Курс теоретической механики 2007 (Рус)
.pdfОДЕССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ
В.М.ФОМИН, И.П.ФОМИНА
КУРС ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ методическое пособие для студентов заочной формы обучения
Одесса-2007
Утверждено редакционно-издательским
советом ОГАСА
Составители: канд.техн. наук, доц. В.М.Фомин ассистент И.П.Фомина
Рецензенты: доктор техн. наук, проф. Кириллов В.Х. канд. техн. наук, доц. Гитерман Д.И.
2
В В Е Д Е Н И Е
_____________________________________________________________
Теоретическая механика – это наука об общих законах движения и равновесия тел. Под движением в теоретической механике понимается изменение положения тел в пространстве и времени.
Время в теоретической механике считается абсолютным, т.е. протекающем одинаково во всех системах отсчета. Свойства пространства, в котором происходит движение тел, полагаются независимыми от тел и одинаковыми во всех точках пространства и во всех направлениях, т.е. оно считается однородным и изотропным. Это означает, что теоретическая механика базируется на представлениях классической (ньютоновской) механики.
Теоретическая механика, как и классическая механика вообще, лишь приближенно отражают свойства окружающего мира, так как свойства пространства и времени, а так же свойства тел, как это выяснилось в первой половине двадцатого века и было отражено в теории относительности, зависят от движения самих тел. Однако для решения задач, в которых рассматриваются тела, движущиеся со скоростями, далекими от скорости света (а так это обстоит в подавляющем большинстве практических случаев), ее результаты оказываются вполне приемлемыми для технических расчетов.
Теоретическая механика является естественной наукой, опирающейся на результаты опыта. Это проявляется в формулировках аксиом, на которых она базируется. Кроме того, в ней широко используется математический аппарат при выводе результатов и использовании их при решении практических задач.
Основными объектами теоретической механики являются материальные точки, абсолютно твердые тела и их системы. Однако ее законы и результаты широко используются во многих технических дисциплинах (сопротивлении материалов, теории упругости,
3
строительной механике, механике жидкости и газа) при решении разнообразных технических задач.
Теоретическая механика состоит из трех разделов: статика, кинематика и динамика.
Встатике изучаются условия равновесия тел и взаимодействия тел при равновесии.
Вкинематике изучается движение тел с геометрической точки зрения, т.е. вне зависимости от сил, действующих на эти тела.
Вдинамике изучается движение тел в зависимости от сил, действующих на тела.
4
Ч А С Т Ь I. С Т А Т И К А
_____________________________________________________________
Г Л А В А I
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И АКСИОМЫ СТАТИКИ
§ 1. Абсолютно твердое тело
Тело называется абсолютно твердым, если расстояние между любыми двумя точками его остается неизменным.
Это означает, что в процессе движения форма тела не изменяется, т.е. такое тело является недеформируемым. Действительно, если тело испытывает, например, растяжение, то всегда найдутся такие точки тела, расстояние между которыми увеличивается. Если же тело испытывает сжатие, то всегда найдутся точки тела, расстояние между которыми уменьшается и т.д. В природе недеформируемых тел не существует. Понятие же абсолютно твердого тела является абстрактным понятием, т.е. полученным в результате пренебрежения деформаций тела при движении для более четкого изучения самого движения тела как такового.
§ 2. Сила.
Понятие о силе относится к числу неопределимых или базовых понятий.
Дело в том, что каждое понятие вводится через некоторую
|
совокупность других понятий. В |
||||
|
свою очередь, эта совокупность |
||||
|
определяется через еще какую-то |
||||
|
другую совокупность понятий и |
||||
|
т.д. Если продолжать двигаться в |
||||
|
этом |
направлении, |
то |
в |
|
|
результате |
приходим |
к |
||
|
некоторым |
первичным, |
базовым |
||
|
понятиям, которые не могут быть |
||||
|
определены через какие-либо |
||||
|
другие. Понятие о силе как раз |
||||
Рис.1 |
относится к таким. |
|
|
||
5
Силы возникают в результате взаимодействия тел, т.е. источником всякой силы является некоторое тело. Сила выступает мерой воздействия одного тела на другое и поэтому характеризуется:
1.величиной,
2.направлением,
3.точкой приложения,
т.е. сила является приложенным вектором. В международной системе единиц измерения физических величин сила измеряется в ньютонах (Н).
Векторные величины, в частности силы, будем обозначать латинскими буквами, напечатанными жирным шрифтом, а их величины − те ми же буквами, но напечатанными обычным шрифтом.
§ 3. Момент силы относительно оси.
Для характеристики вращающей способности силы относительно оси вводится специальная величина, именуемая
моментом силы относительно оси.
Моментом mz(F) силы F относительно оси z называется
число, которое определяется по следующему правилу: |
|
|||
|
1. |
проводим плоскость Π, |
||
|
перпендикулярную оси, |
|||
|
2. |
проектируем силу на |
||
|
эту плоскость, |
|
||
|
3. |
находим точку пересе- |
||
|
чения оси и плоскости и про- |
|||
|
водим из этой точки перпенди- |
|||
|
куляр |
на |
линию |
действия |
|
проекции силы, |
|
||
|
4. |
умножаем длину h это- |
||
|
го перпендикуляра на величину |
|||
|
F/ проекции силы, |
|
||
|
5. |
приписываем |
этому |
|
|
произведению знак |
«плюс», |
||
Рис.2 |
если с |
положительного на- |
||
|
правления оси видно, что сила |
|||
создает вращение вокруг оси против часовой |
стрелки, |
и знак |
||
«минус» в противном случае. |
|
|
|
|
6
Таким образом, получаем
mz (F) = ±F / h .
Свойства момента силы относительно оси.
1.Если линия действия силы параллельна оси, то момент силы относительно оси равен нулю.
Рис.3
Действительно, в этом случае проекция F/ силы F на плоскость Π равна нулю (см. Добавление 2).
2.Если линия действия силы пересекает ось, то момент силы относительно оси равен нулю.
Рис.4
7
Проведем плоскость, перпендикулярную оси, прямо через точку О пересечения линии действия силы и оси. Легко видеть, что в этом случае линия действия проекции силы также проходит через точку О. Поэтому длина перпендикуляра h, опущенного из этой точки на линию действия F/, равна нулю, а, следовательно, равен нулю и mz (F).
3.Если сила лежит в плоскости, перпендикулярной оси, то момент силы относительно оси определяется по более простому правилу:
1)находим точку пересечения оси и плоскости,
2)из этой точки проводим перпендикуляр на линию действия силы,
3)умножаем длину перпендикуляра h (которая называ-
ется плечом) на величину силы F,
4) выбираем знак в соответствии с пунктом 5 определения момента.
Таким образом, момент силы Рис.5 относительно оси определяется
в этом случае по формуле
mz (F) = ±Fh .
Это очевидно, так как в этом случае F/ = F.
§ 4. Момент силы относительно полюса
Будем называть полюсом некоторую неподвижную точку пространства.
Моментом mo(F) силы F относительно полюса O называется вектор, который
1)приложен в полюсе,
2)перпендикулярен плоскости, в которой лежат линия действия силы и полюс,
3)направлен в ту сторону, откуда видно, что сила создает вращение относительно полюса против часовой стрелки,
4)по абсолютной величине равен произ ведению величины силы
8
на плечо, т.е. на длину перпендикуляра h, опущенного из полюса на линию действия силы:
| mo (F) |= Fh .
Рис.6
Свойства момента силы относительно полюса:
1. Если линия действия силы проходит через полюс, то момент силы относительно полюса равен нулю.
Очевидно, что в этом случае длина перпендикуляра, который должен быть проведен из полюса на линию действия силы, равна нулю. Отсюда и следует равенство нулю самого момента.
Рис.7
2. Момент силы относительно полюса не изменяется при переносе силы вдоль ее линии действия.
Это объясняется тем, что при таком переносе плоскость, в которой расположены линия действия силы и полюс, остается неизменной. Остаются неизменными также плечо h и направление вращения, создаваемого силой (рис.8).
Рис.8
9
3.Геометрическая сумма моментов двух прямопротивоположных сил относительно любого полюса равна нулю.
Прямопротивоположными (сокращенно п.п.с.) называются силы, лежащие на одной прямой, направленные в противоположные стороны и равные по величине (рис.9).
Моменты прямопротивоположных сил F1 и F2 лежат на одной прямой и направлены в противоположные стороны, так как они перпендикулярны одной и той же плоскости, а вращения создаваемые силами противоположны (рис.9). Величины же моментов равны, так как равны величины сил. Поэтому можно записать равенство mo (F1 ) = −mo (F2 ) , откуда следует равенство нулю геометрической суммы моментов.
Рис.9
§ 5. Представление момента силы относительно полюса в виде векторного произведения
Радиус-вектором точки А называется вектор r , соединя-
ющий полюс O с этой точкой (рис.10).
Теорема. Момент силы относительно полюса равен векторному произведению радиус-вектора точки приложения силы
на силу, т.е. |
|
mo (F) = [r, F] . |
(1) |
Доказательство. Убедимся, что равенство (1) справедливо. Для этого надо показать, что векторы, стоящие в левой и правой частях равенства, имеют одинаковые величины и одинаковые направления.
Из определения момента силы относительно полюса имеем
| mo (F) |= Fh . |
(2) |
По определению векторного произведения
10