

 

 

t = −5ln | 4,9 0,2V | +C .

(20)

Використовуємо початкову умову: V = 0 при t = 0. З (20) одержуємо

С = 5 ln 4,9.

Підставимо це в (20) і зробимо потенціювання:

|24,5V | = 24,5 e5t.

(21)

З (21) випливає, що з часом V зростає від нуля поступово наближаючись до 24,5 м/с, але теоретично ні при якому кінцевому t цього значення не досягає. Тому знак абсолютної величини в (21) може бути опущений. У результаті одержуємо

V = 24,5 (1e5t) (м/с).

(22)

Рівність (22) показує, що практично вже через кілька секунд після початку руху V невловимо мало відрізняється від свого граничного значення. При t =10 с V = 24,5 м/с.

3.Балістична задача.

Розглянемо рух тіла (снаряда), викинутого з початковою швидкістю Vo із точки О горизонтальної площини під кутом α до цієї площини. Опором повітря зневажаємо, крім того, будемо вважати, що сила ваги снаряда усюди та сама, тобто що висота польоту снаряда не

112

дуже велика. Необхідно при заданих α і Vo знайти дальність польоту снаряда l і час його польоту Т, а також при заданих Vo і l знайти кут пострілу α (тобто вирішити задачу прицілювання).

Рішення. Проведемо вертикальну площину через вектор Vo. У цій площині через точку проводимо горизонтальну вісь Ох і вертикальну вісь Оу. Вісь Оz проводимо перпендикулярно площини

Оху.

На снаряд, що ми вважаємо матеріальною точкою, діє тільки одна сила ваги. Тому основне рівняння динаміки виглядає так:

 

 

 

ma = P.

Мал.5

 

Проектуючи його на осі

 

 

координат, одержуємо

mx = 0, my = −P, mz = 0.

(23)

&&

&&

&&

 

Розділивши рівності

(23)

на m і

користаючись тим, що

Vx = x&, Vy = y&, Vz = z& , приходимо до наступного диференціальним

рівнянням:

 

 

 

 

 

V&

= 0, V&

= −g, V&

z

= 0.

(24)

x

y

 

 

 

Помножимо рівності (24) на dt і проінтегруемо:

 

Vx = C1 ,

Vy = gt+C2 ,

Vz = C3 .

(25)

Початкові умови задачі виглядають так:

 

 

x = 0, y = 0, z = 0, Vx = Vo cos α, Vy = Vo sin α, Vz = 0

при t = 0. (26)

З (25) і останніх трьох рівностей (26) випливає

 

C1 = Vo cos α, C2 = Vo sin α, C3 = 0. Тоді (25) запишеться так:

113

x& = Vo cos α, y& = Vo sin α− gt, z& = 0 .

Множачи ці рівності на dt і інтегруючи, знаходимо

x = Vo t cos α +C4, y = Vo t sin α gt2 / 2 + C5, z = C6 . (27)

Підставляючи сюди значення x, y і z з перших трьох рівностей (26) і t= 0, одержуємо, що

С4 = С5 = С6 = 0.

При цих значеннях довільних постійних рівності (27) являють собою рівняння руху снаряда:

x = Vo t cos α , y = Vo t sin α gt2 / 2, z =0 .

(28)

Остання рівність означає, що снаряд рухається в площині Оху.

1. Знайдемо рівняння траєкторії снаряда. Для цього необхідно виключити час t з перших двох рівнянь (28):

y = x tg α

 

gx2

 

.

(29)

2V

2

cos2

 

 

α

 

 

 

o

 

 

 

 

Таким чином, снаряд, випущений під кутом до обрію, при відсутності опору повітря рухається по параболі.

2.Визначимо горизонтальну дальність польоту снаряда.

Для цього в рівнянні (29) покладемо у = 0. Не співпадаюча з початком координат точка траєкторії з такою ординатою має абсцису

 

V

2

sin 2α

 

l =

 

o

 

.

(30)

 

 

 

g

Визначимо час польоту снаряда. Для цього в першої рівності (28) покладемо х рівним правої частини (30). У результаті будемо мати

 

2Vo sin α

Т =

 

.

 

 

g

3.Залишилося вирішити задачу прицілювання. Помітимо, що з

(30)випливає , що максимальна дальність польоту снаряда досягається при α = 45о:

114

 

 

 

lmax =

 

 

Vo2

.

 

 

g

 

 

 

 

 

 

 

 

Нехай l≤ lmax . Тоді з (30) знаходимо

 

 

 

 

sin 2α =

gl

 

1,

 

 

 

 

 

 

 

 

Vo2

 

відкіля знаходимо α1

=

1

arcsin(

gl

), α2 = 90o − α1 . Таким чином, при

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Vo

 

 

 

 

 

l< lmax у ту саму мету можна влучити, стріляючи по двох траєкторіях – настильної (α < 45ο) і навісний (β =90о α > 45ο).

§5. Вільні коливання матеріальної точки

Відновлюєчою чи квазиупругой називається сила, постійно спрямована до нерухомого центра О и пропорційна відстані від матеріальної точки М до цього центра, тобто

 

 

 

F = c OM

(31)

( c – додатньа постійна).

Подібна сила створюється розтягнутою чи стиснутою пружиною (мал.6).

Тут lo довжина недеформованої пружини. При зсуві вантажу від точки О в будь-яку сторону пружина прагне повернути вантаж у вихідне положення, при цьому пружна сила пружини F пропорциональна величині зсуву

Мал.6 ОМ з коефіцієнтом пропорційності с, що носить назву коефіці-

єнта жорсткості пружини.

Прямолінійний рух матеріальної точки під дією тільки однієї відновлючої сили, називається вільними коливаннями Точка О

(центр відновлючої сили,) називається центром коливань.

Помітимо, що центр коливань є положенням рівноваги точки М. Дійсно, відповідно до формули (31), якщо матеріальна точка М знаходиться в положенні О, те F виявляється рівної нулю, і на точку М в цьому положенні взагалі не діють сили.

115

Проведемо вісь Ох з центра коливань уздовж прямої, по якій рухається точка (мал.7). Складемо основне рівняння динаміки точки

ma = F

і спроектуємо його на вісь х, з огляду на те, що проекція відновлючої сили, дорівнює

Мал.7

Fx = cx.

У результаті будемо мати

m&x& = −cx .

(32)

Розділивши (32) на m і ввівши позначення

 

2

=

c

(33)

k

 

 

,

 

 

m

одержуємо диференціальне рівняння вільних коливань матеріальної

точки

&x&+ k 2 x = 0 .

(34)

Це лінійне однорідне диференціальне уранение другого порядку з постійними коефіцієнтами. Складемо його характеристичне рівняння :

λ2 + k2 = 0.

Оскільки корені його чисто мнимі λ1,2 = ± ικ, то загальне рішення диференціального рівняння (34) має наступний вид:

x = C1 sin kt + C2 cos kt.

Зробимо підстановку C1 = a cos α, C2 = a sin α. У результаті

одержимо x = a (sin kt cos α + cos kt sin α) чи

 

x = a sin (kt + α).

(35)

Вираження (35) являє собою рівняння

вільних коливань

матеріальної точки.

Прямолінійний рух точки, чинений за законом x = a sin (kt + α),

називається гармонійними коливаннями.

116

Таким чином, вільні коливання матеріальної точки є

гармонійними.

Величина а, що є найбільшим відхиленням точки від центра

коливання, називається амплітудою.

Величина φ = kt + α називається фазою коливання, а α = φ (0)

називається початковою фазою.

Величина k називається круговою чи циклічною частотою

коливань.

Проміжок часу Т, протягом якого точка виконує одне повне

коливання, називається періодом коливань.

Це означає, що якщо час у формулі (35) збільшується на Т, то аргумент синуса в цій формулі змінюється на 2π. Звідси випливає, що k = 2π, тобто

T =

2π

,

 

(36)

 

 

 

k

 

відкіля одержуємо

 

k =

2π

,

(37)

 

 

 

T

 

тобто кругова частота дорівнює числу повних коливань, чинених за одиниць часу.

Число ν повних коливань, чинених в одиницю часу, називається

частотою коливань:

ν = 1 .

T

Очевидно,

k = 2πν.

Величини а і α визначаються з початкових умов. Нехай

х = хо , V = Vo при t = 0. Диференцуючив (35) за часом, одержимо

V= ak cos (kt+α).

З(35) і (40) з обліком (39) знаходимо

a = x

2

+

Vo2

,

tg α =

kxo

.

o

k 2

 

 

 

 

 

Vo

З (37), (38) і (41) випливає

 

 

 

 

 

 

 

(38)

(39)

(40)

(41)

117

1)амплітуда і початкова фаза коливань залежать від початкових умов,

2)кругова частота і період не залежать від них.

§6. Вплив постійної сили на вільні коливання матеріальної точки

Нехай тепер на матеріальну точку крім відновлючої сили, діє ще постійна сила Р (мал.8).

Знайдемо нове положення рівноваги О1 точки М. Очевидно, у цьому положенні F + P = 0, тобто

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

сOO1 + Р = 0,

(42)

Мал.8

відкіля

 

 

 

 

 

=

 

P

.

(43)

 

 

OO

 

 

1

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Позначимо δст =| OO1 | і назвемо δст статичним зсувом.

 

Тоді з (43) випливає

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

δст =

P

.

(44)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

Знайдемо тепер геометричну суму сил, що діють на точку в довільному положенні:

F1 = F + P = −c OM + P . Підставивши сюди Р з (42), будемо мати

F1 = −c OM + c OO1 = −c O1M .

Це означає, що фактично точка рухається під дією відновлючої сили F1 , центр якої знаходиться в новому положенні рівноваги О1 , зміщеному на відстань δст від старого положення рівноваги. Звідси випливає справедливість усіх висновків попереднього параграфа й у цьому випадку. Таким чином,

додавання постійної сили не змінює характеру вільних коливань – вони залишаються гармонійними, але центр коливань зміщається

на величину статичного зсуву убік дії постійної сили.

З (33) і (44) маємо

k 2 = P .

mδст

118

Тоді

T = 2π = 2π m δст .

kP

Це означає, що період коливань пропорційний кореню квадратному

зі статичного зсуву.

Якщо сила Р є силою ваги, тобто коли коливання відбуваються по вертикальній прямій, то P = mg і

T = 2π

δст

.

(45)

 

g

§7. Вільні коливання матеріальної точки при наявності в'язкого опору

Нехай тепер крім відновлючої сили, F на матеріальну точку діє сила опору R, пропорційна першого ступеня швидкості точки, тобто

R = b.

(46)

Знак мінус у рівності (46) означає, що сила опору спрямована протилежно швидкості. Складемо основне рівняння динаміки

Мал.9

ma = F + R

і спроектуємо його на вісь х:

mx = −cx bx .

(47)

&&

&

 

Розділимо (47) на m і в результаті одержимо диференціальне

рівняння вільних коливань матеріальної точки при наявності в'язкого опору

&&

&

2

x = 0 .

(48)

x

+ 2βx + k

 

Тут β = b / 2m. Рівняння (48) – це лінійне однорідне диференціальне рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами. Складемо характеристичне рівняння:

λ2 + 2βλ + k2 = 0.

(49)

119

Його корені мають наступний вид:

λ1,2 = β ± β2 k 2 .

(50)

1. Розглянемо спочатку випадок малого опору β < k.

Уведемо позначення

k1 = k 2 −β2 .

(51)

Тоді корені характеристичного рівняння запишуться так:

λ1,2 = β ± ik1 ,

тобто корені характеристичного рівняння є комплексними. Загальне рішення диференціального рівняння (49) у цьому випадку записується

так:

x = eβt (C1 sin k1 t + C2 cos k1t).

Зробивши усередині дужок перетворення аналогічно §5, одержимо

x = a eβt sin (k1t + α),

(52)

причому величини а і α визначаються з початкових умов.

Коливання, що відбуваються за законом x = a eβt sin (k1t + α),

називаються затухаючими, оскільки величина eβt прагне до нуля з часом.

Графік функції (52) представлений на мал.10. Період функції sin (k1t + α) будемо називати періодом затухаю-

чих коливань:

 

T' =

2π

=

 

2π

 

 

. (53)

 

 

 

 

 

 

 

 

k1

k 2 −β2

Мал.10

Порівнюючи з (36), прихо-

 

димо до висновку, що Т’ >

Т, тобто при наявності опору період

коливань збільшується.

Формула (52) показує, що за

один період розмах

коливань

зменшується в e−βT ' раз.

 

 

 

 

 

 

 

 

e−βT '

Величина називається декрементом затухаючих коливань, а величина βT’ логарифмічним декрементом.

120

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.