Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Курс теоретической механики 2007 (Рус)

.pdf
Скачиваний:
37
Добавлен:
10.02.2016
Размер:
9.59 Mб
Скачать

§10. Обобщенные координаты

Независимые параметры q1, q2, …,qs , однозначно определяющие

положение механической системы, называются обобщенными координатами, а их количество s числом степеней свободы

системы.

Примеры.

1. Свободная материальная точка. Ее положение однозначно определяется тремя координатами x,y,z, т.е.

q1 = x, q2 = y, q3 = z,

ачисло степеней свободы s = 3.

2.Материальная точка, движущаяся вдоль поверхности.

Положение точки на поверхности определяется двумя криволинейными координатами ξ и η (рис.57). Таким образом,

q1 = ξ, q2 = η, s = 2.

Рис.57

3.Материальная точка, движущаяся вдоль линии. В этом

случае положение точки определяется одним параметром натуральной координатой ξ (рис.58), т.е.

q1 = ξ, s = 1.

Рис.58

Вышеприведенные примеры являются иллюстрацией следующего факта:

181

Теорема. Наложение на механическую систему т<s

стационарных геометрических удерживающих связей уменьшают

число ее степеней свободы s на т единиц.

Доказательство. Если механическая система имеет s степеней свободы, то это означает, что ее положение однозначно определяется s независимыми параметрами qi (I = 1,2,…,s), т.е. координаты ее точек являются функциями этих параметров

xk =xk (q1 ,q2 ,…,qs ) , yk =yk (q1 ,q2 ,…,qs ) , zk =zk (q1 ,q2 ,…,qs ),

(k = 1,2,…,n)

(192)

(п – число точек механической системы).

 

Пусть теперь на систему наложено дополнительно т<s

стационарных геометрических удерживающих связей

 

f1 (x1 , y1 , z1

,…, xn , yn , zn) = 0

 

f2 (x1 , y1 , z1

,…, xn , yn , zn) = 0

(193)

………………………………..

 

fm (x1 , y1 , z1 ,…, xn , yn , zn) = 0

 

Подставив равенства (192) в уравнения (193), получим

 

φ1 (q1 ,q2 ,…,qs ) = 0

 

φ2 (q1 ,q2 ,…,qs ) = 0

(194)

……………………

 

φm (q1

,q2 ,…,qs ) = 0

 

Равенства (194) можно рассматривать как систему из т алгебраических уравнений, при помощи которых т из s параметров q1,q2 ,…,qs можно выразить через остальные sт. Таким образом, независимыми остаются только sт параметров, а это и означает, что новое число степеней свободы s1 = sт, что и требовалось доказать.

4. Тело, имеющее неподвижную ось вращения. В этом случае положение тела определяется одним параметром угловой координатой φ (см. §2 главы II части II). Таким образом, для такого тела

q1 = φ, s = 1.

5.Плоская фигура, перемещающаяся в своей плоскости.

Вэтом случае три независимых параметра определяют положение

фигуры (§1 главы IV части II) координаты х0А и у0А точки А плоской

182

фигуры и угловая координата φ, определяющая положение плоской фигуры относительно осей х и у, проходящих через точку А (рис.59).

Таким образом, для плоской фигуры

q1 = х0А , q2 = y0А , q3 = φ,

число степеней свободы s = 3.

Рис.59

6. Твердое тело, имеющее неподвижную точку. Три независимых параметра определяют положение такого тела углы Эйлера θ, φ и ψ (§1 главы V части II). Таким образом,

q1 = θ , q2 = φ , q3 = ψ,

число степеней свободы s = 3.

7. Свободное твердое тело. Шесть независимых параметров определяют положение тела в этом случае три координаты точки А тела и три угла Эйлера, определяющие положение тела относительно осей проходящих через эту точку (§4 главы V части II). Таким образом,

q1 = х0А , q2 = y0А , q3 = z0А, q4 = θ , q5 = φ , q6 = ψ,

число степеней свободы s = 6.

§11. Обобщенные силы

Рассмотрим механическую систему с s степенями свободы, состоящую из п материальных точек М1, М2, …, Мп , на которые действуют силы F1, F2, …, Fп . Элементарная работа сил определяется по формуле

183

n

 

dA = (Fk , drk ) .

(195)

k=1

Положения точек системы, а значит, и их радиус-векторы определяются значениями обобщенных координат:

rk = rk (q1 ,q2 ,…,qs ) (k = 1,2,…,n).

(196)

Дифференциалы функций (196) определяются по формулам

drk = s rk dqi (k = 1,2,…,n).

i=1 qi

Подставляя их в (195) и меняя местами суммирования по k и по I, будем иметь

 

 

s

n

 

rk

 

 

 

dA = dqi (Fk ,

) .

(197)

 

q

i

 

i=1

k=1

 

 

 

 

 

Введем обозначения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

rk

 

 

 

 

 

 

Qi

= (Fk ,

 

) .

 

 

(198)

 

q

i

 

 

 

 

 

k=1

 

 

 

 

 

 

 

Тогда (197) запишется так

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s

 

 

 

 

 

 

 

dA = Qi dqi .

 

 

(199)

 

 

i=1

 

 

 

 

 

 

Величина Qi

называется обобщенной

 

силой, соответствующей

обобщенной координате qi

(I = 1,2,…,s). Из формулы (199) следует,

что обобщенная

сила

Qi

, соответствующая

обобщенной

координате qi это множитель при элементарном приращении

этой обобщенной координаты в выражении элементарной работы действующих на систему сил.

Примеры.

1. Свободная материальная точка. Пусть на точку действует сила F. Элементарная работа силы вычисляется по формуле

dA = Fx dx + Fy dy + Fz dz.

В соответствии с примером 1 предыдущего параграфа q1 = x, q2 = y, q3 = z. Тогда

184

dA = Fx dq1 + Fy dq2 + Fz dq3.

Сопоставляя это равенство с (199), заключаем

Q1 = Fx , Q2 = Fy , Q3 = Fz ,

т.е. обобщенные силы равны проекциям силы, действующей на

точку, на оси координат.

2. Тело, имеющее неподвижную ось вращения. В соответствии с формулой (131) §13 главы II части III имеем

dA = Mz dφ,

где Mz сумма моментов сил, действующих на тело, относительно оси вращения. Учитывая, что q1 = φ, делаем вывод, что обобщенная сила

для тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, является сумма моментов сил, действующих на тело, относительно оси вращения.

3. Плоская фигура, двигающаяся в своей плоскости. В

соответствии с формулой (133) (§13 главы II части III) имеем

dA = Mz dφ + (R , dΑ ),

(200)

n

 

где M z = mz (Fk ) , R главный вектор плоской

системы сил

k=1

 

{F1,F2,…,Fn}, действующих на фигуру, dΑ вектор элементарного перемещения точки А.

Второе слагаемое в правой части может быть записано так

(R , dА ) = Rx dxА +Ry dyА .

Подставляя в (200), получим

dA = Mz dφ + Rx dxА +Ry dyА .

Так как q1 = xА , q2 = yА , q3 = φ, то

185

n

n

 

Q1 = Rx = npx Fk , Q2 = Ry = npy Fk ,

 

k=1

k=1

(201)

 

 

n

Q3 = M z = mz (Fk ).

k=1

§12. Условия равновесия в обобщенных силах

Теорема. Для того чтобы механическая система, подчиненная идеальным, стационарным, геометрическим, удерживающим связям, находилась в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы все обобщенные силы равнялись нулю:

Qi = 0 (I = 1,2,…,s).

(202)

Доказательство. В соответствии с принципом возможных перемещений, необходимым и достаточным условием равновесия механической системы, подчиненной идеальным, стационарным, геометрическим, удерживающим связям, является равенство

n

 

δA = (Fk , δrk ) = 0 ,

 

k=1

 

которое согласно формуле (199) может быть записано так

 

s

 

δA = Qi δqi = 0.

(203)

i=1

Здесь δqi элементарное (бесконечно малое) приращение обобщенной координаты qi . Заметим, что каждое такое приращение придает системе возможное перемещение, так как оно соответствует наложенным связям.

Пусть система находится в равновесии. Придадим системе возможное перемещение, при котором δq1 ≠ 0, остальные δqi = 0 (I = 2,3,…,s). Тогда из (203) получаем

Q1 = 0.

Придадим теперь системе возможное перемещение, при котором δq2 ≠ 0, остальные δqi = 0 (I = 1,3,…,s). Из (203) находим

Q2 = 0.

186

Продолжая так же действовать и далее, получим

Qi = 0 (I = 3,4,…,s).

Таким образом, из равновесия системы следует (202). Допустим теперь, что выполнены равенства (202). Тогда из (203)

следует, что каковы бы ни были δqi (I = 1,2,…,s), т.е. каково бы ни было возможное перемещение системы δА = 0, а значит, система находится в равновесии. Таким образом, из выполнения равенства (202) следует равновесие системы.

Теорема доказана.

 

Пример. В качестве примера выведем

 

условия равновесия плоской системы

 

сил. Плоская фигура находится под

 

действием системы сил {F1 , F2 , …, Fn},

 

лежащей в плоскости фигуры. Проведем

 

оси х и у в этой плоскости, а ось z

 

перпендикулярно ей. Как

показано в

 

предыдущем

параграфе,

обобщенными

 

силами являются следующие величины

Рис.60

 

 

 

 

n

 

 

Q1 = Rx = npx Fk ,

 

 

k=1

 

 

 

n

 

 

Q2 = Ry = npy Fk ,

 

 

k=1

 

 

 

n

 

 

Q3 = M z = mz (Fk ),

 

 

k=1

 

 

приравнивая которые нулю, получаем уравнения равновесия

n

n

n

 

npx Fk = 0,

npy Fk = 0,

mz (Fk ) = 0,

k=1

k=1

k=1

 

совпадающие с известными уравнениями статики для плоской системы сил.

187

§13. Уравнения Лагранжа

Как отмечалось в §6 настоящей главы добавление сил инерции Jk (k = 1,2,…,n) к силам Fk (k = 1,2,…,n) , действующим на точки механической системы, приводит к расширенной системе сил, удовлетворяющей условиям равновесия. Очевидно, обобщенные силы

Qip (I = 1,2,…,s) расширенной системы сил удовлетворяют равенствам

Qip = Qi + Qiu ,

где Qi обобщенные силы сил Fk (k = 1,2,…,n) , а Qiu обобщенные

силы инерции, которые могут быть найдены преобразованием, аналогичным приведенному в §11:

 

n

rk

 

 

u

= (Jk ,

) (I = 1,2,…,s).

 

Qi

 

 

(204)

q

i

 

k=1

 

 

 

Если связи, наложенные на систему, являются идеальными, стационарными, геометрическими и удерживающими, то согласно предыдущему параграфу при движении системы должны выполняться следующие равенства:

Q

i

+ Qu = 0 (I = 1,2,…,s).

(205)

 

i

 

Силы инерции точек механической системы определяются равенствами

 

 

 

 

 

J

 

= −m

 

a

 

= −m

 

 

dVk

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

k

k

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставив их в (204), будем иметь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

dVk

 

 

rk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Qiu

= mk

(

 

,

) .

 

 

 

 

 

 

 

(206)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k=1

 

 

 

 

 

dt

 

 

qi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Нетрудно убедиться в том, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

dVk

,

rk

) =

d

 

(V

 

,

 

rk

)

(V

 

 

,

d

(

rk

)) .

(207)

 

 

 

 

k

 

 

k

 

 

 

 

dt

q

i

 

dt

 

 

 

 

 

q

i

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

q

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пользуясь правилом Лопиталя, находим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r&

 

 

 

 

r&

 

 

V

k

 

 

 

 

k

=

lim

 

k

 

=

 

lim

 

 

 

 

k

 

=

 

 

 

k

=

 

 

 

.

(208)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

qi

 

q

0

 

qi

 

 

 

 

q

 

0

 

 

&

 

 

 

 

&

 

 

 

&

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

&

i

 

 

 

qi

 

 

 

 

qi

 

 

qi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заметим, что в результате перестановки порядка дифференцирования можно получить следующее равенство

188

d

(

rk

) =

(

drk

) =

Vk

.

(209)

 

 

 

 

 

dt

qi

qi dt

qi

 

Подставив (208) и (209) в (207), получаем

(

dVk

,

rk

) =

d

(V

 

,

Vk

) (V

 

,

Vk

) .

(210)

 

 

 

k

 

k

 

 

dt qi

dt

 

&

 

 

qi

 

 

 

 

 

qi

 

 

 

 

 

Заметим попутно, что q&i (I = 1,2,…,s) носят название обобщенных скоростей.

Дифференцирование квадрата скорости Vk по qi и q&i дает

 

 

 

 

V

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

=

 

 

 

 

 

 

(V

 

,V

 

)

= 2(V

 

,

 

 

 

),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q

 

 

k

k

k

q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q

i

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

=

 

 

 

 

 

 

(V

 

,V

 

)

= 2(V

 

,

 

 

 

).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

k

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

&

 

 

 

 

&

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

&

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

qi

 

 

qi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

qi

 

 

 

 

 

 

 

 

В результате подстановки их в (210) будем иметь

 

 

 

 

 

 

 

 

dV

k

 

 

r

k

 

 

 

 

 

d

 

1 V 2

 

 

 

1 V 2

 

 

 

 

 

 

 

(

 

 

 

,

 

 

 

) =

 

 

 

(

 

 

 

k

 

)

 

 

 

 

 

 

k

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 qi

 

 

 

 

 

 

 

 

dt qi

 

 

 

 

 

 

&

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt 2 qi

 

 

 

 

 

 

 

Остается подставить это выражение в (206):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

T

 

Qiu =

d

(

 

 

mkVk

)

 

 

 

mkVk

=

 

d

(

 

)

. (211)

 

 

&

 

 

 

 

 

 

 

 

&

 

 

dt

qi k=1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

qi k=1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

dt

qi

qi

(Т – кинетическая энергия механической системы).

Сучетом (211) равенства (205) принимают следующий вид:

d

(

T

)

T

= Q

 

(I = 1,2,…,s).

(212)

 

 

 

i

dt

&

 

qi

 

 

qi

 

 

 

Эти уравнения представляют собой дифференциальные уравнения

движения механической системы в обобщенных координатах или уравнения Лагранжа.

§14. Пример решения задачи с применением уравнений Лагранжа

Задача. Механическая система (рис.61) состоит из двух грузов 1 и 2 одинаковой массы т1 и трех блоков 3,4 и 5 одинаковой массы т2 и радиуса r, один из которых подвижный, а остальные неподвижные.

189

Через блоки переброшена веревка так, как показано на рисунке. К одному концу ее прикреплен груз 1, а к другому груз 2. Найти ускорения грузов , пренебрегая весом веревки и трением на осях. Система начинает движение из состояния покоя.

Решение. Рассматриваемая механическая система имеет две степени свободы. Выберем в качестве обобщенных координат смещения х1 и х2 грузов 1 и 2 из начального положения. Тогда уравнения Лагранжа будут иметь вид

d

(

T

)

 

T

 

= Q

,

 

 

 

 

 

 

dt

&

 

 

1

 

 

x1

x1

 

(213)

d

 

T

 

 

T

 

 

(

)

 

= Q

 

.

 

 

 

2

dt

&

 

 

 

x2

 

x2

 

 

 

Найдем обобщенные силы Qj (j =1,2). Придаем сначала механической системе возможное перемещение, при котором х1 получает приращение δх1, т.е. груз 1 перемещается вверх на δх1, а х2 остается неизменным,

Рис.61 т.е. груз 2 остается на месте. При этом точка А подвижного

блока перемещается вниз на δх1 , а точка В остается на месте. Поэтому точка С перемещается вниз на δх1 / 2 . Работа активных сил на этом перемещении равна

δA1 = Р1 δх1

+

P2δx1

= (

m2

m )gδx .

 

 

 

 

2

2

1

1

 

 

 

Поэтому

 

 

 

 

 

 

 

 

Q1

= (

m2

m )g .

 

(214)

 

 

 

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Придаем теперь системе другое перемещение, при котором х1 остается неизменным (т.е. груз 1 остается на месте), а х2 получает приращение δх2 , т.е. груз 2 перемещается влево на δх2 . При этом точка В подвижного блока перемещается вниз на δх2 , а точка А остается на месте. Поэтому точка С перемещается вниз на δх2 / 2 . Работа активных сил на этом перемещении равна

δA2

=

P2δx2

=

m2

gδx

2 .

 

 

 

2

2

 

 

190

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.