Курс теоретической механики 2007 (Рус)

Аналогично, проектируя равенство (14) на оси координат, будем иметь

т.е. проекции ускорения точки на оси координат равны вторым

производным соответствующих координат по времени.

Абсолютная величина ускорения определяется по формуле

а направление определяется направляющими косинусами

a&x&2 + &y&2 + &z&2

§7. Определение скорости при естественном способе задания

движения точки

Запишем формулу (10) в следующем виде:

Предел отношения длины хорды | MM1 |

к длине стягиваемой ею дуги кривой s (рис.8) равен единице при s→0, а предельное положение секущей совпадает с положением касательной, то

где τ – единичный вектор (орт) касательРис.8 ной к кривой, направленной в сторону возрастания натуральной координаты s.

61

Учитывая, что s→0 при t→0, получаем

где Vτ - проекция скорости на направление касательной. Заметим, что

где знак плюс ставится в случае совпадения направления скорости и положительного направления касательной и знак минус в противном случае. Поэтому проекция скорости на направление касательной Vτ носит еще название алгебраической величины скорости. Тогда (24) запишется так:

Алгебраическая величина скорости равна производной натуральной координаты по времени. Если алгебраическая

величина скорости положительна, то направление скорости совпадает с направлением касательной, в противном случае – направление скорости противоположно направлению касательной.

§ 8. Кривизна линии

Углом смежности θ отрезка кривой ММ1 называется угол между двумя касательными к этой кривой – в начале М и конце М1

62

кривой при стремлении длины дуги отрезка к нулю:

Радиусом кривизны линии называется величина , обратная

Кривизна окружности. В качестве примера найдем кривизну окружности (рис.10). Заметим, что угол смежности дуги ММ1 окружности и центральный угол МОМ1 , опирающийся на эту дугу, равны друг другу как углы с взаимно перпендикулярными сторонами. Поэтому между длиной дуги ММ1 и углом смежности θ существует зависимость

Рис.10

s = θR .

Тогда средняя кривизна на отрезке ММ1 равна

kcp = θ = 1 ,

sR

которая не зависит от длины дуги s. Поэтому в пределе получаем

k = 1 . R

Отсюда следует, что для окружности ρ = R . Таким образом,

кривизна окружности одинакова во всех ее точках и равна величине, обратной радиусу. Радиус кривизны окружности равен ее радиусу.

§ 9. Естественный трехгранник

Пусть τ – касательная, проведенная в некоторой точке М пространственной кривой (рис.11). Проведем касательную τ1 в точке М1 , расположенную недалеко от точки М (мы будем называть ее соседней точкой). Проведем через касательную τ плоскость П, параллельную касательной τ1 . При стремлении точки М1 к точке М плоскость будет поворачиваться вокруг неподвижной касательной τ.

Предельное положение плоскости, проведенной через касательную в данной точке параллельно касательной в соседней

63

точке, при стремлении соседней точки к данной называется соприкасающейся плоскостью к кривой в данной точке.

Заметим, что если кривая лежит в плоскости (как например, окружность или парабола), то соприкасающаяся

через касательную и бинормаль, называется спрямляющей.

Три плоскости – соприкасающаяся, нормальная и спрямляющая

– образуют естественный трехгранник.

§ 10. Производная орта касательной по натуральной координате

Орт касательной τ зависит от направления касательной в точке М, положение которой определяется натуральной координатой s. Таким образом, орт касательной является функцией натуральной координаты: τ = τ (s). Обозначим через τ1 орт касательной, проведенной в точке М1 кривой с натуральной координатой s1 = s + s, т.е.

τ1 = τ ( s + s ).

64

θ → 0 при s → 0. Следовательно, предельный вектор dτ/ds перпендикулярен касательной, т.е. направлен вдоль главной нормали, причем в положительном ее направлении. Остается найти его величину. Из треугольника АМВ имеем

предел).

Учитывая и величину, и направление вектора dτ/ds, можно

где n – орт главной нормали.

§ 11. Определение ускорения при естественном способе задания движения точки

Дифференцируя (27) по времени, получаем

65

Представим dτ/dt в следующем виде:

ускорение равно геометрической сумме двух составляющих:

Проекции ускорения на касательную (касательное ускорение) и главную нормаль (нормальное ускорение) определяются по формулам

66

§12. Некоторые частные случаи движения точки

1.Равномерное движение.

Равномерным называется движение точки с постоянной алгебраической скоростью.

Таким образом,

(so – натуральная координата движущейся точки при t = 0), т.е.

закон равномерного движения точки представляет собой линейную функцию времени.

Найдем касательное ускорение точки

aτ = dVτ = 0 , т.е. dt

касательное ускорение точки при равномерном движении равно нулю.

2.Равнопеременное движение точки.

представляет собой квадратичную функцию времени.

Заметим, что если aτ > 0, то движение точки называется равноускоренным, если же aτ < 0, движение точки называется

равнозамедленным.

67

§13. Примеры

1.Определение скорости и ускорения точки при координатном способе задания движения.

Даны уравнения движения точки

x = 2cos2t + 3 (м); y = 4sin 2t (м) ( t – в секундах)

Необходимо найти уравнение траектории и построить ее на чертеже, а также для момента времени t = π / 4 с найти положение движущейся точки М, скорость и ускорение ее и построить их на чертеже. Кроме того, необходимо найти касательное и нормальное ускорения точки М, а также радиус кривизны траектории в том месте, где находится точка

М.

Решение. Для определения уравнения траектории точки необходимо исключить параметр t из уравнений движения. Используем основное тригонометрическое тождество

sin2 2t + cos2 2t = 1

Из первого уравнения движения имеем cos2t = x − 3 , а из второго

68

равны

Vx = x& = −4sin 2t,

Vy = y& = 8cos 2t .

При t = π/4 с они принимают следующие значения:

Vx = −4sin(π / 2) = − 4 м/с

Vy = 8cos(π / 2) = 0 .

Модуль скорости равен

V = Vx2 +Vy2 = 4м / с .

На чертеже строим составляющие скорости Vx и Vy ,

параллельные осям координат и имеющие найденные выше величины. Вектор V равен геометрической сумме Vx и Vy . В рассматриваемом

случае V = Vx .

Проекции ускорения точки М на оси координат равны

ax = &x& = −8cos2t, ay = &y& = −16sin 2t .

параллельные осям координат и имеющие найденные выше величины. Вектор a равен геометрической сумме ax и ay . В рассматриваемом

здесь случае a = ay . Дифференцируя формулу

V = Vx2 +Vy2

по времени и используя (37) и (20), находим, что

aτ = (Vxax + Vxay ) /V .

69

В рассматриваемом случае aτ = [−4 0 + 0 (−16)]/ 4 = 0 .

2. Определение скорости и ускорения точки при естественном способе задания движения.

Пример. Точка М движется по траектории, изображенной на рисунке.

Длина прямолинейного отрезка l=4π м, радиус криволинейной части траектории R=8м. Закон движения точки по

нормальное и полное ускорения точки при t=1c и при t=2с.

Рис.16

Решение. Находим положение точки при t=1с. Для этого подставляем это значение в закон движения. Получаем s = 2π = l / 2 . Таким образом, точка находится посредине прямолинейного участка траектории.

Находим алгебраическую величину скорости по формуле

ds

Vτ = dt = 4πt .

При t=1с получаем V =|Vτ |= 4π м/с. Так как точка движется вдоль прямой линии, то нормальное ускорение ее равно нулю: an = 0 и полное ускорение совпадает с касательным:

70