Курс теоретической механики 2007 (Рус)

Пример. Движение материальной точки по поверхности Земли.

В качестве примера изучения относительного движения точки рассмотрим ее движение по поверхности Земли (рис.16). Пусть точка движется в северном полушарии в меридиональном направлении с юга на север. Легко убедиться, используя правило Жуковского построения кориолисова ускорения, что кориолисова сила инерции будет иметь направление, указанное на чертеже, т.е. вправо по отношению к

.

131

2) Главный момент внутренних сил относительно любого полюса равен нулю.

Доказывается аналогично.

§2. Центр масс механической системы. Теорема о движении центра масс

Массой механической системы называется сумма масс точек, образующих эту систему:

n

M = ∑mk .

k=1

Центром масс механической системы называется геометрическая точка, радиус-вектор которой определяется по формуле

Рис.18

(здесь xk ,yk ,zk - координаты точки Mk ).

Умножим числители и знаменатели формул (75) на ускорение свободного падения тел g. В результате будем иметь

133

Нетрудно убедиться в том, что это формулы для координат центра тяжести механической системы, находящейся в однородном поле сил тяжести (см. §3 главы IV раздела «Статика»).

Таким образом, если механическая система находится в

однородном поле сил тяжести, то ее центр масс совпадает с центром тяжести

Теорема о движении центра масс. Центр масс механической системы движется как некоторая материальная точка, масса которой равна массе механической системы и на которую действуют внешние силы, приложенные к точкам механической

системы.

Доказательство. Запишем равенство (74) в следующем виде

n

Mrc = ∑mk rk ,

k=1

ипродифференцируем левую и правую части ее по времени дважды

134

Но по свойству внутренних сил

Ri = 0,

и получаем окончательно

произведение массы системы на ускорение ее центра масс равно главному вектору внешних сил.

Возьмем теперь материальную точку Мо с массой, равной массе механической механической системы, и приложим к ней внешние силы, действующие на точки механической системы (рис.20).

Составив для этой точки основное уравнение динамики, получим

Ma = Re.

(а – ускорение упомянутой выше точки). Сопоставив это с (77), приходим к выводу, что ас = а, откуда и следует формулировка теоремы о движении центра масс.

Рис.20

Следствия.

1)Внутренние силы не влияют на движение центра масс.

2)Если главный вектор внешних сил равен нулю в течение

некоторого промежутка времени, то центр масс системы движется равномерно и прямолинейно либо находится в

состоянии покоя в течение этого промежутка.

Доказательство. Из равенства Re = 0 следует aC = 0. Последнее

может быть записано так dVc = 0 , откуда вытекает, что Vс = const. dt

Неизменность направления скорости центра масс означает его движение по прямой, а неизменность ее величины – равномерность этого движения.

§3. Пример решения задачи с применением теоремы о движении центра масс

135

Задача. Понтонный кран поднимает груз массой m1 = 1000кг. Угол наклона стрелы, перемещающейся в вертикальной плоскости, изменяется от φο = 30о до φ1 = 90о (рис.21). Считая стрелу однородным прямолинейным стержнем длиной l = 10 м и массой m2 = 1000 кг, определить перемещение понтона массой m3 = 25000 кг, если в начальный момент кран находился в покое. Сопротивлением воды пренебречь.

Решение. Рассматриваем механическую систему, состоящую из понтонного крана, стрелы и груза. На эту механическую систему действуют следующие внешние силы: вес груза Р1 , вес стрелы Р2 , вес крана Р3 и выталкивающая сила воды N. Все эти силы вертикальны.

На основании теоремы о движении центра масс можем записать

где М – масса системы, aс – ускорение центра масс, Re – главный вектор внешних сил:

Проектируем векторное равенство (78) (с учетом (79)) на ось х:

M&x&c = 0 .

Так как масса механической системы не равна нулю, то отсюда следует, что

&x&c = 0 .

Умножим это равенство на dt и проинтегрируем по t. В результате получим

В начальный момент система находилась в покое.

Рис.21 Поэтому скорость ее центра масс, а значит и ее проекция на ось х (т.е. левая часть (80)) равнялись нулю. Отсюда

следует, что С1 = 0. Таким образом, получаем

136

механической системы по времени равна главному вектору внешних сил, действующих на точки механической системы, т.е.

(90)

Доказательство. Продифференцируем (88) по времени. Так как

dV = a , то в результате будем иметь dt

но по теореме о движении центра масс Mac = Re и (91) запишется так:

dQ = Re , что и требовалось доказать. dt

Следствия.

1)Внутренние силы не влияют на изменение количества движения механической системы.

2)(закон сохранения количества движения) Если главный вектор внешних сил равен нулю в течение некоторого

промежутка времени, то количество движения механической системы не изменяется ни по величине, ни по направлению в течение этого промежутка.

Доказательство. Если Re = 0, то из теоремы следует, что dQ = 0 , dt

азначит, Q = const.

3)(закон сохранения проекции количества движения) Если сумма проекций всех внешних сил на какую-либо ось равна нулю в

течение некоторого промежутка времени, то проекция количества движения на эту ось не изменяется в течение этого промежутка.

Доказательство. Спроектируем равенство (90) на ось х. Так как операции проектирования и дифференцирования перестановочны (§1 главы I раздела II), то в результате получим

139

вию. Из (92) получаем

dQx = 0 , dt

откуда и вытекает, что Qx = const.

§5. Пример решения задачи с применением теоремы об изменении количества движения механической системы

Задача. Треугольная призма массой m2 = 5 кг располагается на гладкой горизонтальной поверхности (рис.23). Вдоль ее наклонной грани движется груз массой m1 = 1 кг с относительной скоростью V1 = 2 м/с. Определить скорость V призмы, если в начальный момент

призма и груз на ней находились в состоянии покоя.

Решение. Будем полагать, что механическая система состоит из двух тел: призмы и груза. Тогда внешними по отношению к ней являются следующие силы: вес груза Р1 и вес призмы Р2, а также нормальная реакция поверхности

Рис.23 N, на которой располагается призма. Все эти силы вертикальны. Поэтому их проекции на горизонтальную ось х равны нулю. Тогда

на основании закона сохранения проекции количества движения (см. предыдущий параграф) мы можем записать

Qx = const.

В начальный момент система находилась в покое, поэтому мы можем сделать вывод, что

в любой момент времени.

Рассмотрим движение груза как сложное: его движение относительно призмы будем считать относительным, а движение призмы переносным. Тогда абсолютная скорость груза будет равна

140