Курс теоретичної механіки 2007 (Укр)
.pdf
Д О Д А Т К И
_____________________________________________________________
Додаток 1. Проекція вектора на вісь.
Почнемо з |
визначень проекцій |
точки на вісь і на площину. |
Оскільки ці визначення аналогічні, ми їх об'єднаємо в одне. |
||
Проекцією |
точки А на вісь (площину) називається підстава а |
|
перпендикуляра, опущеного з точки на цю вісь (площина) (мал.1 а) і б)).
Мал.1
Проекцією вектора на вісь називається скаляр (тобто число),
який дорівнює довжині відрізка ab, що з'єднує проекції початку А и кінця В вектора на цю вісь, узятої з відповідним знаком (мал.2). Якщо надати відрізку ab напрямок, що відповідає напрямку вектора (тобто від точки а до точки b), то знак проекції вибирається в такий спосіб:
якщо напрямок відрізка ab збігається з напрямком осі, то
проекція має знак "плюс", якщо ж цей напрямок протилежно
напрямку осі, то проекція має знак "мінус". |
|
||
|
Будемо |
позначати |
проекцію |
|
вектора F на вісь х символами прх |
||
|
F чи Fх. Таким чином, |
|
|
|
прxF = Fх = ± |ab|. |
(1) |
|
|
Оскільки трикутник АВВ1 прямо - |
||
Мал.2 |
кутний |
і АВ1 = ab є прилеглим |
|
|
до кута |
α катетом (мал.2), то |
|
|ab | = F cos α, тобто |
|
|
|
|
прчF = Fх = ± F cos α . |
(2) |
|
191
За аналогією із силою будемо називати лінією дії вектора пряму, на якій цей вектор розташований (для вільного вектора як лінію дії можна взяти будь-як пряму, що цей вектор паралельний).
Тоді з (2) випливає, що проекція вектора на вісь дорівнює
добутку величини вектора на косинус кута між лінією дії вектора і
віссю, узятому з відповідним знаком.
Розглянемо два окремі випадки.
1. Лінія дії вектора перпендикулярнаі осі. У цьому випадку |
точки |
а і b збігаються (мал.3а) і отже, |
|
прх = Fх = 0, тобто |
(3) |
якщо лінія дії вектора перпендикулярнаі осі, то проекція вектора на вісь дорівнює нулю.
2. Лінія дії вектора паралельнаі осі. Очевидно |ab| = F (мал.3б), тобто величина проекції дорівнює величині вектора. У цьому випадку говорять, що вектор проектується на вісь у натуральну величину:
прх = Fх = ± F . |
(4) |
Таким чином, якщо лінія дії вектора паралельнаі осі (зокрема,
якщо він лежить на осі), то вектор проектується на вісь у натуральну величину, при цьому проекція має знак "плюс", якщо напрямок вектора збігається з напрямком осі, і знак "мінус", якщо ці напрямки протилежні.
Мал.3
Теорема. Проекція геометричної суми векторів на яку-небудь вісь
дорівнює сумі проекцій векторів на цю вісь.
Доказ. Розглянемо спочатку випадок двох векторів F1 і F2, проекції яких на вісь х додатні (мал.4а). Відкладемо вектор F1 з довільної
192
точки А, а потім з кінця В цієї вектора відкладемо вектор F2. Вектор G,
що з'єднує початок А вектора F1 з кінцем З вектора F2 |
являє собою |
геометричну суму векторів F1 і F2. |
|
З креслення випливає, що |ac| = |ab| + |bc|. Але |ac| = |
прх(F1+F2), |
|ab| = прx F1, |bc|= прx F2. Таким чином, |
|
прх ( F1 + F2 )=прx F1 + прx F2 . |
(5) |
Якщо ж проекція одного з векторів, наприклад F2 негативна (мал. 4б), причому |ab| > |bc|, то
|ac| = |ab| – |bc|. |
(6) |
Але в цьому випадку прх(F1+F2) = |ac|, прx F1= =|ab|, прx F2 =– |bc| і з
(6) знову одержуємо (5). Легко переконатися, що в інших мислимих випадках двох векторів рівність (5) має місце.
Нехай тепер рівність аналогічне (5) має місце для випадку п векторів, тобто
n |
n |
|
npx ∑Fk |
=∑npx Fk . |
(7) |
k=1 |
k=1 |
|
Покажемо, що така ж рівність справедлива і для випадку п+1 вектора.
|
n |
n+1 |
Уведемо позначення |
Q = ∑Fk |
. Тоді ∑Fk = Q + Fn+1 і |
|
k=1 |
k=1 |
n+1 |
|
n |
npx ∑Fk =npx (Q + Fn+1 ) = npxQ + npx Fn+1 = npx ∑Fk + npx Fn+1 = |
||
k=1 |
|
k=1 |
n |
n+1 |
|
= ∑npx Fk + npx Fn+1 = ∑npx Fk , |
||
k=1 |
k=1 |
|
відкіля і випливає, що |
|
|
|
n+1 |
n+1 |
|
npx ∑Fk =∑npx Fk , |
|
|
k=1 |
k=1 |
що і було потрібно. Теорема доведена.
193
Додаток 2. Проекція вектора на площину.
Проекцією вектора на площину називається вектор, з'єднуючий
проекцію початку з проекцією кінця вектора на цю площину
(мал.4).
Проекцію вектора F на площину хОу будемо позначати символом Fху , а її вличину – символом Fху. Очевидно (мал.5)
Fху = F cos β, |
(8) |
де β – кут між напрямком вектора і напрямком її проекції.
Мал.5
Зформули (8) випливає, що
1.якщо лінія дії вектора перпендикулярнаі площини, то проекція вектора на площину дорівнює нулю,
2.якщо лінія дії вектора паралельна площини (зокрема, якщо вектор лежить у площині), то проекція вектора на площину дорівнює цьому вектору.
194
ЗМІСТ
Вступ...………………………………………………………………... 3
|
ЧАСТИНА I . СТАТИКА |
|
|
Глава I . Основні поняття й аксіоми статики |
|
§1. Абсолютно тверде тіло...………………………………….......... |
5 |
|
§2. Сила...………… ………………………………………………...... |
5 |
|
§3. Момент сили відносно осі...……..........………………………… |
6 |
|
§4. Момент сили відносно полюса...…......………………………...... |
8 |
|
§5. |
Представлення моменту сили відносно полюса у виді |
|
|
векторного добутку...…………………………......…………...... |
10 |
§6. Теорема Вариньона для моментів двох сил, що сходяться, |
|
|
|
відносно полюса...……………………………….........………… |
11 |
§7 |
Зміна моменту сили відносно полюса при зміні полюса …… |
12 |
§8 Залежність між моментом сили відносно полюса і |
|
|
|
моментом сили відносно осі ...………………………................ |
13 |
§9. Теорема Вариньона для моментів двох сил, що сходяться, |
|
|
|
відносно осі...……………………………………..........………… |
14 |
§10 |
Система сил. Головний вектор і головний момент системи сил 14 |
|
§11. Зміна головного моменту системи сил відносно |
|
|
|
полюса при зміні полюса...…………………………....……...... |
15 |
§12. Пари сил і її момент...……..........……………………...……...... |
15 |
|
§13. Елементарні операції………..………………………………..... |
16 |
|
§14. |
Геометричні властивості елементарних операцій...… …....... |
18 |
§15. Еквівалентні системи сил...……………….…………………...... |
18 |
|
§16. Рівнодіюча...…………………………..........…………………...... |
19 |
|
§17. Приклади побудови рівнодіючої...………………...................... |
20 |
|
§18. Відмінності рівнодіючої від головного вектора...…………...... |
21 |
|
§19. Аксіоми статики...………………………………………….. … |
22 |
|
§20 Основні типи зв'язків і їхна реакції……….....………………... |
23 |
|
Глава II . Умови рівноваги тіла |
|
|
§1. Основна лема статики...……………………………………...... |
28 |
|
§2. Основна теорема статики...………………………………........ |
29 |
|
§3. Аналітичні умови рівноваги довільної системи сил................ |
30 |
|
§4. |
Аналітичні умови рівноваги для окремих випадків систем |
|
195
|
сил………………………………………………………………… 32 |
|
|
Глава III . Приведення системи сил до найпростішого |
|
|
вигляду |
|
§1. |
Загальна ознака еквівалентності систем сил...….…………...... |
38 |
§2. Еквівалентні перетворення пар...…………………………......... |
41 |
|
§3 Теорема Пуансо про приведення системи сил до заданого |
|
|
|
центру...………………………………………………………...... 41 |
|
§4. Окремі випадки теореми Пуансо....…………………………...... |
43 |
|
§5. Найпростіші системи сил...…………………………………...... |
44 |
|
|
Глава IV . Центр паралельних сил і центр ваги |
|
§1. |
Умова існування рівнодіючої паралельних |
|
|
сил...…………………………………………………………...... |
47 |
§2. Центр паралельних сил...…………...………………………....... |
47 |
|
§3. Центр ваги...…………………………......……………………… |
50 |
|
§4 |
Статичні моменти...………….......……………………………… |
51 |
§5 |
Центри ваги симетричних тел.............………………………...... |
51 |
§6. Методи визначення положення центра ваги...……….........….. |
52 |
|
|
ЧАСТИНА II . КІНЕМАТИКА |
|
|
Глава I . Кінематика точки |
|
§1. Вектор-функція, її годограф і похідна...……….......………...... |
54 |
|
§2. Способи завдання руху точки...…………………….……....... |
56 |
|
§3. Швидкість точки...…………………………………………...... |
57 |
|
§4. Прискорення точки...……..…………………………………… |
58 |
|
§5 |
Визначення швидкості і прискорення точки при векторному |
|
|
способі завдання руху ....…....……………………......……...... |
59 |
§6. |
Визначення швидкості і прискорення точки при координатному |
|
|
способі завдання руху ...…....………………….....…………...... |
60 |
§7. Визначення швидкості при натуральному способі завдання |
|
|
|
руху точки...…………………………………....……………...... |
61 |
§8. Кривизна лінії...………………………………………………...... |
62 |
|
§9. Натуральний тригранник...…………………………………..... |
63 |
|
§10. Похідна орта дотичної за натуральною координатою.............. |
64 |
|
§11. Визначення прискорення при натуральному способі завдання |
|
|
|
руху точки...………………………………....………………...... |
65 |
196
§12. Деякі окремі випадки руху точки...…….............…………...... 67 §13. Приклади……………………………………….....…………………68
Глава II . Найпростіші рухи твердого тіла |
|
|
§1. Поступальний рух...…………………………………................ |
72 |
|
§2. Обертання тіла навколо нерухомої осі...…………………....... |
73 |
|
§3. Деякі окремі випадки обертання тіла навколо |
|
|
|
нерухомої осі...……………………………………...………...... |
75 |
§4. |
Швидкості і прискорення точок обертового тіла......……...... |
76 |
§5. |
Перша формула Эйлера.......………………………………....... |
77 |
§6. |
Приклад рішення задачі на обертання тіла навколо |
|
|
нерухомої осі…………………......……………………………… 78 |
|
Глава III . Складний рух точки |
|
|
§1. Основні визначення...………………………………………...... |
80 |
|
§2. Теорема про додавання швидкостей.....……………………… |
81 |
|
§3 |
Теорема про додавання прискорень.......…………………...... |
82 |
§4. |
Випадки рівності нулю Коріолісова прискорення...….…....... |
87 |
§5. |
Правило Жуковського побудови Коріолісова прискорення... |
87 |
§6. |
Приклад рішення задачі на складний рух точки...……........ |
88 |
|
Глава IV . Плоскопаралельний рух тіла |
|
§1. |
Рівняння плоскопараллельного руху тіла...………….............. |
91 |
§2. |
Незалежність кутової швидкості відносного обертання |
|
|
від вибору полюса розкладання...………..…………………...... |
92 |
§3. Друга формула Эйлера...…………………..…………………… |
93 |
|
§4 |
Миттєвий центр швидкостей.………………………………...... |
95 |
§5. |
Картина розподілу швидкостей точок плоскої фігури........... |
96 |
§6. |
Побудова миттєвого центра швидкостей...………….……....... |
97 |
§7. |
Визначення швидкостей точок плоского механізму.....…...... |
98 |
|
Глава V . Обертання тіла навколо нерухомої точки. |
|
|
Рух вільного твердого тіла |
|
§1. |
Кути Эйлера. Рівняння обертання тіла навколо нерухомої |
|
|
точки...……….....……………………………………………....... |
100 |
§2. Теорема Эйлера-Даламбера...………………………………...... |
101 |
|
197
§3. |
Вісь миттєвого обертання. Миттєва кутова швидкість............ |
102 |
|
§4. |
Рух вільного твердого тіла. Рівняння руху................................ |
103 |
|
§5. Друга формула Эйлера...………………………..……………… |
105 |
||
|
ЧАСТИНА III . ДИНАМІКА |
|
|
|
Глава I . Динаміка матеріальної точки |
|
|
§1. |
Введення в динаміку. Закони динаміки......………………...... |
107 |
|
§2. |
Основні типи задач динаміки матеріальної точки. Рішення |
|
|
|
першої задачі...……………………….………………………… |
109 |
|
§3 |
Диференціальні рівняння руху матеріальної точки. |
|
|
|
Рішення другої задачі динаміки...…………………………...... |
110 |
|
§4. |
Приклади рішення другої задачі динаміки..………………...... |
111 |
|
§5. |
Вільні коливання матеріальної точки...….....……………...... |
116 |
|
§6. |
Вплив постійної сили на вільні коливання |
|
|
|
матеріальної точки...………………………………………...... |
119 |
|
§7. |
Вільні коливання матеріальної точки при наявності |
|
|
|
в'язкого опору...………………..........………………………...... |
120 |
|
§8. |
Вимушені коливання матеріальної |
точки. Резонанс...........… |
123 |
§9 |
Вимушені коливання матеріальної |
точки при наявності |
|
|
опору...…………………………………………............……....... |
126 |
|
§10. Динаміка відносного руху матеріальної точки........................ |
128 |
||
|
Глава II . Динаміка механічної системи і |
|
|
|
твердого тіла |
|
|
§1. Механічна система. Зовнішні і внутрішні сили...……................ |
131 |
||
§2. Центр мас механічної системи. Теорема про рух центра |
|
||
|
мас...…………………………………………..………………...... 132 |
||
§3. Приклад рішення задачі з застосуванням теореми про рух |
|
||
|
центра мас...……………………………..……………………...... |
135 |
|
§4. Теорема про зміну кількості руху механічної |
|
||
|
системи...………………………………………………………… 137 |
||
§5 Приклад рішення задачі з застосуванням теореми про |
|
||
|
зміну кількості руху механічної системи...…............................ |
139 |
|
§6 Теорема про зміну кінетичного моменту матеріальної |
|
||
|
точки...……..………………………………………………...... |
140 |
|
§7. Теорема про зміну кінетичного моменту механічної |
|
||
|
системи...……………………………………………………...... |
142 |
|
§8. Кінетичний момент твердого тіла, що обертається навколо |
|
||
198
нерухомої осі...……………………………………………...... |
144 |
§9. Моменти інерції деяких тел...............………………………… |
145 |
§10. Моменти інерції відносно паралельних осей...……................ |
147 |
§11. Приклад рішення задачі з застосуванням теореми про |
|
кінетичного моменту механічної системи...….......………...... |
148 |
§12. Робота сили...….……………………………………………...... |
149 |
§13. Приклади обчислення роботи...……….……………………...... |
150 |
§14. Теорема про зміну кінетичної енергії точки...……................. |
154 |
§15. Теорема про зміну кінетичної енергії механічної |
|
системи...……………………………………………………...... |
156 |
§16. Кінетична енергія твердого тіла в різних випадках |
|
руху...………………………………………….........…………… 157 |
|
§17. Приклад рішення задачі з використанням теореми про |
|
зміні кінетичної енергії……………..............……………….... |
160 |
Глава III . Елементи аналітичної механіки |
|
§1. Зв'язку...……………………………………………………...... |
164 |
§2. Ідеальні зв'язки...……………………………………………… |
166 |
§3. Принцип можливих переміщень...…...……………………… |
168 |
§4. Приклад рішення задачі з використанням принципу можливих переміщень...……………………………………...... 170
§5. Визначення реакцій зв'язків за допомогою принципу можливих переміщень...……………………………………...... 171
§6. Принцип Даламбера...………………………………………...... 173 §7. Головний вектор і головний момент сил інерції...…………… 174 §8. Визначення динамічних реакцій..........……………………...... 176 §9. Загальне рівняння динаміки...………………………………...... 177 §10. Узагальнені координати...…..………………………………...... 180 §11. Узагальнені сили...…………………..………………………...... 182 §12. Умови рівноваги в узагальнених силах...…………………...... 185 §13. Рівняння Лагранжа...…………………...……………………...... 187 §14. Приклад рішення задачі з застосуванням рівнянь Лагранжа.... 188
Література, що рекомендується................................. 193
Д О Д А Т К И
Додаток 1. Проекція вектора на вісь……………………....…. 194 Додаток 2. Проекція вектора на площину...……....…….......... 198
199