Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Курс теоретичної механіки 2007 (Укр)

.pdf
Скачиваний:
43
Добавлен:
10.02.2016
Размер:
9.59 Mб
Скачать

Доводиться аналогічно.

§2. Центр мас механічної системи. Теорема про рух центра мас

Масою механічної системи називається сума мас точок, що утворять цю систему:

n

M = mk .

k=1

Центром мас механічної системи називається геометрична точка, радіус-вектор якої визначається за формулою

 

 

n

 

 

 

 

mk rk

 

 

r

=

k=1

.

(74)

 

c

M

 

 

 

 

 

 

 

 

Тут mk – маси

точок системи (k =1,2,

…,n), rk – їхні радіуси-вектори (мал.16), М

– маса механічної системи.

Якщо спроектувати векторну рівність (74) на осі координат, то вийдуть наступні формули для координат центра мас

Мал.18

 

 

n

 

 

n

 

 

n

 

 

 

mk xk

 

 

mk yk

 

 

mk zk

 

xc

=

k=1

, yc

=

k=1

, zc

=

k=1

(75)

M

M

M

 

 

 

 

 

 

 

(тут xk ,yk ,zk - координати точки Mk ).

Помножимо чисельники і знаменники формул (75) на прискорення вільного падіння тіл g. У результаті будемо мати

 

 

n

 

 

n

 

 

n

 

 

 

Pk xk

 

 

Pk yk

 

 

Pk zk

 

xc

=

k=1

, yc

=

k=1

, zc

=

k=1

.

P

P

P

 

 

 

 

 

 

 

131

Неважко переконатися в тім, що це формули для координат центра ваги механічної системи, що знаходиться в однорідному полі сил ваги (див. §3 глави IV роздягнула «Статика»).

Таким чином, якщо механічна система знаходиться в

однорідному полі сил ваги, те її центр мас збігається з центром ваги

Теорема про рух центра мас. Центр мас механічної системи рухається як деяка матеріальна точка, маса якої дорівнює масі механічної системи і на яку діють зовнішні сили, прикладені до

точок механічної системи.

Доказ. Запишемо рівність (74) у наступному виді

n

Mrc = mk rk ,

k=1

іпродиференцуемо ліву і праву частини її за часом двічі

 

n

 

 

 

 

 

 

 

&&

&&

 

 

 

 

 

 

 

Mrc

= mk rk .

 

 

 

 

 

 

 

 

k=1

 

 

 

 

 

 

 

Оскільки r = a , те в результаті будемо мати

 

 

 

 

 

 

 

&&

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

Mac

= mk ak .

 

 

 

 

 

 

(76)

 

k=1

 

 

 

 

 

 

 

 

Тут

 

 

ас

прискорення

 

центра

мас,

 

ak прискорення

 

точки

Mk (k = 1,2,…,n)...

 

З третього закону динаміки

 

випливає (мал.19), що

 

 

m

k

a

k

= F e

+ F i .

 

 

 

 

k

k

 

Підставивши це в рівність (76),

 

одержимо

 

 

 

 

 

 

 

 

Ma

c

= Re

+ Ri ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

n

Мал.19

де Re

= Fke , Ri = Fki .

Але по властивості внутрішніх сил

r=1

 

 

 

r=1

 

 

 

 

 

 

 

Ri

= 0,

 

 

 

 

 

 

 

і одержуємо остаточно

 

 

 

 

 

 

 

 

132

Maс = Re ,

(77)

тобто

добуток маси системи на прискорення її центра мас дорівнює

головному вектору зовнішніх сил.

Візьмемо тепер матеріальну точку Мо з масою, рівною масі механічної механічної системи, і прикладемо до неї зовнішні сили, що діють на точки механічної системи (мал.20).

Склавши для цієї точки основне рівняння динаміки, одержимо

Ma = Re.

(а – прискорення згаданої вище точки). Зіставивши це з (77), дійдемо висновку, що ас = а, відкіля і випливає формулювання теореми про рух центра мас.

Мал.20

Наслідки.

1)Внутрішні сили не впливають на рух центра мас.

2)Якщо головний вектор зовнішніх сил дорівнює нулю протягом деякого проміжку часу, то центр мас системи рухається рівномірно і прямолінійно або знаходиться в стані спокою

протягом цього проміжку.

Доказ. З рівності Re = 0 випливає aс = 0. Останнє може бути

записане так dVc = 0 , відкіля випливає, що Vс = const. Незмінність dt

напрямку швидкості центра мас означає його рух по прямої, а незмінність її величини – рівномірність цього руху.

§3. Приклад рішення задачі з застосуванням теореми про рух центра мас

Задача. Понтонний кран піднімає вантаж масою m1 = 1000кг. Кут нахилу стріли, що переміщається у вертикальній площині, змінюється від φο = 30о до φ1 = 90о (мал.21). Вважаючи стрілу однорідним прямолінійним стержнем довжиною l = 10 м і масою m2 = 1000 кг, визначити переміщення понтона масою m3 = 25000 кг, якщо в початковий момент кран знаходився в спокої. Опором води зневажити.

Рішення. Розглядаємо механічну систему, що складається з понтонного крана, стріли і вантажу. На цю механічну систему діють

133

наступні зовнішні сили: вага вантажу Р1 , вага стріли Р2 , вага крана Р3 і виштовхуюча сила води N. Усі ці сили вертикальні.

На підставі теореми про рух центра мас можемо записати

Maс = Re,

(78)

де М – маса системи, ас прискорення центра мас, Re головний вектор зовнішніх сил:

Re = Р1 + Р2 + Р3 + N .

(79)

Проектуємо векторну рівність (78) (з обліком (79)) на вісь х:

M&x&c = 0 .

Оскільки маса механічної системи не дорівнює нулю, то звідси випливає, що

&x&c = 0 .

Помножимо цю рівність на dt і проінтегруемо за t. У результаті одержимо

xc = C1 .

(80)

&

 

У початковий момент система знаходилася в спокої.

Мал.21 Тому швидкість її цінтра мас, а значить і її

проекція на вісь х (тобто ліва частина (80)) дорівнювали нулю. Звідси випливає, що С1 = 0. Таким чином, одержуємо

xc = 0 .

(81)

&

 

Множимо тепер (81) на dt і інтегруємо:

хс = С2,

(82)

тобто абсциса центра мас механічної системи залишається незмінної. Знайдемо абсцису центра мас у початковий момент (див. мал.21)

134

 

 

 

m x0

+ m

x

0

+ m

x

0

 

 

x

 

=

1 1

2

 

2

3

 

3

.

(83)

c

m1 + m2

+ m3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Припустимо тепер, що в результаті переміщення вантажів кран

змістився вліво на відстань

. Нова абсциса маси m3 буде

 

 

x

/

= x0

,

 

 

 

 

3

3

 

 

нова абсциса маси m1 буде

 

 

 

 

 

 

x/

= x

0

+ l cos φ

0

,

1

 

1

 

 

оскільки в результаті повороту стріли, що зайняла вертикальне положення, маса m1 переміщається на відстань l cos φ0. Аналогічно, нова абсциса маси m2 буде

 

 

 

 

 

 

 

x

/

= x

0

+

l

cos φ

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

2

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким чином, абсциса центр мас у кінцевому положенні така

 

 

 

m (x0

+ l cos φ

 

 

) + m

 

(x

0

+

l

cos φ

 

) + m

 

(x

0

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

/

=

1 1

 

0

 

 

 

 

 

2

 

2

2

 

 

 

0

 

 

3

 

3

 

 

. (84)

c

 

 

 

 

 

 

m1

+ m2 + m3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Оскільки абсциса центра мас залишається незмінної, то праві частини (83) і (84) повинні бути рівні. У такий спосіб одержуємо рівняння відносно Δ:

m (l cos φ

 

) + m

 

(

l

cos φ

 

) m

 

= 0 ,

 

 

 

 

 

1

0

 

 

2

2

 

 

0

 

 

 

3

 

вирішуючи яке, знаходимо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(m +

m2

)l cos φ

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

1

 

2

 

 

 

 

.

 

(85)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m1 + m2 + m3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Підстановка числових значень дає наступний результат

= 0,48 м.

§4. Теорема про зміну кількості руху механічної системи

Кількістю руху матеріальної

точки називається вектор, який

дорівнює добутку маси точки на її швидкість:

 

q = mv.

 

(86)

Кількістю руху механічної

системи називається

вільний

вектор, zrbq дорівнює геометричній сумі кількостей руху

точок

системи (мал.22):

 

 

135

n

 

Q = mkVk .

(87)

k=1

Кількість руху механічної системи дорівнює добутку маси М системи на швидкість

Vc її центра мас:

Q = MVc .

(88)

Доказ. Запишемо формулу (74) для радіуса-вектора центра мас

Мал.22 механічної системи в наступному виді:

n

 

 

Mrc = mk rk

 

 

k=1

 

 

і продиференцуемj за часом. Користаючись тим, що

dr

=V ,

 

 

dt

одержимо

 

 

n

 

 

MVc = mkVk .

(89)

k=1

 

 

Величина, що стoїть в правій частині (89), у відповідності

(87) і є

кількість руху системи Q. Таким чином, одержуємо

 

 

Q = MVc ,

 

 

що і було потрібно.

 

 

Теорема (про зміну кількості руху механічної системи).

Геометрична похідна кількості руху механічної системи за часом дорівнює головному вектору зовнішніх сил, що діють на точки механічної системи, тобто

 

 

dQ

= Re .

(90)

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

Доказ. Продиференцуємо (88) за часом. Оскільки

dV

= a , в

 

 

 

 

 

 

dt

результаті будемо мати

 

 

 

dQ

= Mac ,

(91)

 

 

 

 

dt

 

 

136

але згідно теоремі про рух центра мас Mac = Re і (91) запишеться так:

dQ = Re , що і було потрібно довести. dt

Наслідки.

1)Внутрішні сили не впливають на зміну кількості руху механічної системи.

2)(закон збереження кількості руху) Якщо головний вектор зовнішніх сил дорівнює нулю протягом деякого проміжку часу, то кількість руху механічної системи не змінюється ані за величиною, ані за напрямком протягом цього проміжку.

Доказ. Якщо Re = 0, то з теореми випливає, що dQ = 0 , і вихо- dt

дить, що Q = const.

3) (закон збереження проекції кількості руху) Якщо сума проекцій усіх зовнішніх сил на яку-небудь вісь дорівнює нулю протягом деякого проміжку часу, то проекція кількості руху на цю вісь не змінюється протягом цього проміжку.

Доказ. Спроектуємо рівність (90) на вісь х. Оскільки операції проектування і диференціювання можуть бути змінені місцями (§1 глави I розділа II), в результаті одержимо

 

dQx

= Rxe .

(92)

 

 

 

 

 

dt

 

 

n

n

 

Але оскільки Re = Fke , то Rxe

= прx Fke , що дорівнює нулю за

k=1

k=1

 

умовою. З (92) одержуємо

 

 

 

 

dQx

= 0 ,

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

відкіля і випливає, що Qx = const.

§5. Приклад рішення задачі з застосуванням теореми про зміну кількості руху механічної системи

Задача. Трикутна призма масою m2 = 5 кг розташовується на глад-

137

кій горизонтальній поверхні (мал.23). Уздовж її похилої грані рухається вантаж масою m1 = 1 кг із відносною швидкістю V1 = 2 м/с. Визначити швидкість V призми, якщо в початковий момент призма і вантаж на ній знаходилися в стані спокою.

Рішення. Будемо вважати, що механічна система складається з двох тіл: призми і вантажу. Тоді зовнішніми відносно неї є наступні сили: вага вантажу Р1 і вага призми Р2, а також нормальна реакція поверхні N, на якій розташовується призма. Усі ці

Мал.23 сили вертикальні. Тому їхні проекції на горизонтальну вісь х дорівнюють нулю. Тоді на підставі закону збереження проекції кількості

руху (див. попередній параграф) ми можемо записати

Qx = const.

У початковий момент система знаходилася в спокої, тому ми можемо зробити висновок, що

Qx = 0

(93)

у будь-який момент часу.

Розглянемо рух вантажу як складний: його рух відносно призми будемо вважати відносним, а рух призми переносним. Тоді абсолютна швидкість вантажу буде дорівнює

Vг = V1 + V,

(94)

де V1 відносна швидкість вантажу, а V шукана швидкість призми. Кількість руху механічної системи визначається за формулою

Q = m1Vг + m2V = m1 (V1 + V) + m2V.

(95)

Проектуючи рівність (95) на вісь х і використовуючи (93), одержуємо

m1 V1 cos 30o (m1 + m2) V = 0,

відкіля знаходимо

138

 

m V cos30

0

 

 

V =

1 1

 

= 0,29 м/c

 

m1 + m2

 

 

 

 

 

 

§6. Теорема про зміну кінетичного моменту матеріальної

точки

Кінетичним моментом lo

матеріальної точки

відносно

полюса O називається момент вектора q кількості руху

точки

відносно цього полюса:

 

 

 

 

lo = mo (q).

(96)

Момент вектора кількості руху відносно полюса визначається аналогічно моменту сили відносно полюса (див. §4 глави I частини I). Тому для кінетичного моменту має місце наступне представлення:

Мал.24

lo = [r , q],

(97)

тобто

 

 

кінетичний момент точки відносно полюса дорівнює

векторно-

му добутку радіус-вектора

точки на її кількість руху.

 

Кінетичним моментом lz матеріальної точки відносно осі z

називається момент вектора q кількості руху точки відносно цієї осі:

lz = mz (q).

(98)

Момент вектора кількості руху відносно осі визначається аналогічно моменту сили відносно осі (див. §3 глави I частини I).

Між кінетичними моментами відносно полюса й осі існує залежність, аналогічна залежності між моментами сили відносно полюса й осі (див. §8 глави I частини I):

lz = прz l o ,

(99)

тобто кінетичний момент точки відносно осі, що проходить

через полюс, дорівнює проекції на цю вісь кінетичного моменту точки відносно полюса.

139

Теорема (про зміну кінетичного моменту точки відносно полюса). Геометрична похідна кінетичного моменту матеріальної точки відносно полюса за часом дорівнює головному моменту сил, прикладених до точки, відносного цього полюса:

dt

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dlo

=

 

m

 

(F

) .

(100)

 

 

o

 

 

 

 

k

 

 

k=1

Доказ. Продиференцуємо формулу (97) за часом

dlo = d [r, mV ] = [dr , mV ]+[r, m dV ] .

dt

dt

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

dt

Користаючись тим, що

dr

= V ,

 

dV

= a , а також тим, що векторний

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

dt

 

 

 

 

добуток двох колінеарних векторів дорівнює нулю, одержуємо

 

 

 

 

 

dlo

= [r, ma] .

 

 

(101)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Використовуємо тепер третій закон динаміки і підставимо рівність

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ma = Fk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k=1

 

 

 

 

 

 

у формулу (101):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dlo

 

n

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

=

[r, F ] =

m (F ) .

 

dt

 

 

 

 

k

 

 

 

 

o

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k=1

 

 

 

 

 

 

k=1

 

 

 

 

Теорема доведена.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§7. Теорема про зміну кінетичного моменту механічної системи

Кінетичним моментом механічної системи відносно полюса називається вектор, прикладений у цьому полюсі і рівний геометричній сумі кінетичних моментів точок системи відносно цього полюса:

n

 

Lo = lok

(102)

k=1

(lok = mo(qk) кінетичний момент точки Мk механічної системи відносно полюса О).

Кінетичним моментом механічної системи відносно осі називається скаляр, дорівнює сумі кінетичних моментів точок

140