Курс теоретической механики 2007 (Рус)

Резюмируя вышесказанное, можем сформулировать следующее:

равнодействующая двух параллельных сил, направленных в одну сторону, параллельна силам, направлена в ту же сторону и по величине равна сумме величин сил. Точка приложения равнодействующей на отрезке, соединяющем точки приложения сил, делит этот отрезок в отношении, обратном отношению величин этих сил.

2. Две неравные по величине параллельные силы, направ-

лами отрезка АВ. Точка С пересечения ее с продолжением отрезка АВ определяется пропорцией

Кроме того, так как F = R = F1 + F2, то в данном случае F = F2 – F1. Итак,

равнодействующая двух неравных по величине параллельных сил, направленных в противоположные стороны, параллельна силам, направлена в сторону большей из них и по модулю равна абсо лютной вели-

Рис.19 чине разности вели-

чин сил. Точка приложения равнодействующей на продолжении отрезка, соединяющего точки приложения сил, делит этот отрезок в отношении, обратном величинам этих сил внешним образом.

3.Пара сил.

Будем рассматривать пару сил как предельный случай предыдущей системы сил, при котором модуль силы F2 стремится к модулю силы

21

F1, т.е в пропорции (16) необходимо сделать предельный переход F2 → F1. Представим ее в следующем виде:

AB + BC = F2

BC F1

и определим из нее длину отрезка ВС:

BC = AB F1 F2 − F1

Если F2 → F1, то F = F2 – F1 → 0, а ВС→ ∞, т.е. точка приложения равнодействующей уходит в бесконечность, а величина ее стремится к нулю. Это означает, что

пара сил равнодействующей не имеет.

§ 18. Отличия равнодействующей от главного вектора

Геометрическое равенство равнодействующей и главного вектора не означает, что эти понятия тождественны. Следует их различать:

1.Главный вектор существует у любой системы сил, а равнодействующая не у любой, как показывает пример 3 предыдущего параграфа.

2.Главный вектор – это свободный вектор, а равнодействующая – скользящий,

т.е. который можно перемещать вдоль линии действия. Действительно, это можно осуществить при помощи элементарных операций.

3.Главный вектор – это понятие геометрическое, а равнодействующая - физическое.

Главный вектор определяется геометрической операцией сложения сил, а равнодействующая находится при помощи элементарных операций, которые имеют определенный физический смысл (см. следующий параграф).

§19. Аксиомы статики

Ваксиомах статики формулируются простейшие условия равновесия тел, законы взаимодействия тел при равновесии, а также приводятся простейшие действия, которые не нарушают равновесия тела. Аксиомы статики являются результатом обобщения огромного количества наблюдений в процессе практической деятельности. Кроме того, результаты теории, построенной на базе этих аксиом, также

22

подверглись многолетней опытной проверке.

Следует отметить, что аксиомы статики являются следствием более общих аксиом, формулируемых в динамике.

Аксиома 1. Для того чтобы тело под действием двух сил находилось в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы эти силы были прямопротивоположными.

Рис.20

Аксиома 2 (физическое свойство элементарных операций).

Элементарные операции не нарушают равновесия тела. Следствие 1. Тело не может находиться в равновесии под

действием одной силы.

Доказательство (от противного). Пусть тело находится под действием одной силы F, приложенной в точке А. Предположим, что оно находится в равновесии. Используем первую элементарную операцию: добавим две прямопротивоположные силы Р1 и Р2, причем Р1

под действием двух сил, которые не являются прямопротивоположными, что противоречит первой аксиоме статики. Таким образом, наше предположение о том, что тело находится в равновесии неверно.

Следствие 2. Перенос силы вдоль ее линии действия из одной точки твердого тела в другую не нарушает равновесия тела.

Такой перенос может быть осуществлен при помощи элементарных операций (§13).

23

Аксиома 3 (равенство действия и противодействия). Два тела взаимодействуют при помощи прямопротивоположных сил

(рис.22).

Аксиома 4 (принцип отвердевания). Равновесие деформируемого тела не нарушится, если оно станет абсолютно твердым.

Реакциями связей называются силы, с которыми связи действуют на несвободное тело.

Аксиома 5 (принцип освобождения от связей). Несвободное тело можно рассматривать как свободное, если отбросить связи и заменить их действие на тело реакциями этих связей.

§20. Основные типы связей и их реакции.

1.Идеально гладкая поверхность.

лярно касательной плоскости к поверхности).

Это объясняется тем, что в противном случае реакция имела бы

24

составляющую в касательной плоскости, оказывающую сопротивление перемещению тела вдоль поверхности.

2. Связь с неподвижной осью вращения (неподвижный цилиндрический шарнир, подшипник).

Несвободное тело прикреплено к валу подшипника (шарнира). Соприкасающиеся поверхности вала и подшипника предполагаются цилиндрическими и идеально гладкими (рис.24а).

Рис.24

Поэтому реакция неподвижного цилиндрического шарнира

перпендикулярной оси, и раскладывается на две составляющие в этой плоскости (рис.24б).

3. Связь с неподвижным центром вращения (неподвижный сферический шарнир, подпятник).

Сферический шарнир представляет собой шар, находящийся в сферической полости (рис.25а). Такая связь оставляет неподвижным цетр шара, связанного с несвободным телом.

Соприкасающиеся Рис.25 поверхности пред-

полагаются идеально гладкими, поэтому реакция направлена вдоль нормали к сфере, т.е. вдоль ее радиуса, а значит, через центр. Кроме того, так как положение точки соприкосновения поверхностей заранее неизвестно, то неизвес-

25

4.Идеально гибкая невесомая нерастяжимая нить.

Реакция нити направлена вдоль нити и внутрь нее, так как отклонение реакции от направления нити означало бы, что нить сопротивляется изгибу, что противоречит ее идеальной гибкости(рис.27).

Рис.27

5.Абсолютно твердый невесомый прямолинейный стержень

с шарнирами на концах.

Реакция стержня направлена вдоль его оси, так как отклонение направления реакции от оси стержня означало бы наличие сил сопротивления в шарнирах, в то время в нем соприкасающиеся поверхности идеально гладкие. При этом реакция может быть направлена как внутрь стержня, так и наружу, в зависимости от того, растянут стержень или сжат (рис.28).

Рис.28

6.Шарнирно-подвижная опора.

Представляет собой комбинацию из двух типов связей: неподвижного цилиндического шарнира и идеально гладкой поверхности, вдоль которой может перемещаться шарнир. Поэтому

реакция шарнирно-подвижной опоры проходит через ось шарнира и направлена перпендикулярно Рис.29 поверхности, вдоль которой опора может пере-

26

мещаться (рис.29).

7.Жесткая заделка.

27

D, одной силой Р, приложенной в этой точке. Аналогично, перенесем, силы Q1 и Q2 вдоль их линий действия в точку С и, дважды применив третью элементарную операцию, заменим силы F3, Q1 и Q2, приложенные в точке D, одной силой Q, приложенной в этой точке. В результате остаются только две силы: Р, приложенная в этой точке D, и Q, приложенная в точке С.

Если исходная система состоит из большего, чем три, числа сил, то, выбрав любые три из них, приводим их, используя доказанный частный случай леммы, при помощи элементарных операций к двум силам. Таким образом, число сил в системе уменьшается на единицу. Так продолжаем до тех пор, пока число сил не станет равным двум.

Лемма доказана.

§ 2. Основная теорема статики (геометрические условия равновесия произвольной системы сил)

Для того чтобы тело под действием произвольной системы сил S{F1,F2,…,Fn} находилось в равновесии, необходимо и

достаточно, чтобы главный вектор и главный момент относительно произвольно выбранного полюса этой системы сил

равнялись нулю.

Докажем необходимость условий равновесия (т.е. покажем, что из равновесия тела следует равенство нулю главного вектора и главного момента системы сил, действующих на тело).

Разобьем доказательство на ряд этапов:

1. Используем основную лемму и приводим при помощи элементарных операций систему S{F1,F2,…,Fn} к системе S1{P,Q}, состоящей из двух сил. Как следует из аксиомы 2, равновесие тела при этом не нарушится.

2. Тело оказывается в равновесии под действием двух сил P и Q. Из аксиомы 1 следует, эти силы являются прямопротивоположными.

Тогда

R (S1) =P + Q = 0,

M0 (S1) = m0(P) + m0(Q) = 0

(О – произвольный полюс), причем второе равенство следует из свойства 3 момента силы относительно полюса (§4 главы I).

3.Поскольку системы S1{P,Q} и S{F1,F2,…,Fn} эквивалентны, то

29

R (S) = R (S1) = 0, M0 (S) = M0 (S1) = 0,

(что и требовалось доказать).

Докажем достаточность условий равновесия (т.е. покажем, что из равенства нулю главного вектора R системы сил, действующих на тело, и главного момента ее M0 относительно произвольно выбранного полюса О следует, что тело находится в

равновесии).

Разобьем доказательство на ряд этапов:

1. Используем основную лемму и приводим при помощи элементарных операций систему S{F1,F2,…,Fn} к системе S1{P,Q}, состоящей из двух сил. Как следует из геометрических свойств элементарных операций, главный вектор и главный момент системы сил останутся при этом неизменными, т.е.

R (S1) = R (S) = 0,

M0 (S1) = M0 (S) = 0.

2.Отсюда следует, что

P + Q =R (S1) = 0,

m0(P) + m0(Q) =M0 (S1) = 0.

Такими свойствами обладают только две прямопротивоположные силы, т.е.

S1{P,Q} – п.п.с.

3. Таким образом, тело оказалось под действием двух прямопротивоположных сил. В соответствии с аксиомой 1 оно находится в равновесии. Если осуществить обратный переход от системы S1{P,Q} к системе S{F1,F2,…,Fn} при помощи элементарных операций, то равновесие тела не нарушится, т.е. оно будет находиться в равновесии под действием системы сил S{F1,F2,…,Fn}.

Теорема доказана.

§ 3. Аналитические условия равновесия произвольной системы сил

Для того чтобы тело под действием произвольной системы сил находилось в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы

30